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Capítulo 4
Circuitos en Paralelo – Ley de la Corriente de Kirchhoff
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Capítulo 4
Circuitos en Paralelo
Ley de la Corriente de Kirchhoff
Capítulo 4
Circuitos en Paralelo – Ley de la Corriente de Kirchhoff
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4.1 Introducción
Los circuitos en paralelo pueden ser los más conocidos. La mayoría de
los instrumentos, tomacorrientes y luces en las casas están conectados a un
circuito en paralelo. Si las luces de su hogar estuvieran en serie, entonces
todas se encenderían o se apagarían simultáneamente cada vez que se
usaran. Lo mismo sucedería con los tomacorrientes.
4.2.1
Circuitos en Paralelo
En la Fig. 4.1, uno de los terminales de las luces está conectado al lado
positivo de la batería, y el otro terminal al negativo. Estos puntos de conexión
se conocen como nodos. Las ramas de los dispositivos o los circuitos que
tienen dos nodos comunes se consideran que están en paralelo.
En un circuito en paralelo, los dispositivos conectados entre dos nodos
pueden ser de cualquier tipo, tal como una fuente de tensión, resistencia, o una
luz.
Fig. 4.1 – Circuito paralelo simple
Antes de analizar los circuitos, es necesario asignarle la nomenclatura a los
nodos (utilizando letras minúsculas), y asegurarse del tipo de conexión. En la
Fig. 4.2, hay dos ejemplos de rotulación de nodos.
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En la Fig. 4.2(a), los dispositivos B y C están en paralelo, y usan el nodo
común b y c. Estos dos dispositivos tienen conectado al dispositivo A en serie.
En la Fig. 4.2(b), los dispositivos B y C están en serie, puesto que tienen un
solo nodo común, b. Los dispositivos C y B tienen conectado a A en paralelo.
Nodo a
Nodo b
Nodo a
Nodo c
(a)
Nodo b
Nodo c
(b)
Fig. 4.2
4.2.2
Ley del Voltaje de Kirchhoff
La Ley del Voltaje de Kirchhoff es muy útil para analizar circuitos en
serie. De igual manera, la Ley de la Corriente de Kirchhoff es un teorema
básico para explicar la operación de circuitos paralelos. A continuación se
describe la Ley de la Corriente de Kirchhoff:
“La suma de las corrientes que entran en un nodo es igual a la suma de
las corrientes que salen de ese mismo nodo”
Podemos usar el flujo del agua para explicar la Ley de la Corriente de Kirchhoff:
cuando el agua fluye dentro de un tubo cerrado, no hay pérdida de agua, de tal
manera que la cantidad que entra en un punto cualquiera es igual a la cantidad
que sale de ese mismo punto. Matemáticamente, la Ley de la Corriente de
Kirchhoff se puede expresar como:
 I entra al nodo =  I sale del nodo
(4.1)
Podemos hacer uso de la Fig. 4.3 para explicar esta ley. Podemos ver
en la Figura que hay dos corrientes: I1 = 5 A e I5 = 3 A que fluyen en el nodo, y
que I2 = 2 A , I3 = 4 A e I4 = 2 A que salen del mismo nodo. Usando la ecuación
(4.1):
 I entra al nodo =  I sale del nodo
5a+3A =2A+4A+8A
8A =8A
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Fig. 4.3 – Ley de la Corriente de Kirchhoff
Generalmente no estamos seguros de la dirección de la corriente para
un elemento particular del circuito. En este caso, tenemos que asumir una
dirección de referencia, y utilizar esta presunción para el cálculo. Si lo que
hemos asumido es incorrecto, entonces la magnitud de la corriente será
negativa. Un signo menos significa que la dirección real de la corriente es la
opuesta a la dirección asumida. El ejemplo siguiente explica bien este
concepto.
Ejemplo 4.1. Analizar el circuito de la Fig. 4.4
Fig. 4.4
Respuesta: En realidad, el nodo a y el nodo b son el mismo. Sin embargo los
podemos considerar como si fueran dos nodos con una resistencia entre ellos
de 0. Utilizando la Ley de la Corriente de Kirchhoff en el nodo a, obtenemos la
siguiente fórmula:
I1 = I 2 + I 3
de tal forma que:
I3 = I 1 – I2
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I3 = 2 A – 3 A = -1 A
La dirección de referencia de I3 es de a hacia b. El signo negativo significa que
la corriente en realidad va de b hacia a.
De igual manera, usando la Ley de la Corriente de Kirchhoff, podemos obtener
en el nodo b:
I3 = I 4 + I 5
La corriente I5 es
I5 = I 3 – I4
I5 = -1 A – 6 A = - 7 A
Este signo negativo significa que I5 fluye al nodo b, y no que sale de éste. Las
magnitudes y direcciones de las corrientes se muestran en la Fig. 4.5.
Fig. 4.5
Ejemplo 4.2. Determine la magnitud de las corrientes desconocidas en el
circuito de la Fig. 4.6.
Fig. 4.6
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Respuesta: Hay dos corrientes desconocidas, I1 e I3 en el nodo a. De tal forma
que no se puede obtener la solución. En el nodo b hay también dos corrientes
desconocidas, I3 e I4. El nodo c tiene solamente una corriente desconocida, I4.
Usando la Ley de la Corriente de Kirchhoff, podemos encontrar esta última:
La corriente que ingresa en el nodo b es:
Finalmente, use la Ley de la Corriente de Kirchhoff para la corriente I1 en a
Ejemplo 4.3. Determine la magnitud de las corrientes en la Fig. 4.7
Nodo a
Nodo
Nodo c
Nodo d
Fig. 4.7
Respuesta: Primero, asuma una dirección de flujo para las corrientes. Podemos
usar la idea del agua fluyendo por el tubo y asignar la dirección de I3, I5 e I7. Sin
embargo, la dirección de I4 no es fácil de determinar, y por lo pronto asumimos
una dirección arbitraria hacia la izquierda. La Fig. 4.7(b) muestra los nodos y
las direcciones asumidas para la corriente. Verificando el circuito, sabemos que
I1 = 24 A. Utilizando la idea del tubo, entonces I7 = I1 = 24 A.
Ahora, usando la Ley de la Corriente de Kirchhoff en el nodo a, obtenemos la
corriente I3:
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I1 = I 2 + I 3
de donde:
I3 = I1 – I2 = 24 A – 11 A = 13 A
Similarmente, en el nodo c obtenemos:
I4 = I6 – I3 = 6 A – 13 A = -7 A
La dirección de I4 es opuesta a la que se había asumido originalmente. Sin
embargo, no cambiamos la dirección hasta que hagamos otros cálculos más
adelante, pues si lo hacemos los cálculos se tornan más complejos.
Usando la Ley de Kirchhoff de la Corriente en el nodo b obtenemos:
I2 = I 4 + I 5
de donde:
I5 = I2 – I4 = 11 A – (-7 A) = 18 A
Finalmente, con la Ley de la Corriente de Kirchhoff en c, obtenemos:
I5 + I 6 = I 7
Y el resultado es:
I7 = I5 + I6 = 18 A + (6 A) = 24 A
4.2.3
Resistencias en Paralelo
En la Fig. 4.8 se muestra un circuito simple en paralelo, que está
compuesto de una fuente de tensión y de algunas resistencias.
Fig. 4.8 - Circuito simple en paralelo
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La corriente fluye del terminal positivo de la fuente de tensión hacia el nodo a.
La corriente también fluirá hacia las otras resistencias en el nodo a, por lo que
las corrientes se acumularán antes de ingresar al terminal negativo de la fuente
de tensión. De este circuito podemos obtener un concepto importante. Si
usamos la Ley de Tensión de Kirchhoff para cada lazo cerrado en el circuito
paralelo, encontraremos que los potenciales en las resistencias en paralelo son
las mismas, es decir, VR1 = VR2 = VR3 =E, por lo tanto podemos afirmar que:
“Los potenciales de resistencias en paralelo son todos iguales en el circuito”
De acuerdo con lo anterior, podemos determinar la resistencia total RT de
cualquier número de resistencias en paralelo. Esta resistencia equivalente es
también la resistencia equivalente que la fuente de tensión ofrecerá a la
corriente total IT. Utilizando la Ley de la Corriente de Kirchhoff en el circuito de
la Fig. 4.8 obtenemos la siguiente expresión:
IT = I1 + I2 + I3 + ... + IN
Sin embargo, todavía podemos utilizar la Ley de la Corriente de Kirchhoff en el
circuito paralelo. De esta forma, el potencial en cada resistencia s igual a la
tensión suministrada E. La corriente total en el circuito está definida por la
tensión suministrada y la correspondiente resistencia. Se puede escribir como:
E / RT = E / R1 + E / R2 + ... + E / RN
Simplificando la ecuación anterior podemos obtener una ecuación general para
resistencias en paralelo como sigue:
1 / RT = 1 / R1 + 1 / R2 + ... + 1 / RN (Siemens, S)
(4.2)
Como la conductancia es el recíproco de la resistencia, podemos escribir la
ecuación anterior en términos de la conductancia como:
GT = G1 + G2 + G3 + ... + GN (S)
(4.3)
La resistencia total de resistencias en serie es la suma de todas las
resistencias. Para resistencias en paralelo, la conductancia total es la suma de
cada conductancia.
La resistencia equivalente de N resistencias en paralelo se puede determinar
mediante la siguiente ecuación:
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Hay un concepto importante, en cuanto a que la resistencia total de
resistencias en paralelo es siempre menor que la resistencia mínima en la
combinación de resistencias.
Ejemplo 4.4. Determine la conductancia total y la resistencia equivalente en el
circuito de la Fig. 4.9
Fig. 4.9
Respuesta: La conductancia total es:
La resistencia equivalente es:
Nota: La resistencia total de resistencias en paralelo es menor que la
resistencia mínima en la combinación de resistencias.
Ejemplo 4.5: Determine la conductancia total y la resistencia en el circuito de la
Fig. 4.10.
Fig. 4.10
Respuesta: La conductancia total es:
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La resistencia total es RT = 1/0.33 S = 3.0 
4.2.3.1
Equivalencia de n resistencias en paralelo
Si se tienen n resistencias equivalentes en paralelo, cada una tiene una
resistencia R, y la misma conductancia que G. Usando la ecuación (4.3), la
conductancia total es:
La resistencia total se puede expresar fácilmente como:
Ejemplo 4.6. Calcule la resistencia total de los circuitos de la Fig. 4.11
Fig. 4.11
Respuesta:
RT = 18 k = 6 k
RT = 200 /4 = 50 
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4.2.3.2
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Dos resistencias en paralelo
Generalmente, en un circuito hay solamente dos resistencias en paralelo. En
esta situación, la resistencia total no se puede calcular a partir de la
conductancia. Para dos resistencias, la ecuación (4.4) se puede escribir:
De tal manera que podemos expresar las dos resistencias en
paralelo como:
Para dos resistencias en paralelo, el producto de dos resistencias dividido por
la suma de las mismas es igual a la resistencia equivalente:
Ejemplo 4.7. Determine la resistencia total de los circuitos combinados en la
Fig. 4.12:
Fig. 4.12
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Respuesta:
Ejemplo 4.8: Calcule la resistencia equivalente en el circuito de la
Fig. 4.13.
Fig. 4.13
Respuesta: Dos resistencias se pueden considerar como un solo grupo. El
circuito se puede simplificar como se muestra en la Fig. 4.14.
Fig. 4.14
La resistencia equivalente para cada grupo se puede determinar como:
Este circuito se puede simplificar más como si fueran dos resistencias
únicamente, como en la Fig. 4.15. La resistencia equivalente será:
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Fig. 4.15
4.2.3.3
Tres resistencias equivalentes en paralelo
Utilizando la ecuación (4.6) podemos obtener la fórmula para tres resistencias
en paralelo, y por supuesto, se pueden derivar fórmulas para cuatro o cinco o
más resistencias en paralelo. Estas fórmulas son útiles, pero difíciles de
recordar. En general es más efectivo comprender la teoría de la cual se deriva
la fórmula. Deduzca usted mismo la fórmula (4.7)
(4.7)
4.2.4
Regla de División de la Corriente
En un circuito en serie, las corrientes tienen el mismo valor. Los
potenciales de los dispositivos en serie son diferentes. La regla de división de
la tensión puede determinar los potenciales de dispositivos conectados en
serie.
Los potenciales de dispositivos en paralelo son iguales. Sin embargo, las
corrientes que fluyen en dispositivos paralelos son diferentes. La regla de
división de corriente se puede usar para determinar las corrientes que fluyen en
dispositivos dispuestos en paralelo.
Véanse las resistencias en paralelo de la Fig. 4.16.
La corriente total en el circuito es:
IT = E / RT
(4.8)
Como los potenciales a través de n resistencias paralelas es el mismo (E), la
corriente que pasa por cada una de las resistencias es:
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Escribiendo la ecuación (4.8) como E = ITRT y sustituyéndola en la
ecuación (4.9) usando la regla de división de la tensión,
Si conocemos la corriente total que entra al circuito paralelo, entonces la
regla de división de la corriente se puede usar para calcular la corriente que
pasa por cada resistencia. Aunque la regla de división de la corriente es muy
similar a la regla de división de la tensión, la corriente que fluye a través de la
resistencia desconocida es igual a la resistencia total dividida entre la
resistencia desconocida. Si el circuito es una combinación de dos resistencias
en paralelo, entonces la corriente que fluye por cada resistencia puede
determinarse por un método un tanto diferente. Para dos resistencias en
paralelo, la resistencia total es:
Sustituyendo la resistencia total en la ecuación (4.10), obtenemos que
y simplificándola, obtenemos
Fig. 4.16 – Regla de división de la corriente
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Similarmente,
Nótese que la ecuación anterior es igual a la regla de división de tensión. Sin
embargo, no es utilizando esta regla que se obtiene el potencial en la
resistencia R1. Aquí, la corriente que fluye por la resistencia R1 se obtiene de
dividir R2 entre la suma de las dos resistencias, y no dividiendo R1 entre la
suma. Hay otras características importantes en el circuito paralelo.
Si la corriente fluye a través de un circuito compuesto de una cantidad
cualquiera de resistencias equivalentes (iguales) en paralelo, entonces la
corriente que fluye por cada resistencias es la misma. Si la corriente que fluye
por el circuito está compuesta de resistencias diferentes en paralelo, entonces
la corriente que fluye por la resistencia de mínimo valor es la mínima. De la
ecuación (4.11) y (4.12), si la resistencia R1 es la más alta, entonces la
corriente que fluye por R2 es la más alta. Esta característica se puede
considerar como que la corriente mayor fluirá por la resistencia menor.
Ejemplo 4.9: Determine las corrientes I1, I2 e I3 en el circuito de la Fig. 4.17
Fig. 4.17
Respuesta: Se calcula primero la resistencia total del circuito. Aunque se puede
usar la ecuación (4.7) para obtener la resistencia total, usaremos la ecuación
(4.4), que constituye un método más general para encontrar RT:
Las corrientes son:
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Ejemplo 4.10. Determine las corrientes I1, I2 e I3 en el circuito de la Fig. 4.18
Fig. 4.18
Respuesta: Como todas las resistencias son equivalentes, la corriente de
entrada fluirá de igual forma en cada una de ellas, por lo que:
Ejemplo 4.11. Determine las corrientes I1 e I2 en el circuito de la Fig. 4.19
Fig. 4.19
Respuesta: En el circuito hay sólo dos resistencias. Usando las
ecuaciones (4.11) y (4.12):
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4.2.5
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Análisis de un circuito paralelo
Veremos la manera de usar las teorías presentadas en este capítulo para
analizar los circuitos paralelos. En los ejemplos siguientes veremos que el
principio de conversión o transformación de la energía en un circuito paralelo
es el mismo que en un circuito en serie. Si bien empleamos métodos
particulares para el análisis de circuitos, existen muchas otras maneras de
obtener la respuesta correcta. Una vez que usted esté familiarizado con el
análisis de circuitos podrá usar el método que más convenga para la resolución
del problema, que en todo caso deberá ser el más fácil.
Ejemplo 4.12. En la Fig. 4.20 las tres resistencias en paralelo tienen valores de
300, 200 y 600. La corriente total que fluye en el circuito es de 0.6 A. Se
requiere encontrar los valores desconocidos en el circuito.
Respuesta: El primer paso es encontrar la resistencia total en el circuito, por lo
que se puede escoger el teorema de los recíprocos.
Ahora que se conoce la resistencia total del circuito, se puede averiguar el
potencial usando la corriente total y la Ley de Ohm.
Fig. 4.20
Capítulo 4
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Una de las reglas de los circuitos paralelos dice que el potencial en dispositivos
en paralelo es igual al potencial total. Por lo tanto, el potencial en la resistencia
en paralelo es igual a 60V (Fig. 4.21)
Fig. 4.21. Todas las ramas del circuito en paralelo tienen el mismo potencial
Hasta el momento hemos encontrado las resistencias y las caídas de tensión.
La Ley de Ohm puede ayudarnos a encontrar la corriente que fluye en cada
resistencia de la Fig. 4.22.
El poder de disipación de cada resistencia se puede determinar usando la Ley
de Ohm. Sin embargo, se pueden usar varios métodos y fórmulas para
averiguar la disipación de potencia en cada resistencia.
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Fig. 4.23. Disipación de potencia en el circuito
Ejemplo 4.13. En la Fig. 4.24, las tres resistencias en el circuito están en
paralelo. Dos de ellas son de 900 y 1800 respectivamente, y R2 se
desconoce. La resistencia total del circuito es de 300. La corriente a través de
R2 es de 0.2 A. Determine los valores desconocidos en el circuito.
Respuesta: El primer paso es encontrar el valor de la resistencia desconocida, para lo cual se puede usar la fórmula de los recíprocos:
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o sea,
La resistencia total de un circuito en paralelo es igual al recíproco de la suma
de los recíprocos de cada resistencia. Por lo tanto, para una sola resistencia, el
recíproco del recíproco de la resistencia total menos los recíprocos de las otras
resistencias es igual a su valor
Ya se ha encontrado R2 y por lo tanto el potencial en R2 se puede encontrar
mediante la Ley de Ohm y la corriente que fluye por esa resistencia (Fig. 4.25)
Fig. 4.25
Si el potencial en R2 es de 120V, entonces el potencial en cada uno de los
dispositivos se igual a 120V, es decir,
E2 = E T = E 1 = E 3
Ahora, el potencial en cada transistor se conoce y la corriente que fluye en
cada rama del circuito se puede averiguar con la Ley de Ohm (4.26).
Capítulo 4
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En el circuito, si averiguamos la disipación total de potencia al sumar las tres
resistencias, sería de 47.92W y no de 48W. La pequeña diferencia se debe a
que se ignoran valores parciales de decimales. En este ejemplo, el flujo de
corriente en la resistencia R3 se toma como 0.066, aunque en realidad es de
0.06666666666
4.3 Resumen
1. Las ramas de los dispositivos o circuitos que tienen dos nodos comunes
se conocen como circuitos / dispositivos en paralelo.
2. La suma de las corrientes que entran a un nodo cualquiera es igual a la
suma de las corrientes que salen de ese mismo nodo.
3. Usando la Ley de Kirchhoff de la Tensión (voltaje) en un circuito paralelo
encontramos que los potenciales a través de las resistencias es el
mismo.
4. La definición de conductancia es el recíproco de la resistencia, es decir,
G = 1/R.
5. La resistencia total de resistencias en paralelo es siempre menor que la
resistencia mínima en todas las resistencias combinadas.
6. La resistencia total de N resistencias equivalentes en paralelo es igual a
RT = R/N
Capítulo 4
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7. Las resistencias totales R1 y R2 están en paralelo, y su resistencia total
es igual a RT = R1R2 /R1+R2.
8. La regla de división de la corriente se usa para determinar las corrientes
que fluyen en los diferentes dispositivos de un circuito paralelo.
9. La corriente que fluye en la resistencia mínima es máxima. Por el
contrario, la corriente que fluye en la resistencia máxima es mínima.
Esto significa que la corriente es inversamente proporcional a la
resistencia. Esta regla se puede usar para determinar la corriente que
fluye en los diferentes dispositivos en paralelo.
4.4 Problemas
1. ¿Cuáles son las características de un circuito en paralelo?
2. ¿Por qué los circuitos domésticos tienen que estar conectados en
paralelo?
3. En un circuito en paralelo hay cuatro ramales. Uno de estos tiene 0.8 A y
el cuarto tiene una corriente de 1.5 A. ¿Cuál es la corriente total de este
circuito?
4. Cuatro resistencias de 100 están en paralelo. ¿Cuál es la resistencia
total del circuito?
5. En un circuito en paralelo hay cuatro ramales. Se conecta un
amperímetro en el terminal de salida e indica que la corriente total es de
2.8 A. Si el primer ramal tiene 0.9 A y el ramal 2 tiene 1.05 A, ¿cuál será
la corriente en el ramal 3?
6. Se tienen cuatro resistencias de 270, 330, 510 y 430
respectivamente, que están conectadas en paralelo. ¿Cuál es la
resistencia total?
7. Se tienen cuatro resistencias en paralelo. La resistencia total es de
120. Tres de ellas son de 820, 750, 470. ¿Cuál es el valor de la
cuarta resistencia?
8. Se tienen resistencias con valor de 1200, 2000 y 3300 en un
circuito en paralelo. La corriente total en el circuito es de 0.25 A. ¿Cuál
es la corriente en cada una de las resistencias?
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