Download DEPARTAMENTO ECONOMIA FINANCIERA Y CONTABILIDAD I

Métodos y Modelos de los Sistemas Dinámicos.
1º Ciencias Actuariales y Financieras.
DEPARTAMENTO ECONOMIA FINANCIERA Y
CONTABILIDAD I
LICENCIATURA EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS
Plan 2001
METODOS Y MODELOS DE LOS SISTEMAS DINAMICOS
4,5 Créditos
Código 208
Profesores : Dr. Jose Luis Vilar Zanón,
Dr. Antonio Heras Martínez.
Obligatoria
Primer Curso, Primer Semestre
Curso 2006-07
1
Métodos y Modelos de los Sistemas Dinámicos.
1º Ciencias Actuariales y Financieras.
2
Titulación: Licenciatura en Ciencias Actuariales y Financieras
Departamento: Economía Financiera y Contabilidad I
Nombre de asignatura: Métodos Código:
y modelos de los sistemas
208
dinámicos
Plan:
2001
Curso
Semestre
1º
Tipo:
Obligatoria
Créditos:
4,5
1º
Horas semanales: 3
Teoría:
Nombre del profesor/es que imparte/n la asignatura:
José Luis Vilar Zanón
Antonio Heras Martínez
Prácticas:
El objetivo de esta asignatura es familiarizar al alumno con la modelización de
fenómenos dinámicos. Se hace hincapié en los que son de tipo aleatorio (procesos estocásticos,
movimiento browniano, procesos de difusión), ya que serán los mas útiles de cara a la
modelización de fenómenos de tipo financiero o actuarial. Para alcanzar este objetivo es
necesario empezar por la introducción del caso determinista (EDO´s; sistemas de EDO´s y
EDP´s); ya que su conocimiento permite el estudio del caso estocástico. Finalmente se aplican
las matemáticas introducidas a lo largo de la asignatura a un caso concreto como es la
valoración de opciones financieras (modelos para la rentabilidad de un activo con riesgo,
análisis de Black-Scholes)
Objetivos:
Competencias o destrezas que se van a adquirir:
Prerrequisitos para cursar la asignatura:
Contenido (breve descripción de la asignatura):
Bibliografía básica recomendada (máximo 4 títulos):
Balbás, A., Gil, J.A., Gutierrez, S.: Análisis Matemático para la Economía (tomo II).
AC. 1988.
Luenberger, D. G.: Introduction to Dynamic Systems.Theory, Models and Applications.
John Wiley. 1979.
Wilmott, P., Howison, S., Dewynne, J.: The Mathematics of Financial Derivatives. A
Student Introduction. Cambridge University Press. 1995
Wilmott, P., Howison, S., Dewynne, J.: Options Pricing. Cambridge University Press.
1995.
Método docente: Una parte de las clases prácticas se realizarán en el aula de
informática del Departamento o en el aula de informática nº3 del pabellón aulario.
Consistirán en el manejo de hojas de trabajo escritas en lenguaje Maple.
Tipo de evaluación: (exámenes/trabajos/evaluación continua):
examen final de carácter teórico práctico.
Idioma en que se imparte: Castellano
Observaciones:
La evaluación consistirá en un
Métodos y Modelos de los Sistemas Dinámicos.
1º Ciencias Actuariales y Financieras.
3
Lección 1: Introducción.
-
-
-
Los Análisis dinámicos determinísticos. Tiempo y estados del fenómeno.
Trayectorias temporales. Caminatas deterministas. Orden de una ecuación.
Clasificación de ecuaciones: ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.),
Ecuaciones en diferencias finitas (E.D.F.) y ecuaciones en derivadas parciales
(E.D.P.).
Ecuaciones diferenciales estocásticas (E.D.E.): estudio de los fenómenos dinámicos
de tipo aleatorio.
Resolución de algunas E.D.O. de 1º orden: Solución general, solución particular,
condición inicial. Crecimiento exponencial. Ecuaciones en variables separadas.
Ecuaciones homogéneas, ecuación lineal de 1º orden, ecuación de Bernouilli, factor
integrante.
Ejemplos: Modelos de crecimiento de poblaciones. Capitalización y descuento en
tiempo continuo.
Lección 2: Sistemas Lineales de 1º Orden y Ecuaciones Diferenciales Lineales de
Orden n con Coeficientes Constantes.
-
-
-
Sistemas lineales con coeficientes constantes
- Definiciones básicas.
- Interpretación geométrica.
- Resolución del sistema homogéneo. Breve repaso de semejanza matricial.
- Ejemplos.
Ecuaciones lineales de orden n con coeficientes constantes
- Definiciones básicas.
- Solución general de la ecuación homogénea.
- Reducción a un sistema de 1º orden.
- Ejemplos.
- Método para la obtención de la solución general. Ejemplos.
- Autovalores simples. Ejemplos.
- Autovalores múltiples. Ejemplos.
Solución general de la ecuación completa. Método de la variación de las constantes.
Ejemplos: Modelos de evolución del precio de un bien en el mercado.
Métodos y Modelos de los Sistemas Dinámicos.
1º Ciencias Actuariales y Financieras.
4
Lección 3: Ecuaciones en Derivadas Parciales.
-
-
-
-
-
Introducción: clasificación y primeros ejemplos. Definición de E.D.P.. Orden de
una E.D.P. Solución de una EDP. Ecuaciones lineales y cuasilineales. Ejemplos:
ecuaciones de Laplace, de ondas, del calor o de difusión, de Black-Scholes.
EDP cuasilineales de 1º orden. Superficie integral, dirección característica,
interpretación geométrica. Ecuaciones características. Problema de Cauchy,
problema de valor inicial. Ejemplos.
Clasificación de las EDP lineales de 2º orden. El problema de Cauchy. Curvas
características de la EDP. Ecuaciones elípticas, hiperbólicas y parabólicas.
Ejemplos: ecuación del calor o de difusión, ecuación de Black-Scholes.
Panorámica de la ecuación del calor o de difusión. Interpretación física de la
solución, la solución fundamental. Unicidad de la solución.
La delta de Dirac y la distribución de Heaviside: funciones generalizadas. El
problema de la representación de una masa puntual. La actuación de la  de Dirac
sobre las funciones continuas. La integral de la  de Dirac. La función de Heaviside
y su derivada generalizada. Funciones de prueba. Derivadas generalizadas.
Ejemplos.
Problemas de valor inicial para la ecuación de difusión sobre un intervalo infinito:
Soluciones. Masa unidad sobre un punto, condiciones iniciales de tipo más general.
Interpretación de las soluciones. Linealidad de la ecuación del calor o de difusión.
Convolución.
Lección 4: Movimiento Browniano y Procesos de Difusión.
-
-
-
-
Introducción: Procesos estocásticos en tiempo continuo. Espacio de estados discreto
o continuo. Trayectorias. Determinación de la dinámica del proceso. Esperanza
condicional.
La condición de Markov. Probabilidades y densidades de transición.
El Movimiento Browniano Estándar (MBE). Incrementos estacionarios. Incrementos
independientes. Definición. Propiedades de las trayectorias. Caminata aleatoria
normal.
Los Procesos de difusión.
- Definición. Ecuaciones diferenciales estocásticas. Tendencia y tasa de difusión.
- La ecuación prospectiva de Kolmogorov. Caminatas trinomiales. Problema de
valor inicial y su condición inicial.
- Ejemplo : La variación puramente aleatoria; Deducción de las densidades de
transición del MBE.
- Ejemplo : Ecuación diferencial estocástica con coeficientes constantes;
Deducción de las densidades de transición.
- Trayectorias de una difusión.
- Aplicación: modelo para la variación de la rentabilidad de un activo con riesgo.
El lema de Itô.
- Introducción: acerca de la variación en ambiente cierto.
- El lema de Itô. Ejemplos.
- Aplicación : Deducción de las densidades de la caminata logarítmico-normal.
- Ejemplos con el lenguaje MAPLEV.
Métodos y Modelos de los Sistemas Dinámicos.
1º Ciencias Actuariales y Financieras.
5
Lección 5: Introducción al Modelo de Black-Scholes.
-
-
Qué es una opción y para qué sirve. Call y Put europeas. Opciones digitales. Otros
tipos de opciones.
Valor final de una opción. Valores finales de la put y la call europeas.
Dos problemas fundamentales para la existencia de Derivados: Valoración y
cobertura del riesgo del emisor.
Evolución del precio del activo subyacente: caminata log-normal.
El activo libre de riesgo. La paridad put-call.
Arbitraje. Eliminación del riesgo. Rentabilidad de las carteras sin riesgo.
Valoración:
- El análisis Black-Scholes: Hipótesis asumidas y sus generalizaciones.
- La ecuación de Black-Scholes para una opción digital europea: Deducción.
Condiciones final y de contorno para cal y put.
- Resolución de la ecuación de Black Scholes: Su relación con la ecuación del
calor, las fórmulas de Black-Scholes para call y put europeas.
- El valor de una opción digital europea: Convolución de la solución fundamental
de la ecuación de difusión y el valor final de la opción. Ejemplos con el lenguaje
MAPLEV.
La cobertura del riesgo del emisor:
- Eliminación de la aleatoriedad.  -Rebalanceo continuo de la cartera. Ejemplos
con el lenguaje MAPLEV.
Bibliografía.
Balbás, A., Gil, J.A., Gutierrez, S.: Análisis Matemático para la Economía (tomo II).
AC. 1988.
John, F.: Partial Differential Equations(4th Edition). Springer.1982.
Luenberger, D. G.: Introduction to Dynamic Systems.Theory, Models and Applications.
John Wiley. 1979.
Oksendal, B.: Stochastic Differential Equations. Springer-Verlag. An Introduction with
Applications. 1995.
Whitle, P.: Probability Via Expectation. Springer-Verlag. 1992
Wilmott, P., Howison, S., Dewynne, J.: The Mathematics of Financial Derivatives. A
Student Introduction. Cambridge University Press. 1995
Wilmott, P., Howison, S., Dewynne, J.: Options Pricing. Cambridge University Press.
1995.