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APUNTES
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
1. DEFINICIONES FUNDAMENTALES
DE LA GEOMETRÍA
1.1 Definiciones Fundamentales de Geometría: De
punto, línea,
línea recta, segmento, recta,
semirrecta, rayo y plano.
1.2 Lenguaje Lógico de la Geometría: teorema,
axioma, postulado, corolario, lema, escolio y
problema.
1.3 Operaciones básicas con segmentos.
ING. HERIBERTO PRIETO ZAMUDIO
APUNTES
1.1 DEFINICIONES FUNDAMENTALES DE GEOMETRÍA
La Geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo
tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de
las sobre las formas y sus propiedades.
Los dos temas más comunes son:
Geometría Plana (sobre formas planas como líneas
rectas, círculos y triángulos... formas que se pueden
dibujar en un trozo de papel)
Geometría Sólida (sobre objetos tridimensionales
como cubos y pirámides).
Punto:
 Un punto sólo tiene posición en el espacio.
 Un punto se representa gráficamente por un pequeño círculo de tamaño
variable.
 Es la unidad indivisible de la geometría.
 No tiene dimensión (largo, alto, ancho)
 Se nombra con letra mayúscula.
Línea:
 Es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento.
 Un a rec ta com p ren d e i nfi ni tos puntos .
ING. HERIBERTO PRIETO ZAMUDIO
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Línea recta:
 Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea
recta.
Notación:
ó
 Una línea puede ser recta, curva o combinada. Una línea cualquiera,
puede extenderse en forma ilimitada.
 Significará siempre una línea que se prolonga indefinidamente en dos
sentidos opuestos. Al dibujar una recta, se trazan puntas de flechas para
enfatizar el hecho de que la recta no termina.
Postulados:
Por dos puntos pasa una recta y solamente una.
Dos rectas no pueden tener más que un solo punto común.
Una línea tiene una sola dimensión: longitud.
Propiedades de la recta:
I. Dos rectas se intersecan en un punto, y sólo en uno.
II.
Si fuera de una recta se encuentra un punto, el punto y la recta están
contenidos en un plano, y sólo en uno.
III. Si dos rectas se intersecan, ambas están contenidas en un plano, y sólo en
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uno.
IV.
Si en una misma recta están tres puntos, no más de uno está situado entre los
otros dos.
V.
En un rayo existe un punto, y sólo uno, situado a una distancia dada del punto
extremo del rayo.
VI. Un segmento tiene un punto medio y sólo uno.
Segmento:
 S e gm en t o e s la p o rció n de re cta lim it a d a p o r do s p u n to s,
lla m a do s e xt re mo s.
 S e d e sign a p o r lo s p u n to s qu e lo lim it a n o p o r u na le t ra
m in ú scu la
I gua l da d de s e gme ntos
 Do s s e gme ntos so n i gual e s cu an d o su p e rpu e sto s c oinc i de n
S e gme nto nul o
 Un s e gme nto e s nul o cu a nd o su s extre mos c oi nc i de n
S e gme ntos c ons ec uti vos
Do s s e gme ntos so n c ons ec uti vos cu a nd o t ie ne n u n e x tre mo en
c om ún.
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S e gme ntos a l i neados
Do s s e gme ntos cons e c uti vos e st án a l i ne a dos cu a nd o pe rt e ne cen
a la m is ma re c ta .
Recta:
 T ie ne una di me nsi ón: l ongi tud .
 Se designan mediante dos de sus puntos o mediante una letra minúscula.
 Dos puntos determinan una recta.
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 Un a re ct a in d ica una di re cc i ón y dos s e nti dos c ontra ri os ,
se gú n se re co rra la re ct a d e izqu ie rd a a d e re ch a o de de re ch a
izqu ie rd a
Semirrecta:
 Un a sem irre ct a e s ca d a u n a d e la s pa rt e s en qu e qu eda
d ivid id a u n a re ct a p o r u no cua lq u ie ra d e su s pu n to s.
Rayo:
 Línea recta que crece en un solo sentido y una dirección
Plano:
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 Un p la no po se e dos di me nsi one s: l ongi tud y a nc hura
 Un plano es una superficie que tiene longitud y anchura pero no espesor.
 El plano tiene dos dimensiones a diferencia de la mayoría de los casos que
nos rodean que están en tres dimensiones.
 S e re p re se n ta m e dia n t e u n pa ra le l ogra mo d e la do s men o re s
o b licu o s
 S e no mb ra n m ed ian t e le tra s gri e gas : α (a lf a ), β (be t a ) …
La geometría plana
circunferencia, círculo.
estudia
por
ejemplo
los
triángulos,
cuadriláteros,
Un p la no vie n e de te rm in ad o p o r:
Tre s puntos no ali ne a dos
Dos re c tas que se c orta n
Dos re c tas pa ra l el a s
P or un punto y u na re c ta
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Cons i de ra ci one s s obre e l pl a no
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Un p la n o co nt ien e inf in it o s pu n to s .
Un p la n o co nt ien e inf in it a s re cta s .
Un p la n o e s ilimit a d o .
Do s p la n o s qu e se co rt an de t e rm ina n un a re ct a .
Un a re ct a que t ie n e d o s p u nt o s e n u n p la n o e stá cont e n ida e n é l .
P o r u na re ct a pa sa n inf in it o s p la no s.
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1.2 LENGUAJE LÓGICO DE LA GEOMETRÍA
PROPOSICIÓN - Enunciado de una hipótesis o suposición, y de una tesis o
conclusión, que es consecuencia de la hipótesis.
Ejemplo: Proposición 3 de libro III de los Elementos de Euclides: Si en un
círculo una recta CD dibujada a través del centro E divide en dos partes iguales a
otra recta AB no dibujada a través del centro, la corta formando también ángulos
rectos; y si la corta formando ángulos rectos, la divide también en dos partes
iguales AF y FB.
AXIOMA - Axioma es una proposición evidente en sí misma y por lo tanto, no
necesita demostración.
Ejemplo: Tenemos los axiomas euclidianos: El todo es igual a la suma de las
partes. El todo es mayor que cadauna de las partes. Entre dos puntos pasa una
única línea recta
.
TEOREMA - Teorema es una proposición que para ser evidente necesita
demostración. Por ejemplo: La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos
ángulos rectos.
Ejemplo: Si dos rectas paralelas se cortan con una recta secante se cumple la
relación de ángulos siguiente:
1 - Los ángulos alternos/internos son iguales.
2 - Los ángulos alternos/externos son iguales.
3 - Los ángulos correspondientes son iguales.
4 - Los ángulos colaterales internos son suplementarios.
5 - Los ángulos colaterales externos son suplementarios.
POSTULADO - Postulado es una proposición que se admite sin demostración,
aunque sin la evidencia del axioma. Por ejemplo: Por un punto exterior a una recta
sólo se puede dibujar una sola paralela a la recta.
LEMA - Lema es un teorema preliminar que sirve de base para demostrar otras
proposiciones.
COROLARIO - Corolario o consecuencia es un teorema la verdad del cual se
deduce simplemente de otro ya demostrado.
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ESCOLIO - Escolio es una advertencia o nota que se hace a fin de aclarar,
ampliar o restringir proposiciones anteriores.
PROBLEMA - Problema es una cuestión que se propone con la finalidad y ánimo
de aclararla o resolverla utilitzando una metodología determinada.
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1.3 OPERACIONES BÁSICAS CON SEGMENTOS
S uma de s e gme ntos
L a s uma de dos se gme ntos e s o t ro se gm e n to qu e t ie ne p o r i nic io
e l or i ge n de l prime r se gme nto y c omo fi na l e l fi nal de l s e gundo
s e gm e nto.
L a lon git u d d e l se gm e n to su ma e s igu a l a la suma de l as
l ongi tude s de l os dos s e gme ntos que l o forma n
Re s ta de s e gme ntos
L a r es ta de dos se gme ntos e s o t ro se gm e n to qu e t ie ne p o r ori ge n
e l fi na l de l s e gme nto me nor y po r fi na l e l fi na l de l s e gme nto
m a yor .
L a lon git u d d e l se gme nto di fe re nci a e s igu a l a la re s ta de la s
l ongi tude s de l os dos s e gme ntos .
P roduc to de un núme ro por un s e gme nto
E l p ro d u ct o de un n ú me ro co n un se gm e n t o e s o t ro se gm e n to
re su lt a do d e re pe t ir e l se gm e n t o t a n t a s ve ce s com o in d ica el
n ú me ro p o r e l qu e se mu lt ip lica .
L a lo n git ud d e l se gm e n to ob t en ido e s igu a l a l n úm e ro p o r la
lo n git u d de l se gm en t o in icia l .
Di vi s i ón de un segme nto por un núme ro
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L a di vi s i ón de un s e gme nto po r u n núme ro e s o t ro se gme nto t al
qu e m u lt ip lica d o p o r e se n úm e ro da com o re su lt a do e l se gm en to
o rigin a l .
L a lo n git u d d e l se gm e n to o bt e n ido e s igu a l a la lo n git u d d e l
se gm e n to in icia l d ivid id o p o r e l nú mero .
ING. HERIBERTO PRIETO ZAMUDIO
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FUENTE DE INFORMACIÓN
Pagina Web:
http://www.geolay.com/introducccion.htm
http://www.geoka.net/
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa
http://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones/geometria.html
http://www.everyoneweb.es/asesoriamatematica/
http://www.geolay.com/angulo.htm
http://www.everyoneweb.es/asesoriamatematica/
http://www.euclides.org/menu/elements_esp/definiciones.htm#AXIOMA
http://www.geoka.net/
Videos:
http://www.youtube.com/watch?v=pHu1nr57ElE
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