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NÚMEROS ENTEROS
OPERACIONES CON LOS NÚMEROS ENTEROS
Concepto. Los números enteros surgen de la necesidad de expresar cantidades menores que cero. El
conjunto de los números enteros se representa por una Z y se compone de los números naturales, el
cero y los números naturales expresados en negativo.
La suma. Cuando juntamos o sumamos dos números enteros, el resultado final depende de
los valores absolutos y del signo de los sumandos :
Expresión. Los números enteros se representan con un número natural que indica el número de
unidades a las que se hace referencia, y un signo « + » o « – », que le precede, y que indica si el valor
del número es mayor que cero (“+”) o menor que cero (“–”) .
- Para sumar dos números con
Signo Número
+
8
8
–
Ocho unidades por debajo de 0.
|+a| = |–a| = a
(+5)  (–5)
(+6)>0
(a+b)+c=a+( b+c)
0>(–7)
[(+ 7) + (– 4 )] + (+ 6 ) = (+ 7) + [ (– 4 ) + (+ 6)]
( + 3 ) + (+ 6 ) = (+ 7) +
(+ 2)
(+9)
=
(+9)
- Elemento neutro. Si sumamos cero a un número dado, el resultado será ese mismo número.
Cualquier número entero positivo es mayor que uno negativo.
(–4)+0=(–4)
a+0=a
( + 9 ) > ( – 12 )
;
(+9)+0=(+9)
- Elemento opuesto o simétrico. El número opuesto o simétrico de un número dado es otro número
Entre dos números enteros positivos, es mayor, el que tenga mayor valor absoluto.
( + a ) > ( + b ) si | + a | > | + b |
( + 12 ) > ( + 4 )
con el mismo valor absoluto pero con signo contrario. La suma de dos elementos opuestos debe ser 0
(elemento neutro de la suma).
(+ a ) + (– a) = 0
( + 9 ) y ( – 9 ) son opuestos porque ( + 9 ) + ( – 9 ) = 0
Entre dos números enteros negativos, es mayor, el que tenga menor valor absoluto.
( – a ) > ( – b ) si | – a | < | – b |
La resta. “Restar equivale a sumar al minuendo el opuesto del sustraendo”. Por lo tanto, las
restas se pueden transformar en sumas y después aplicar las propiedades de la suma.
( – 4 ) > ( – 12 )
Representación gráfica del conjunto de los números enteros.
…
( + 7 ) + ( – 13 ) = ( – 13 ) + ( + 7 ) = ( – 6 )
Cualquier número entero negativo es menor que “0”.
(+a) > (–b)

- Propiedad conmutativa El orden de los sumandos no altera la suma.
- Propiedad asociativa. Dada una suma de tres o más sumandos, se pueden sustituir dos o más de
ellos por su suma efectuada.
Cualquier número entero positivo es mayor que “0”.
0>(–a)

( + a ) + ( – b ) = ( – | b – a | ) Si | + a | < | – b |
( + 7 ) + ( – 13 ) = ( – | 13 – 7 | ) = (– 6 )
Propiedades de la suma de números enteros :
a+b=b+a
Criterios de orden en el conjunto de los números enteros:

distinto signo, se restan los
valores absolutos y se pone el
signo del sumando que tiene
mayor valor absoluto.
|+5| = |–5| = 5
(+a)  (–a)
(+a) > 0
( + a ) + ( – b ) = ( + | a – b | ) Si | + a | > | – b |
( + 10 ) + ( – 6 ) = ( + | 10 – 6 | ) = ( + 4 )
- Para suman dos números con
Valor relativo de un número entero. Cuando se considera el valor relativo de un número entero
debemos tener en cuenta el número y el signo. El valor relativo de un número entero se representa entre
paréntesis.

(– a)+(–b)=(–|a+b|)
( – 9 ) + ( – 7 ) = ( – | 9 + 7 | ) = ( – 16 )
Ocho unidades por encima de 0.
Valor absoluto de un número entero. Cuando consideramos el valor absoluto de un número entero
sólo nos interesa el número de unidades a las que se hace referencia, con independencia del signo. El
valor absoluto se representa escribiendo el número entre dos barras verticales.

(+a)+(+b)=(+|a+b|)
( + 5 ) + ( + 8 ) = ( + | 5 + 8 | ) = ( + 13 )
el mismo signo, se suman los
valores absolutos y se mantiene el mismo signo.
–4
–3
–2
–1
0
+1
+2
+3
+4
+5
…
En la recta numérica, todo número es mayor que los números que se encuentran a su izquierda, y menor
que los que se encuentran a su derecha.
(+a)
(+a)
(–a)
(–a)
–
–
–
–
(+b)=(+a)
(–b)=(+a)
(+b)=(–a)
(–b)=(–a)
+ (–b)
+ (+b)
+ (–b)
+ (+b)
;
;
;
;
(+5)
(+5)
(–5)
(–5)
–
–
–
–
(+4)
(–4)
(+4)
(–4)
=
=
=
=
(+5)
(+5)
(–5)
(–5)
+
+
+
+
(–4)
(+4)
(–4)
(+4)
=
=
=
=
(+1)
(+9)
(–9)
(–1)
La multiplicación. El resultado de multiplicar dos números entero es otro número entero que tiene:
como valor absoluto, la multiplicación de los valores absolutos; y como signo, el que le corresponda
según las siguientes reglas:
Para dos factores
Para más de dos factores
(+)  (+) = (+) ; (+ 6)  (+ 4 ) = (+ 24 )
(–)  (–) = (+) ; (– 5)  (– 9 ) = (+ 45 )
(+)  (–) = (–) ; (+ 8)  (– 3 ) = (– 24 )
(–)  (+) = (–) ; (– 6)  (+ 5 ) = (– 30 )
Si hay un número par de factores negativos,
el resultado es positivo.
(–)  (–)  (+)  (–)  (–) = (+)
ORDEN DE PRIORIDAD PARA CALCULAR EL VALOR DE UNA EXPRESIÓN
CON OPERACIONES DE NÚMEROS ENTEROS.
1.
2.
3.
4.
5.
Calcular los paréntesis
Quitar paréntesis
Calcular los corchetes
Quitar corchetes
Resolver
Si hay un número impar de factores negativos, el resultado es negativo.
– 4 – 5 + 5 – 6 + 7 = – 15 + 12 = –3
= (–)
Si únicamente tenemos multiplicaciones y divisiones, se
debe respetar el orden en el que están escritas.
3 negativos
Propiedades de la multiplicación de números enteros :
(– 5) . 6 : 3 = (– 30) : 3 = – 10
Para quitar paréntesis:
- Propiedad conmutativa El orden de los factores no altera el producto.
ab=ba
( + 7 )  ( – 3 ) = ( – 3 )  ( + 7 ) = ( – 21 )

- Propiedad asociativa. Dada una multiplicación de tres o más factores, se pueden sustituir dos o más
de ellos por su producto efectuado.
[(+ 7)  (– 4 )]  (+ 2 ) = (+ 7)  [ (– 4 )  (+ 2)]
(– 28 )  (+ 2 ) = (+ 7 )  ( – 8 )
( – 56 )
=
( – 56 )
(ab)c=a( bc)
(–4)(+1) = (–4) ;

a 0=0
(+9)0 =0

- Distributiva de la multiplicación respecto de la suma. El producto de un número por una suma
(o resta), es igual a la suma (o resta) de los productos parciales que se obtienen multiplicando ese
número por cada uno de los sumandos.
a(b+c) = a . b +a . c
2 . (4 + 6) = 2 . 4 + 2 . 6
a(b–c) = a . b – a . c
(– 5) . ( 3 – 6 ) = (– 5). 3 – 6 . (– 5)
(– 5) . ( – 3 ) =
15 =
2 . 10 = 8 + 12
20 = 20
– 15
+ 30
15
La división exacta. El resultado de dividir dos números enteros (sólo en caso de ser exacta) es otro
número entero que tiene: como valor absoluto, el cociente entre los valores absolutos; y como signo, el
que le corresponda según la siguiente regla:
(+)
(–)
(+)
(–)
:
:
:
:
(+)
(–)
(–)
(+)
=
=
=
=
(+)
(+)
(–)
(–)
;
;
;
;
( + 30 )
( – 48 )
( + 18 )
( – 35 )
:
:
:
:
(+5)
(–6)
(–3)
(+5)
=
=
=
=
(+6)
(+8)
(– 6)
(– 7)
5 – (+ 4 )=5 + (– 4 ) =5 – 4
12 – ( – 9 ) = 12 + ( + 9 ) = 12 + 9
Si el paréntesis forma parte de una multiplicación, para poder quitarlo deberemos realizar
dicha multiplicación.
+ 7  ( – 3 ) = ( – 21 ) = – 21
– 7  ( – 4 )  ( + 2 ) = + 56
; ( – 41 )  0 = 0
5+ (+4 )=5 + 4
12 + ( – 9 ) = 12 – 9
Si el paréntesis es el sustraendo de una resta, se transforma dicha resta en suma, cambiando
el signo de restar por el de sumar y escribiendo la expresión opuesta a la que hay dentro del
paréntesis. A continuación, ya podemos quitar el signo de sumar y el paréntesis.
a–(+b)= a+ (–b) = a–b
a–(–b)=a+(+b) =a+b
(+9)(+1) = (+9)
- Elemento absorbente. El cero es el elemento absorbente de la multiplicación ya que cualquier
número multiplicado por cero da como resultado cero.
Si el paréntesis forma parte de una suma, se quitan directamente el signo de sumar y el
paréntesis, dejando como está la expresión numérica que hay en su interior.
a+(+ b)= a + b
a+(– b)=a – b
- Elemento neutro. Cualquier número multiplicado por ( + 1 ) da como resultado ese mismo número
a(+1)=a
2 + 4 . 5 – 8 : 2 = 2 + 20 – 4 = 22 – 4 = 18
Para calcular la suma de varios números enteros, se
asocian los positivos y los negativos por separado, y
después, se calcula la suma resultante.
4 negativos
(–)  (–)  (+)  (–)
A la hora de calcular el valor de una expresión con varias
operaciones, debemos tener en cuenta que las multiplicaciones y divisiones tienen prioridad sobre sumas y restas.
Si el primer factor no lleva paréntesis, se pone
el resultado directamente (sin paréntesis).
+ ( + 3 )  ( – 4 )  2 = + ( – 24 ) = – 24
– ( – 2 )  ( – 5)  3 = – ( + 30 ) = – 30

Si el primer factor lleva paréntesis, el
resultado se escribe entre paréntesis.
Si el paréntesis forma parte de una división, para poder quitarlo deberemos realizar la
división.
30 : ( + 5 ) = ( + 6 ) = 6
– 48 : ( + 6 ) = ( – 8 ) = – 8
+ ( – 35 ) : 5 = + ( – 7 ) = – 7
– ( + 18 ) : ( – 3 ) = – ( – 6 ) = 6
Si el dividendo no lleva paréntesis, se pone el
resultado directamente (sin paréntesis).
Si el dividendo lleva paréntesis, el resultado
se escribe entre paréntesis.
Nota: A la hora de calcular el valor de una expresión numérica no puede haber dos signos de
operaciones seguidos.