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UNEFA
GOBIERNO BOLIVARIANO DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA
UNEFAB
NÚCLEO CARABOBO-EXTENSIÓN GUACARA
ASIGNATURA:
Probabilidades y Estadística
PROF:
Ing. Alexander Zavala
GUÍA DE LECTURA N° 3. (Unidad N° 5)
DISTRIBUCIONES MUESTRALES Y EL T.L.C.
1. Definiciones
Con mucha frecuencia se utilizan ciertas funciones de las VA observadas en una
muestra para estimar o para tomar decisiones con respecto a parámetros
poblacionales desconocidos. Por ejemplo, supóngase que se desea estimar la media
de una población μ. Si obtenemos una muestra aleatoria de n observaciones y1,
y2,..., yn resulta adecuado estimar μ a través de la media de muestra
1 n
y   yi
n i 1
La bondad de la estimación depende del comportamiento de las variables
1 n
aleatorias y1, y2,..., yn y el efecto de este comportamiento sobre y   y i .
n i 1
La VA Y es una función de las VA Y1, Y2,..., Yn y el tamaño n de la muestra. Por
lo tanto, la VA Y representa un estadístico.
DEFINICIÓN 1: Un estadístico es una función de las variables aleatorias que
se pueden observar en una muestra y de las constantes conocidas. Los
estadísticos se utilizan para hacer inferencias (estimaciones o decisiones) con
respecto a parámetros poblacionales desconocidos.
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2. Distribuciones muestrales relacionadas con la distribución normal.
Muchos fenómenos observados en la realidad tienen distribuciones de
frecuencias relativas que se pueden representar en forma adecuada mediante el
modelo de un distribución de probabilidad normal.
Las VA observadas en una muestra aleatoria, Y1, Y2,..., Yn son independientes y
tienen una función de densidad normal común. En tales casos, el siguiente teorema
establece la distribución muestral del estadístico
1
Y  Y1  Y2  ...  Yn 
n
TEOREMA 1. Sea Y1, Y2,..., Yn una muestra aleatoria de tamaño n de una
distribución normal con media μ y varianza σ2. Entonces
1 n
Y   Yi
n i 1
tiene una distribución normal con media μ y varianza σ2/n.
La varianza de cada una de las VA Y1, Y2,..., Yn es σ2 y que la varianza de la
distribución muestral de la VA Y es σ2/n. Es decir,
2
 Y2   n
de donde se deduce que
Y   
Y  Y 

Z

 n 


Y
  
n
tiene una distribución normal estándar.
EJEMPLO 1: Una máquina embotelladora puede regularse de tal manera que llene un
promedio de μ onzas por botella. Se ha observado que la cantidad de contenido que
suministra la máquina presenta una distribución normal con σ=1 onzas. De la producción de
la máquina en cierto día, se obtiene, una muestra aleatoria de n=9 botellas llenas y se
miden las onzas del contenido de cada una. Determine la probabilidad de que la media
muestral se encuentre a lo más de 0.3 onzas de la media real μ.
EJEMPLO 2: Refiérase al EJEMPLO 1, ¿cuántas observaciones deben incluirse en la
muestra si se desea que Y está a lo más a 0.3 onzas de μ con una probabilidad de 0.95?
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A continuación se presentan otros estadísticos que son funciones de los
cuadrados de las observaciones en una muestra aleatoria procedente de una
población normal.
El teorema 2 establece la distribución muestral de la suma de los cuadrados de
variables aleatorias normales estándar e independientes.
TEOREMA 2. Sean Y1, Y2,..., Yn definidas tal como en el teorema 1. Entonces
Z i  Yi    /  son VA normales estándar e independientes, i=1,2,...,n, y
Y   
 Z    i  
Tiene una distribución  2 (ji-cuadrado) con n grados de libertad.
2
2
i
f(u)
Distribución ji-cuadrado

α
0

P  2   2  
 2
u
EJEMPLO 3: Si Z1, Z2,..., Z6 denota una muestra aleatoria de un distribución normal
estándar, encuentre un número b tal que
 6

P  Z i2  b   0.95
 i 1

La distribución  2 desempeña un papel importante cuando se desea hacer una
inferencia con respecto a la varianza σ2 de la población basada en una muestra
aleatoria Y1, Y2,..., Yn tomada de una población normal
Un buen estimador de σ2 es la varianza muestral
2
1 n
S2 
Yi  Y

n  1 i 1

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
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El siguiente teorema nos da la distribución de probabilidad para una función del
estadístico S2.
TEOREMA 3. Sea Y1, Y2,..., Yn una muestra aleatoria de tamaño n de una
distribución normal con media μ y varianza σ2. Entonces
2
n  1S 2
1 n
Y

Y

2  i
2

i 1



tiene una distribución  con (n-1) grados de libertad. Y y S2 son también VA
independientes.
2
EJEMPLO 4: En el ejemplo 1, se supone que las onzas del contenido que vacía la máquina
embotelladora tiene una distribución normal con σ2 = 1. Supóngase que se desea obtener
una muestra aleatoria de 10 botellas y medir el contenido en cada una. Si se utilizan
estas 10 observaciones para calcular S2, podría ser útil especificar un intervalo de
valores que incluyeran a S2 con una alta probabilidad. Encuentre los números b1 y b2 tales
que
P b1  S 2  b2  0.90


 El Teorema 1 proporciona la base del desarrollo de procedimientos para hacer
inferencias con respecto a la media μ de una población normal con una varianza
conocida σ2 . En este caso dicho Teorema nos dice que n Y   /  tiene una


distribución normal estándar.
Cuando se desconoce σ se le puede estimar mediante S  S 2 y la expresión
Y   

n 

S


nos dará la base para el desarrollo de métodos de inferencias con respecto a
μ. En consecuencia, la distribución de probabilidad n Y   / S está dada por


una función de densidad de probabilidad conocida como distribución t de
student con n-1 grados de libertad.
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DEFINICIÓN 2: Sea Z una VA normal estándar y sea  2 una VA jicuadrada con  grados de libertad.
Entonces si Z y  2 son independientes,
T
Z
 2 /
se dice que tiene una distribución t de student con  grados de libertad.
Si Y1, Y2,..., Yn es una muestra aleatoria de una población normal con media μ y
varianza σ2 , entonces Z  n Y    tiene una distribución normal estándar.


 2  n  1S 2  2 tiene una distribución  2 con   n  1 grados de libertad y que Z
y  2 son independientes, por lo tanto
T
Z
2 



Y   

 n 

2
S
 n  1


nY  
n  1S 2
tiene una distribución t con (n-1) grados de libertad.
Como la función de densidad normal estándar, la función t es simétrica con
respecto a cero. Además, para   1 , E(T)=0 y para   2 , V (T )     2 .
Así vemos que una VA con una distribución t tiene el mismo valor esperado que
una VA normal estándar. Sin embargo, una VA normal estándar siempre tiene una
varianza de 1, mientras que la varianza de una VA con una distribución t siempre
es mayor que 1.
Normal
estándar
t
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EJEMPLO 5: La resistencia a la tensión para cierto tipo de alambre se distribuye
normalmente con una media desconocida μ y varianza desconocida σ2. Se seleccionan al
azar 6 segmentos de alambre de un rollo grande y se midió Yi, la resistencia a la tensión
para el segmento i, en donde i=1,2,..., 6. La media de la población μ y la varianza σ2 se
2
pueden estimar por Y y S2, respectivamente. Ya que  Y2  
, 2 puede ser estimada
n Y
2
por S
. Encuentre la probabilidad aproximada de que Y esté a lo más a 25
de la
n
n
verdadera media poblacional μ.

Supóngase que se desea comparar las varianzas de 2 poblaciones normales basadas
en la información contenidas en muestras aleatorias independientes de las dos
poblaciones. Supóngase que una muestra aleatoria contiene n1 variables aleatorias
distribuidas normalmente con una varianza  12 y que la otra muestra aleatoria
contiene n2 variables aleatorias distribuidas normalmente con una varianza  22 . Si
calculamos S12 de las observaciones de la muestra 1, entonces S12 es una estimación
de  12 . De manera similar para la muestra 2.
2
Así intuitivamente se podría pensar en utilizar S1
S 22
para hacer inferencias con
respecto a las magnitudes relativas de  12 y  22 . Si dividimos cada S i2 por  i2 ,
entonces la razón siguiente
S12  12   22

S 22  22   12
 S12
 2
 S
 2




tiene una DISTRIBUCIÓN F con (n1-1) y (n2-2) grados de libertad.
DEFINICIÓN 3: Sean  12 y  22 variables aleatorias ji-cuadrada con  1 y  2 grados
de libertad, respectivamente. Entonces si  12 y  22 son independientes,
 12  1
 22  2
se dice que tiene una DISTRIBUCIÓN F con  1 grados de libertad del numerador y
 2 grados de libertad del denominador.
F
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La función de densidad para variables aleatorias con la distribución F es un miembro
de la familia de las distribuciones beta.
f(u)
Distribución F
α
0
F
u
EJEMPLO 6: Si se toman dos muestras independientes de tamaño n1=6 y n2=10 de dos
poblaciones normales con la misma varianza poblacional, encuentre el número b tal que
 S12

P   2  b   0.95
 S2

3. El Teorema del Límite Central.
Considere la VA Yi definida como la suma de n variables aleatorias independientes e
idénticamente distribuidas y1, y2,..., yn. Esto es, Yi=y1+y2+...+yn.
El TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL establece que, cuando n es grande n   , la
distribución de Yi tiende hacia la normalidad independientemente de las distribuciones
originales de y1, y2,..., yn.
TEOREMA 4. El Teorema del Límite Central: Sean Y1, Y2,..., Yn variables
aleatorias independientes y distribuidas idénticamente con E Yi    y
V Yi    2   . Definimos
Y   
1 n
 en donde Y   Yi
U n  n 

n i 1
  
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Entonces la función de distribución U n converge a una función de distribución
normal estándar cuando n   .
EJEMPLO 7: Los resultados de las pruebas finales de todos los alumnos del último año
de bachillerato de cierto estado tiene una media de 60 y una varianza de 64. se obtuvo
una muestra de 100 alumnos y tuvo una media de 58. Calcule la probabilidad de que la
media muestral sea a lo más 58.
EJEMPLO 8: Los tiempos de espera para los clientes que pasan por una caja registradora
a la salida de una tienda son variables aleatorias independientes con una media de 1.5 min.
y una varianza de 1. Aproxime la probabilidad de que se pueda atender a 100 clientes en
menos de 2 horas.
4. Aproximación Normal de la Distribución Binomial.
El Teorema del Límite Central se puede utilizar también para aproximar las
probabilidades de algunas variables aleatorias discretas cuando es difícil calcular las
probabilidades exactas para valores grandes del tamaño n de la muestra. Un ejemplo útil
trata de la distribución binomial.
Suponga que Y tiene una distribución binomial con n pruebas y con probabilidad de
éxito denotada por p. Si se desea calcular PY  b , entonces se puede utilizar la función
de probabilidad binomial para calcular la probabilidad para cada entero no negativo menor
o igual a b y sumar estas probabilidades.
Se puede considerar a Y, el número de éxitos en n pruebas, como una suma de una
muestra formada por ceros y unos, es decir,
n
Y   Xi
i 1
 1, éxito
en donde X i  
0, fracaso
y Xi, i=1,2,...,n son independientes. Por consiguiente, cuando n es grande, la
Y 1 n
  X i  X tendrá aproximadamente una
proporción de éxitos en la muestra,
n n i 1
distribución muestral normal con media E  X i   p y una varianza igual a V  X i   pq .
n
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EJEMPLO 9: El candidato A considera que puede ganar una elección en una ciudad si
obtiene al menos 55% de los votos. Además, supone que alrededor del 50% de los
votantes están a su favor. Si n=100 votantes, ¿cuál es la probabilidad de que el candidato
A reciba al menos 55% de los votos?
La aproximación normal de las probabilidades binomiales funciona bien aun cuando n
no sea muy grande, en tanto que p no esté demasiado cerca de cero o de uno. Una regla
empírica útil es que la aproximación normal de la distribución binomial es apropiada
cuando p  2 pq n esté dentro del intervalo (0,1).
EJEMPLO 10: Supóngase que Y tiene una distribución binomial con n=25 y p=0.4.
Encuentre las probabilidades exactas de que Y  8 y Y  8 , y compare estos resultados
con los valores correspondientes encontrados por la aproximación normal.
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