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TEMA 8: SISTEMA AXONOMÉTRICO.
TEMA 8: SISTEMA AXONOMETRICO
1. SISTEMA AXONOMÉTRICO .
El sistema axonométrico es uno de los procedimientos para representar sobre
un soporte bidimensional como por ejemplo el papel. Entre sus ventajas está
que nos permite conocer de una vez las características del objeto
representado.
Este sistema está basado en el hecho de que todos los sólidos situados en el
espacio pueden referirse sobre un triedro trirrectángulo que mediante sus
ejes OX, OY y OZ nos definen las magnitudes de longitud, anchura y altura de
los objetos.
2. FUNDAMENTO DEL SISTEMA AXONOMETRICO ORTOGONAL.
Este sistema se compone de un triedro trirrectángulo que se proyecta sobre
un plano de proyección o plano del cuadro que lo haremos coincidir con nuestro
papel.
Las proyecciones en el plano del cuadro de las aristas del triedro, también
llamados ejes, resultan al proyectar ortogonalmente todos los puntos que
componen el eje.
Para ello, se hallan los puntos de intersección de éstos con el plano del cuadro,
con lo que se obtienen los puntos A, B y C. Uniéndolos con el punto O,
proyección ortogonal de (O), donde se cortan los ejes axonométricos, se
obtienen las proyecciones de los ejes. Si se unen los puntos de trazas A, B y C
se determina el triángulo fundamental o triángulo de trazas.
Cuando se proyecta un objeto en este sistema sus magnitudes varían. La razón
existente entre el tamaño de un objeto real y su imagen proyectada se
denomina coeficiente de reducción.
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2.1. Clasificación de los sistemas axonométricos.
Al proyectar los ejes axonométricos (X, Y, Z) sobre el plano del cuadro,
forman entre sí los ángulos , ,  y cuyos valores difieren dependiendo de la
posición que estos ejes tengan respecto al plano. Las diferencias de ángulos
generan las tres axonometrías siguientes:
 Sistema axonométrico isométrico: los tres ángulos , ,  son
iguales. El coeficiente de reducción es el mismo para los tres.
 Sistema axonométrico dimétrico: dos ángulos son iguales y el otro es
distinto; por tanto, dos coeficientes de reducción son iguales y el
otro diferente.
 Sistema axonométrico trimétrico: todos los ángulos son diferentes
al igual que los coeficientes de reducción.
2.2. Escala axonométrica y coeficiente de reducción.
Si se toma sobre el eje X un punto A a una distancia U del origen, es decir
AO=U, siendo U la unidad métrica; y se proyecta A y O sobre el plano del
cuadro se determinan las proyecciones A1O1 =Ux, siendo Ux la unidad que
corresponde al eje X1.
La relación Ux/U entre dos unidades se llama coeficiente de reducción Cx. De
manera similar se determinan los coeficientes de reducción de los otros dos
ejes.
En el caso de la perspectiva isométrica donde los ángulos son iguales, se
verifica que Cx=Cy=Cz. Estas igualdades conducen a que el coeficiente de
reducción sea igual para los tres ejes y éste sea de C=0.816. Cuando este
coeficiente se hace coincidir con 1 se dice que se está realizando un dibujo
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isométrico o perspectiva isométrica normalizada; sin embargo, cuando se
aplica coeficiente de reducción, se obtiene una perspectiva isométrica.
2.3. Determinación gráfica de la escala axonométrica.
Para determinar una escala de manera gráfica utilizamos el triángulo de trazas.
La característica más importante de este triángulo es que cada uno de sus
lados es perpendicular al eje axonométrico que contiene al vértice opuesto.
Se parte de un triedro trirrectángulo de ejes X, Y, Z y de un plano del cuadro
que corta al citado triedro según un triángulo de trazas de vértices ABC.
Se abate sobre el plano del cuadro el triángulo AOB, que es rectángulo en el
espacio, obteniendo su representación abatida A(O) B.
Por el punto O se traza una perpendicular al lado AB que hace de charnela en el
abatimiento. Se traza la semicircunferencia de diámetro AB y donde corte a la
perpendicular anterior se obtiene (O) abatido. Esta operación está basada en
el arco capaz del segmento AB respecto al ángulo de 90º.
Las rectas que contienen A(O) y B(O) son los ejes (X) e (Y) respectivamente,
abatidos, que se encuentran en verdadera magnitud. Sobre estos ejes se
pueden llevar segmentos en verdadera magnitud y desabatirlos.
Repitiendo la operación anterior con el triángulo AOC se determinan los ejes
(X) y (Z) abatidos.
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Una manera sencilla para construir la escala isométrica es mediante la
observación de los ángulos que forman los ejes en verdadera magnitud y en
proyección (30º,45º)
3. REPRESENTACIÓN DEL PUNTO.
Un punto está representado por sus proyecciones sobre los planos coordenados
XOY, ZOX y ZOY mediante las siguientes anotaciones: a´,a´´,a´´´ ,
respectivamente.
Para hallar estas proyecciones y la perspectiva del punto, es suficiente con
situar sus coordenadas A (X,Y,Z) sobre los ejes y trazar paralelas a los
mismos. Los valores de las coordenadas del punto se ha reducido previamente a
su representación, como ya se ha explicado previamente.
a) Puntos situados en los triedros.
b) Puntos situados en los planos axonométricos.
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c) Puntos situados en los ejes axonométricos.
4. REPRESENTACIÓN DE LA RECTA.
La representación por coordenadas de una recta se hace mediante dos puntos.
Definiciones sobre la recta:
R Proyección directa o perspectiva de la recta
r´ proyección horizontal de la recta.
r´´ proyección vertical de la recta.
r´´ proyección vertical segunda.
Hr traza horizontal de la recta.
Vr traza vertical de la recta.
Wr traza vertical segunda de la recta.
a) Rectas contenidas en los planos de proyección.
b) Rectas paralelas a los planos de axonométricos.
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c) Rectas paralelas a los ejes axonométricos.
d) Rectas que cortan a los ejes.
e)Recta que pasa por el origen.
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5. REPRESENTACIÓN DEL PLANO.
Los planos al igual que en el sistema diédrico se representan por sus trazas.
Definiciones sobre el plano:
P´ Traza horizontal del plano.
P´´Traza vertical del plano.
P´´´Traza vertical segunda del plano.
5.1. Representación por coordenadas.
Las trazas de un plano se cortan dos a dos en puntos de los ejes. Dichos puntos
representan las coordenadas axonométricas del plano P (P´, P´´, P´´´).
5.2. Posiciones del plano.
a) Planos paralelos a los axonométricos.
b) Planos proyectantes.
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c) Planos que contienen a los ejes axonométricos.
6. REPRESENTACIÓN DE FORMAS PLANAS.
6.1.Formas poligonales.
Para representar formas planas en el sistema axonométrico debemos aplicarle
el coeficiente de reducción a las dimensionas de la figura. Para evitar hacer
cálculos abatiremos el plano sobre el que se va a dibujar la figura tal y como
vimos en el apartado 2.3. En el siguiente ejemplo vamos a dibujar un cuadrado
en el plano X0Y:
- Obtener el plano abatido (X)(0)(Y).
- Dibujar en el triángulo formado por los ejes abatido (X) (Y) y el lado AB del
triángulo fundamental el cuadrado a representar de vértices D, E, F y G.
- Prolongamos el lado DE hasta que corta al eje (X) en (1)y al eje (Y) en (2) .
- Trazamos perpendiculares al lado AB por los puntos (1) y (2) hasta cortar
respectivamente a los ejes X e Y en los puntos 1 y 2. Unimos dichos puntos.
- Por los vértices (D) y (E) trazamos perpendiculares al lados AB hasta que corten a
la recta 1-2 en los puntos d y e respectivamente.
- Repetimos esta operación con cada uno de los lados de la figura a representar.
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6.2. Circunferencia.
En el caso de la circunferencia la inscribiremos dentro de un cuadrado y
seguiremos los mismos pasos que en el caso anterior.
7. REPRESENTACIÓN DE SÓLIDOS.
En la representación de sólidos la base se representará de la misma forma que
las formas planas anteriores. En el caso de la altura tendremos que reducirla
según el coeficiente del eje al que corresponda, normalmente el Z.
7.1. Cono y cilindro rectos.
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7.2. Pirámide y prisma rectos.
8. SISTEMA AXONOMÉTRICO OBLICUO.
El sistema axonométrico oblicuo o también denominado perspectiva caballera
es un caso particular del sistema axonométrico en el que el triedro
trirrectángulo tiene los ejes X y Z coincidentes con el plano del cuadro. El eje
Y es perpendicular al plano del cuadro por lo que se proyecta en un punto en el
plano del cuadro. Para evitar este problema necesitamos un tipo de proyección
cilíndrica y oblicua a diferencia de la utilizada en el sistema axonométrico
ortogonal.
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9. FUNDAMENTOS DEL SISTEMA AXONOMÉTRICO OBLICUO.
9.1. Ángulo de posición.
Se denomina así al ángulo en proyección que forma el eje Y con el eje X medido
en sentido de las agujas del reloj. Dependiendo de cual sea su valor va a
permitir representar sólidos desde diferentes puntos de vista.
=45º
=135º
9.2. Coeficiente de reducción.
De lo explicado en el apartado 8 se deduce que los ejes X y Z permanecen en
verdadera magnitud y no sufren por tanto reducción al estar contenidos en el
plano del cuadro. En cambio el eje Y sufre una reducción que viene dada por el
coeficiente  cuyo valor depende de la inclinación  que tiene la dirección de
proyección sobre el plano del cuadro. Se puede observar que el coeficiente
 = ctg . Los coeficientes de reducción suelen estar comprendidos entre los
valores 0.5 y 0.7.
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10. REPRESENTACIÓN DE FORMAS PLANAS.
Si la forma plana que vamos a representar se encuentra en el plano XZ no
sufrirá reducción.
Si la forma plana se encuentra contenida en el plano XY sufrirá reducción. Para
representarla podemos recurrir a dos métodos:
a) Aplicar el coeficiente de reducción a todas las dimensiones de la figura.
b) Dibujar la figura abatida en el plano X(Y) y desabatirla en el XY. Para ello
seguiremos los siguientes pasos. En el ejemplo se utilizará un triángulo
equilátero al que se le aplicará el coeficiente de reducción de 2/3:
- Se abate el plano horizontal utilizando como charnela el eje X. (Y) es la prolongación
del eje Z y se halla la dirección d de abatimiento a partir del coeficiente de
reducción: a partir de O en el eje (Y) llevamos 3 unidades y sobre el eje Y 2 unidades.
Unimos la marca del 3 con el 2 y tenemos la dirección d del abatimiento.
- Dibujamos en el plano X(Y) la figura en verdadera magnitud (A), (B), (C).
- Por los vértices del triángulo se trazan paralelas al eje (Y) hasta cortar al eje X en
los puntos A1, B1 y C1.
- Por los puntos A1, B1 y C1 se trazan paralelas al eje Y.
-Por los puntos (A), (B), (C) se trazan paralelas a la dirección d hasta cortar a las
rectas trazadas en el paso anterior. La intersección de ambas rectas dará lugar a los
puntos a, b, c vértices del triángulo en perspectiva.
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En el caso de representar una circunferencia repetiremos el procedimiento
anterior con al menos 8 puntos de la curva.
11. REPRESENTACIÓN DE SÓLIDOS.
En la representación de sólidos la base se representará de la misma forma que
las formas planas anteriores. En función del plano en el que se sitúe se aplicará
reducción o no. Los ejes serán paralelos a los ejes axonométricos y
dependiendo de a cual sea paralelo se aplicará reducción o no.
11.1. Cono y cilindro rectos.
11.2. Pirámide y prisma rectos.
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