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Escuela de Educación Técnica Nº2 – Mar del Plata
Sistema de medición de ángulos
Sistema sexagesimal: la unidad de medida en este sistema es el grado sexagesimal, que se obtiene al dividir
al ángulo recto en 90 partes iguales:
1º= 1 recto
90
Los submúltiplos del grado sexagesimal son el minuto sexagesimal (1′ ) y el segundo sexagesimal (1 ″).
Sistema circular: la unidad de medida en este sistema es el radián( se llama radián al ángulo que abarca un
arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la misma)
ob = ab
α = 1 radián
(esto se explica con un círculo de cartulina y un
hilo
que luego de tomar con él la medida del radio de
este círculo, es estira sobre la circunferencia)
A cuántos α equivale un ángulo de un giro?
Sobre este círculo de cartulina superponemos seis radianes, y nos sobra
un
poco.
Entran 6,28 radianes, o sea 2π radianes.
Por eso deducimos que
360º= 2 π
Para calcular a cuántos radianes equivale un ángulo de 180º planteamos una regla de tres:
360º
180º
2π
x= 180 . 2π = π
360
Para calcular a cuántos radianes equivale un ángulo de 30º planteamos:
360º
30º
2π
x= 30 . 2π = π
360
6
¿A cuántos grados equivale 1 radián?
2π
1
360º
360 . 1 =
2π
180º
π
= 180
3,14159.....
¿A cuántos grados equivale 3 π ¿
2
2 π
360º
3 π
x= 360º . 3 π
= 270º
2
2 π
2
Trigonometría
=
57º 17′ 45″
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La base de la trigonometría está en las razones trigonométricas, valores numéricos asociados a cada
ángulo, que permiten relacionar operativamente los ángulos y lados de los triángulos. Las más
importantes son seno, coseno y tangente, que se definen a continuación.
Aunque el ángulo α pertenezca a otro triángulo rectángulo de lados distintos al anterior, los valores
obtenidos para sen α, cos α y tg α son los mismos. Es decir, las razones trigonométricas de un ángulo no
dependen del triángulo sobre el que se midan. Esto es debido a que dos triángulos rectángulos con un
mismo ángulo agudo son semejantes y, por tanto, los cocientes, a/c, b/c, a/b coinciden en ambos.
A partir de las razones trigonométricas anteriores, definimos sus recíprocas: SECANTE, COSECANTE
y COTANGENTE
sec
α
= hipotenusa
=
cateto adyacente
1
cos α
cosec α
= hipotenusa
=
1
cateto opuesto
sen
cotg α
α
=
cat. Ady. =
cat. op
1
tg
α
Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera:
Para definir las razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (de 0º a 360º) se empieza situando el
ángulo en la llamada circunferencia trigonométrica, una circunferencia de radio 1 con su centro, O,
situado sobre unos ejes coordenados:
El vértice del ángulo se sitúa en O y el primero de sus lados, a, sobre la parte positiva del eje de las X.
El segundo lado, b, se abre girando en sentido contrario a las agujas del reloj. Este segundo lado corta a
la circunferencia trigonométrica en un punto, P.
Según esta definición, las razones trigonométricas sen, cos y tg toman valores positivos o negativos
según el cuadrante en el que se encuentre el ángulo a.
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Positividad y negatividad de las funciones trigonométricas
Para determina el signo de las funciones trigonométricas, se debe conocer a qué cuadrante pertenece el
ángulo, y los signos de las coordenadas del punto P.
Cuadrantes:
II
III
I
IV
Si el ángulo α está en el primer cuadrante:
Sen α = opuesto
= s
=
s
(positivo)
Cos α = ady. = c =
c (posit)
Hipotenusa
1
hip
Tg α = opuesto = t
ady
radio
= t
1
(positivo)
(La tg α = t se sitúa sobre la recta r, tangente a la circunferencia en U, y queda determinada por el punto
T en que el lado b, o su prolongación, corta a r)
Si el ángulo α está en el segundo cuadrante:
Sen α = opuesto
= s
=
s (positivo)
Cos α = ady. = c =
c (negat)
Hipotenusa
1
hip
Tg α = opuesto = t
ady
radio
= t
1
(negativo)
Si el ángulo α está en el tercer cuadrante:
Sen α = opuesto
= s
= s
(negativo)
Cos α = ady. = c =
c (negat)
Hipotenusa
1
Tg α = opuesto = t
ady
radio
hip
= t
(positivo)
1
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Si el ángulo α está en el cuarto cuadrante:
Sen α = opuesto
= s
=
s
(negativo)
Cos α = ady. = c =
c (posit)
Hipotenusa
1
hip
Tg α = opuesto = t
ady
radio
= t
1
(negativo)
En la figura siguiente se resumen los signos de las tres razones:
Los ángulos 90º y 270º no tienen tangente, pues para ellos el segundo lado no corta a la recta r.
Completa con “positivo” o “negativo”, según corresponda
Cuadr. I
Cuadr. II
CuadrIII
Cuadr. IV
Sen x
Cos x
Tg x
Decir a qué cuadrante pertenecen, los ángulos de las siguientes medidas:
193º.........
72º................. 274º...................308º..........................269º............108º.................
π/3...........
Unir según corresponda:
Sen 315º
Cos 100º
positivo
Tg 135 º
Tg 272º
Cos 201º
negativo
Sen 190º
Sen π/6
Relaciones entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo:
Deducir a partir de las definiciones:
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Sen 2 α + cos 2 α =…1….
Sen α
Cos α
= tg α
Entonces, si conocemos el valor de una de las funciones trigonométricas y el cuadrante al que pertenece el
ángulo, podemos calcular las demás funciones:
Ej. Si sen x = 1/3 y x ε I cuadrante cos x = + √1- (1/3)2
y tg x = sen x
Cos x
Representación gráfica de las funciones trigonométricas.
Las funciones trigonométricas se obtienen a partir de las razones trigonométricas , expresando el ángulo en
radianes. Por tanto, los 360º de una circunferencia pasan a ser 2 radianes.
Sus representaciones gráficas son:
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Identidades trigonométricas
Las identidades trigonométricas son igualdades en las cuales aparecen razones trigonométricas y resultan
verdaderas para cualquier valor de los ángulos. Para demostrar o verificar una identidad se desarrolla uno o
ambos miembros de la misma, tratando de obtener expresiones equivalentes. Para ello se utilizan las relaciones
que se establecen entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo.
Tgx= senx/ cosx cos 2 x + sen 2 x =1 secx=1/cos x cosec x= 1/sen x cotg x = 1/tg x
Ejemplo: 1 + tg 2 x = sec 2x
1 + sen 2 x/cos 2 x =
cos 2 x+ sen 2x
cos 2
(sen x + cos x) 2
= 2 tg x cos 2x +1
sec 2x = sec 2 x
Ecuaciones trigonométricas:
Para resolverlas, conviene recordar los valores de las funciones de algunos ángulos:
X
Sen x
Cos x
Tg x
0
30º= π /6
45º= π /4
60º= π /3
90º =π /2
Resolver una ecuación trigonométrica es encontrar , si existen, el o los valores angulares que la verifican.
Ej a)Hallar x ε [0, π/2) : 2 cos x =1
Cos x =1/2 .......x = π/3.
Verifico:
2 .cos π/3 = 2 . ½ =1
b)Hallar x ε [0, π) : 4 . sen 2 x =1……… sen 2 x = ¼
cuadrante)
x= π /6 o x= 5/6π
sen x = + √1/4 = ½ (porque el seno es + en el I y II
c) Hallar x ε [0, 2 π) : sen (x - π/3) = 1/2
Como el seno es + ,e el ángulo debe pertenecer al primer o segundo cuadrante.
Si está en I.
X -π /3= π /6
30º
Si está en el II. X - π /3= 5/6 π
150º
x=.............................. o x = ......................
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