Download OBJETIVO GENERAL Aplicar los criterios de semejanza de

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
Y NATURALES
GRADO: 7
TALLER Nº: 8
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
SEMESTRE 2
SEMEJANZA
RESEÑA HISTÓRICA
1.
La geometría es una ciencia muy antigua y su origen se
debe a la necesidad que poseía el hombre de realizar
medidas. Los egipcios (3000 años antes de Cristo)
desarrollaron una serie de reglas prácticas que permitían
medir figuras geométricas y determinar algunas de sus
propiedades. La palabra geometría se deriva de las
palabras griegas “geo” que quiere decir tierra, y “metrón”
que quiere decir medida.
Fueron los griegos quienes dieron a la geometría su
máximo desarrollo, como lo muestra Euclides (300 años
antes de Cristo) con su famosa obra Elementos. La
mayor parte de la geometría clásica, se encuentra en
dicha obra.
 OBJETIVO GENERAL
Aplicar los criterios de semejanza de triángulos para determinar cuando dos triángulos
son semejantes.
 OBJETIVOS ESPECIFICOS
1. Identificar cuando dos polígonos son semejantes.
2. Utilizar la propiedad fundamental de las proporciones para determinar cuando dos
segmentos son proporcionales
 PALABRAS CLAVES
Segmento proporcional, lados correspondientes, ángulos correspondiente, criterio,
polígonos semejantes.
 DESARROLLO TEÓRICO
POLÍGONOS SEMEJANTES.
Las figuras que tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, son
figuras semejantes. Puedes considerar las figuras semejantes como agrandamientos o
reducciones de ellas mismas sin distorsiones.
Las siguientes figuras son semejantes
Estos rectángulos no éstos pentágonos son semejantes.
Definición: Dos polígonos son semejantes cuando cumplen cada una de las siguientes
condiciones:
 Los ángulos correspondientes son congruentes.
 Las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales.
Para que dos figuras sean semejantes, deben cumplirse ambas condiciones: lados
proporcionales y ángulos congruentes.
Ejemplo:
Determina si el paralelogramo MNOP es semejante al paralelogramo WXYZ.
2
De la información dada en la figura se tiene que mN  mX
Como N y M son suplementarios, se puede concluir que mM  120º
De la misma forma; como X y W son suplementarios, se puede concluir que
mW  120º
Se tiene entonces que:
mN  mX
mM  mW
mP  mZ
mO  mY
Así, los ángulos correspondientes son congruentes.
Revisemos si los lados correspondientes son proporcionales
Al determinar las proporciones se tiene que
MN 6 3
 
WX 8 4
NO 8 2


XY 12 3
Lo cual Indica que los lados correspondientes no son proporcionales. Por lo tanto, los
paralelogramos no son semejantes.
TRIÁNGULOS SEMEJANTES.
Como puedes observar los triángulos son semejantes; tienen la misma forma aunque
distinto tamaño; si tienes en cuenta la definición de polígonos semejante, puedes
concluir que los lados y los ángulos de los triángulos semejantes deben cumplir las
siguientes condiciones:
3
mA  mA'
mB  mB'
mC  mC '
a b c
 
a ' b' c '
Entonces para mostrar que dos triángulos son semejantes sería necesario verificar
cada una de las seis condiciones que comparan los ángulos y los lados. Sin embargo,
existen los siguientes criterios para determinar si dos triángulos son semejantes:
 Criterio Ángulo-Ángulo (AA).
Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de un segundo
triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes.
A  A'
B  B'
 Criterio Lado-Ángulo-Lado (LAL).
Si un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo de otro triángulo y las
longitudes de los lados que lo forman son respectivamente proporcionales, entonces los
dos triángulos son semejantes.
B  B'

a c

a' c'
Criterio Lado-Lado-Lado (LLL).
Si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, entonces los
triángulos son semejantes.
4
a b c
 
a ' b' c '
La importancia práctica de estros criterios radica en la simplificación del trabajo, puesto
que es suficiente verificar que se cumple la condición (o condiciones) del criterio para
estar seguros de que los dos triángulos son semejantes sin tener que verificar el resto
de las seis condiciones.
Ejemplo:
Para establecer si son semejantes, se puede utilizar el criterio LLL, entonces se debe
determinar si sus lados correspondientes son proporciones, es decir; si se cumple que:
10 12
15


15 18 22.5
Al utilizar la propiedad fundamental de las proporciones, trabajada en un taller anterior,
se tiene que:
10 12

15 18
10
15

15 22.5
Así
Así
10  18  12  15
180  180
y
10  22,5  15  15
225  225
Por lo tanto los triángulos son semejantes pues sus lados son proporcionales.
5
 EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Si 2 triángulos son semejantes y el ángulo A mide 60º y el B' mide 80º, ¿Cuánto
mide el ángulo B?
2. Si en 2 triángulos semejantes el segmento AB mide 8 cm, el BC mide 6cm, el
A'B' 24 cm, ¿Cuánto medirá el segmento B'C'?
3. Determina utilizando los criterios si los siguientes triángulos son semejantes
B
a)
10
6
C
B’
A
8
5
3
C’
b)
4
8
B
A’
Q
C
35º
10
15
L
35º
12
R
J
c)
T
18
12
Q
J
M
15
10
8
C
X
12
6
¿es el  ABC   DCE?
AB // DE ,
4. Según la figura, si
A
B
C
D
E
5. Los lados de un triángulo miden 24 m. 18m. y 36 m. respectivamente. Si los
lados de otro triángulo miden 12m. 16 m. y 24 m. respectivamente. Determina si
son o no semejantes, justificando tu respuesta.
6. Los lados de un triángulo miden 36 m. 42 m. y 54 m. respectivamente. Si en un
triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m. hallar los
otros dos lados de este triángulo.
7. La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’ es 3:4. Si los
lados del primero son 18, 21 y 30, determina los lados del segundo.
8. Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 m. 8 m. y 10 m. respectivamente.
¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero si su
hipotenusa mide 15 m.?
9. Si se sabe que  ABC   DCE. Encuentra el valor de AD si AC = 25
A
D
15
3
B
C
E
10. Dado que LK // CB . Muestre que :  LKM   BCM
C
L
M
K
B
7
11. ¿En qué casos el  ABC   DEF
a)
b)
c)
d)
AB
DE
AB
BC
BC
EF



BC
EF
DE
EF
AC
DF

? Si:
C
CA
FD
;
B=E
A
,
 A=D
B
B=D
,
 C=E
E
D
F
8