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UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA DEPARTAMENTO DE FISICA FISICA II CARRERA INGENIERIA PLAN COMUN GUIA DE EJERCICIOS N° 3.- AÑO 2010 POTENCIAL ELECTRICO. 1. Calcular el trabajo necesario para mover una carga q desde un punto A a otro punto B en el campo de una carga puntual Q, como se indica en la figura. Rp : W 2. AB = qQ 1 1 4 0 rB rA Dos cargas puntuales q1 = 40 n C y q2 = - 30 n C, están separadas 10 cm. Si el punto A se encuentra en la línea que las une y equidista de ellas, y el punto B esta a 8 cm de q1 y a 6 cm. de q2 Calcular: a) El potencial en el punto A. b) El potencial en el punto B. c) El trabajo necesario para transportar una carga de 2.5 n C desde el punto B hasta el punto A. Rp : 3. (a) V A = 1.800 volt (b) V B = 0 (c) W BA = 4,5 10 –6 J Una carga puntual tiene q = 1 C. Considere que dos puntos A y B están 2,0 m y 1,0 m respectivamente de la carga ,la que se encuentra en línea con ellos y entre ambos. a) ¿Cuál es la diferencia de potencial VAB ? b) Resuelva el mismo problema para el caso en que los puntos A y B están situados sobre rectas perpendiculares ,que pasan por la carga. (a) V 4. AB =VB–V A = 4.500 volt (b) V AB 0 4.500 volt La separación entre los electrodos de una bujía es 0,05 cm . Para producir una chispa en una mezcla aire gasolina se requiere un campo eléctrico mínimo de 3 106 N/C . ¿Cuál debe ser la mínima diferencia de potencial entre los electrodos que debe suministrar el sistema de encendido, para que el automóvil arranque?. 5. Un electrón que se mueve rectilíneamente, pasa por un punto A con una velocidad de 3,6 105 m/s y se detiene, en cierto instante, en un punto B . (a) Determinar VAB . (b) ¿Cuál punto, A o B, se encuentra a mayor potencial?. (c) Si el campo eléctrico en la región donde están los puntos A y B fuese uniforme y paralelo a la recta que une dichos puntos, calcular la magnitud y el sentido de tal campo. 6. Dos grandes placas conductoras paralelas, cargadas uniformemente, con cargas de signos opuestos, están separadas 0,5 mm y la diferencia de potencial entre ellas es 24 volt. (a) Determinar el campo eléctrico en cualquier punto entre las placas y la densidad de carga superficial de la placa positiva. (b). Si un electrón se libera en la superficie de la placa negativa ¿Cuál es su velocidad al llegar a la otra placa?.(c) Si la placa de menor potencial se conecta a tierra y se mantiene la diferencia de potencial entre las placas ¿Cuál es el potencial de la otra placa?. (d) Si la placa de menor potencial se conecta a tierra, a través de una fuente de 12 volt, ¿Cuál es el potencial de la otra placa?. (e) ¿Cambia el resultado obtenido en la pregunta (b) si el sistema se encuentra en las situaciones descritas en (c) y (d)?. 7. En todo el volumen de una esfera de radio R existe una densidad de carga constante . Hallar las expresiones de potencial V y del campo eléctrico para puntos interiores y exteriores de la esfera, en función de su distancia “r” al centro. Rp : E i = Vi=- 8. r 2 R2 60 2 0 r ur 3 0 ; Ve= ; Ee= R3 ur 3 0 r 2 R3 3 0 r Calcule el potencial eléctrico en cualquier punto del eje perpendicular al plano de un anillo de radio R que pasa por su centro , si este tiene una carga +Q. Rp : V = Q 1 4 0 R2 x2 , Eje X perpendicular al disco 9. Calcular el potencial eléctrico de un disco cargado con uperfic uperficial y de radio R, en un punto situado sobre el eje del disco y a una distancia “z” de su centro. A partir de este resultado calcule el campo eléctrico para puntos del eje del disco. Analice que ocurre con los valores obtenidos si z>> R . Rp : V = Si z R 20 z 2 R2 z E= z 1 2 2 0 z R2 u z E0 ,V0 10.Un conductor esférico de radio “a” tiene una carga Q0 . y se encuentra en el interior de un cascarón delgado y conductor de radio “b”, ver figura. Este último se halla conectado a tierra , a través de una batería de diferencia de potencial V1 a) Calcular la carga total sobre las superficies exterior e interior del cascarón. b) Hallar la expresión del campo y del potencial a una distancia “r” del centro de las esferas, siendo : r < a ; a < r < b y finalmente r < b. Rp : (a) Q si =-Q 0 ; Q se = 4 0 b V (b) si r a : E = 0 ; V = V 0 + V=V0+ 0 KQ Q 1 1 ; si a r b : E = 2 0 r 4 0 a b Q 1 1 . 4 0 r b si r b : E= b V0 ur r2 , V= u r b V0 r 11.Una carga puntual tiene q = 1 C. Considere que dos puntos A y B están 2,0 m y 1,0 m respectivamente de la carga ,la que se encuentra en línea con ellos y entre ambos. c) ¿Cuál es la diferencia de potencial VAB ? d) Resuelva el mismo problema para el caso en que los puntos A y B están situados sobre rectas perpendiculares ,que pasan por la carga. (a) V AB =VB–V A = 4.500 volt (b) V AB 0 4.500 volt 12. Un cilindro metálico largo de radio “a” se encuentra rodeado por un cascarón conductor ,cilíndrico, delgado coaxial de radio “b” ,donde b > a .La carga por unidad de longitud en el cilindro interno es + y hay una carga negativa por unidad de longitud ,de la misma magnitud en el cilindro exterior . (a) Calcule el potencial eléctrico en cualquier punto en cada una de las siguientes regiones : r < a ; <b a<r ; r > b donde r es la distancia desde un punto cualquiera al eje común de los cilindros. (b) Muestre que el potencial del cilindro interno respecto al externo está dado por V ba = ( / 2 0 ) Ln ( b / a ) (c) Determine el campo eléctrico en cualquier punto de regiones señaladas en (a) Rp : si r a : V(r ) = b ln + V(b) 2 0 a E=0 cada una de las Si a r b : V (r) = Si r b : b ln + V(b) 2 0 r V(r) = V (b) ; E=0 ; E= ur 2 0 r Se consideró el nivel de referencia del potencial en r = b , V (b) = 0 . 13. Un haz de electrones, acelerados desde el reposo por una diferencia de potencial Vo entra en una región ,en vacío , entre dos placas cuadradas, paralelas , separadas una distancia “d” , que tienen una longitud b , siendo d << b .Los electrones entran por un punto que equidista de las placas con su velocidad paralela a ellas . Entre estas placas la diferencia de potencial es V1 y el campo eléctrico es uniforme . Calcular el valor de V1 para que los electrones salgan exactamente rozando el borde de la placa. Rp : V ¡ = 2 d 2 V0 b2 14. Una distribución volumétrica de carga tiene la forma de una esfera hueca de radio interior R y radio exterior 3 R ,siendo su densidad de carga = A / r 2 donde A es una constante y r es la distancia desde un punto cualquiera al centro de la esfera. ( a) Calcule la diferencia de potencial V AB , siendo A un punto situado a la distancia 4R del centro de la esfera y B otro punto localizado a 2 R del centro. (b) Si una carga puntual q se coloca posteriormente en el centro de la esfera ¿ Cuál deberá ser su magnitud y signo para que el campo eléctrico se anule en cualquier punto exterior de este sistema?. Rp : (a) VAB = A 0 ln 3 2 (b) q = - 8 AR 15. El campo eléctrico en un punto P a 50 cm del centro de un cascarón conductor , tiene una magnitud de 36 N / C dirigido radialmente alejándose del conductor. El cascarón tiene un radio interior de 5 cm y un radio exterior de 10 cm, estando vacía su cavidad interna. (a) Determine la carga sobre las superficies interna y externa del cascarón. (b) Calcule el potencial eléctrico en la superficie exterior del conductor . (c) Hallar el trabajo que deberá realizar un agente externo ,si tuviese que transportar una carga puntual de 2 C desde el centro del cascarón hasta el punto P. (d) Si el conductor se conecta directamente a tierra ¿ Cuál es la nueva magnitud del campo eléctrico en el punto P? . Rp: (a) Qsi = 0; Qse = 1 nC. (b) 89,9 volt. (c) - 1,4 10 –4 J. (d) 0. 16.- Una esfera conductora de radio R cargada con una carga desconocida Q , se rodea de un cascarón metálico concéntrico de radio interior 3 R y radio exterior 4R. Si la superficie externa del cascarón se conecta a una fuente de voltaje V 0 , desconocido , entonces se encuentra que el potencial eléctrico a la distancia 5 R del centro del sistema vale 300 volt y además , se observa que en un punto situado a 2 R del centro el potencial es cero . Considerando que R mide 10 cm , calcule V 0 y Q . Rp : Vo = 375 volt ; Q = - 25 nC. 17. Una barra uniformemente cargada, de 10 cm de longitud , se dobla para formar una semicircunferencia . Si la barra tiene una carga total de 30 C. (a) Determine la posición en la que hay que colocar una carga puntual de 15 C para que el campo eléctrico en el centro de la semicircunferencia sea nulo. (b) En tal caso , determine el potencial eléctrico en el centro de la semicircunferencia . Rp: a) En el eje de simetría de la semicircunferencia a 2,9 cm del centro. (b) 1,3 107 volt. 18. Una esfera sólida aislante de radio R tiene una densidad volumétrica de carga no uniforme , dada por la expresión = A r 2 , donde A es una constante y r es la distancia desde un punto de la esfera al centro de la misma . E (a) Calcule en puntos interiores y exteriores de la esfera . ( b ) Determine el potencial eléctrico en el centro de la esfera . (c) Calcule el trabajo para que un agente externo traslade una carga puntual qo desde un punto P, situado a la distancia 3R del centro, hasta otro punto M, situado diametralmente opuesto a P y a la distancia 5R del centro. Rp : (a) Ei Ar3 A R5 uˆ r ; E e uˆ r 5 o 5 o r 2 (b) Vo A R4 4 o 19. El campo eléctrico a 10 cm del centro de una esfera conductora de radio 2 cm , es 9000 N/C , dirigido radialmente hacia fuera de ella. ( a ) Calcule el potencial eléctrico en el centro de la esfera. ( b ) Si Kg y cuya carga es - 1.6 10 – 19 un electrón , cuya masa es 9.1 10 – 31 C , se libera en un punto a 10 cm del centro de la esfera , determine su velocidad cuando alcanza la superficie de la esfera .( c ) Un punto A está a 20 cm del centro de la esfera, mientras que otro punto B está situado en una posición diametralmente opuesta con A y a la misma distancia del centro , calcule V AB . ( d ) . Si en la pregunta anterior , el punto B sólo cambiara el valor de su distancia al centro a 5 cm ¿ Cuál es el nuevo valor de V AB ?. Rp: (a) 4500 volt. (b) 3,6 107 m/s. (c) VAB = 0 . (d) VAB = 1350 volt. 20. Dos gotas de agua idénticas y esféricas están cargadas al mismo potencial V Hallar el nuevo potencial si las dos gotas se juntan en una sola. Rp : V’ = 2 2/3 V0 0 . 21.¿Cuál es la velocidad de un electrón que ha sido acelerado desde el reposo , a través de una diferencia de potencial de 100 volt? ¿Cuál es su energía en joules? Expresar esta energía en electrón-voltios . Rp : (a) v = 5,92 106 m/s ; = 1,6 10 – 17 J = 100 eV. CONDENSADORES. 22.- Tres condensadores de 1,5 F , 2 F y 3 F se conectan (a) en serie (b) en paralelo y se les aplica una diferencia de potencial de 20 V . Determinar en cada caso : (a) La capacidad del sistema (b) la carga y la diferencia de potencial de cada condensador . (c) La energía del sistema . Rp : (a) Serie : 6 / 9 F Paralelo : 6,5 F (b) Serie (1,5 F , 13,3 C ,8,88 V ); ( 2 F , 13,3 C, 6,66 V ) ; (3 F , 13,3 C, 4,44 V ) . Paralelo : (1 ,5 F , 30 C ,20 V ) ; ( 2 F , 40 C , 20 V ) ; ( 3 F , 60 C , 20 V ) . (c) Serie 133,3 J . Paralelo 1300 J. 23.- Se cargan separadamente , con una batería de 100 V , un condensador de 2 F y otro de 4 F. A.-Si luego se conectan de manera que queden unidos por una parte sus placas positivas y por otra sus placas negativas .¿ Cuál es la carga y la diferencia de potencial de cada uno? B.- Si en vez de conectarlos así , se hubiera conectado el terminal positivo de uno al negativo del otro ¿ Cuál sería la carga y la diferencia de potencial de cada uno?. C.- ¿Cuánta energía almacenaron ambos condensadores antes de conectarlos entre sí?. D.- ¿Cuánta energía almacenaron al conectarlos como se indica en A?. E.- ¿Cuánta energía acumularon una vez conectados como se indica en B?. Rp: A: (2 F , 200 C , 100 V ), (4 F, 400 C, 100 V) B : (2 F , 400 / 6 C , 200 / 6 V ) ; (4 F , 800 / 6 C , 200 / 6 V ) C : 30.000 J D : 30.000 J E :3.333,3 J 24.- Hallar la capacidad de un condensador formado por dos cilindros metálicos coaxiales de radios “a” y “ b” y longitud L . ( a b ) . Rp : C= 2L Ln(b / a) 25.- Un grupo de condensadores idénticos se conecta primero en serie y después en paralelo La capacidad equivalente en paralelo es 100 veces mayor que la correspondiente a la conexión en serie ¿Cuántos condensadores forman el grupo? Rp :10 . 26.- En el sistema de la figura , los condensadores C 1 y C 2 se cargan llevando I a la posición (2) una vez cargados C 1 y C 2 el interruptor se lleva a la posición (1) y en tal caso calcule (a) La carga final de cada condensador (b) La diferencia de potencial entre los puntos A y B . Rp : (a) Q1 = 4 / 33 C V0 ; Q 2 = 4 / 33 C V0 ; Q 3 = 6 / 11 C V 0 ; VAB = 2 /11 V0 27.- En el sistema de condensadores de la figura (a) Calcular la capacidad equivalente del sistema ,entre los puntos A y B . (b) Si se aplica una diferencia de potencial V0 entre los puntos A y B , calcular la diferencia de potencial entre los puntos D y E . Rp : (a) 8 / 5 C (b) 1 / 5 V 0 28.- Cuatro condensadores se conectan como se muestra en la figura. (a) Encuentre la capacidad equivalente entre los puntos “a” y “b”. (b) Calcule la carga en cada condensador si V ab = 15 V . Rp : (a) 5,96 F (b) 89,2 C , 63,1 C , 26,4 C 26,4 C. 29.- Considere el circuito mostrado en la figura , donde C1 =6F , C 2 = 3 F y V = 20 volt . El condensador C 1 se carga primero cerrando el interruptor S1. Este interruptor se abre después y el condensador cargado se se conecta al descargado al cerrar S 2 . Calcule la carga inicial adquirida por C1 y la carga final en cada condensador . Rp : 120 C ; 80 C , 40 C . 30.- En el circuito de la figura , C 1 = 3 F, C 2 = 6 F, C 3 = 2 F , V 0 = 12 volt . Los interruptores S 1 y S 2 están inicialmente abiertos y los condensadores descargados . Calcule la carga y la diferencia de potencial en cada condensador cuando : (a) Se cierra S S 2 se mantiene abierto . (b) A continuación se 1 y abre S 1 y se cierra S 2 . Rp : (a) Q 1 = Q 2 = 24 C ; Q3 = 0 ; V1 = 8 volt ; V2 = 4 volt ; V3 = 0 . (b) Q1 = 24 C ; Q2 = 18 C ; Q3 = 6 C ; V1 = 8 volt ; V2 = V3 = 3 volt. 31.- En el circuito de la figura se cierran S 1 y S 2 . Luego ambos se abren y entre a y b se conecta un condensador de 5 F cargado con una carga Q = 2 C y con la polaridad indicada en la figura .Calcular la carga y el voltaje finales en cada condensador . Rp : Q1 = 78,8 C ; Q2 = 42,4 C ; Q3 = 36,4C ; Q4 = 15,3 C ; Q5 = 19,1 C ; V1 = 78,8 volt ; V2 = 21,2 volt ; V3= 12,1 volt ; V4 = V5 = 3,8 volt . 32.- Para el sistema de condensadores que se observa en la figura (a) Encuentre la capacidad equivalente entre los puntos a y b . (b) Determine la carga en cada condensador si V ab = 12 volt . Rp : (a) 5 /4 F (b) ( 5 F , 15 C ); (2 F , 3 C ); ( 8 F , 12 C) ; ( 2 F; 15 C) 33.- Considere la combinación de condensadores que se muestra en la figura .(a) ¿ Cuál es la capacidad entre los puntos a y b . (b) Determine la carga en cada condensador se V ab = 12 volt . Rp : (a) 12 F . (b ) 60 C , 36 C , 48 C . 34.- A un condensador de placas paralelas , cada una con un área de 0,6 cm 2 , separadas 1,8 mm , se le aplica una diferencia de potencial de 20 volt entre sus placas , habiendo sólo aire entre ellas . Calcular (a) el campo eléctrico entre las placas (b) la densidad de carga superficial (c) la capacidad (d) la carga en cada placa (e) la energía almacenada . Rp : (a) 1,11 10 4 N / C (b) 98,3 nC / m2 (c) 0,295 pF (d) 5,9 pC (e) 5,9 ·10 – 11 J . 35.- Un condensador aislado , de capacidad desconocida ,se ha cargado hasta una diferencia de potencial de 100 volt. Luego las placas de este condensador se unen a las de otro condensador de 10 F , que se encuentra descargado ,observándose que el voltaje final de la combinación es 30 volt . Calcule la capacidad desconocida. Rp : 4,29 F . 36.- Un condensador de placas paralelas de 16 pF , se carga por medio de una batería de 10 volt . Si cada placa tiene un área de 5 cm2 (a) ¿Cuál es el valor de la energía almacenada en el condensador?. (b) ¿Cuál es la densidad de energía en el campo eléctrico del condensador, si la placas están en el vacío? Rp : (a) 800 pJ. (b) 5,79 mJ / m3 37.- Un condensador de 3 F se carga con una batería de 12 volt. Después se desconecta de la batería y se conecta a un condensador descargado de 5 F. Determinar la energía almacenada (a) antes de conectar los condensadores. (b) después de que se conecten los condensadores. (c) ¿Cuánto cambió la energía?. (d) ¿Se conserva la energía?. Explicar . 38.- Cuando se considera el suministro de energía para un vehículo, la energía por unidad de masa de la fuente de energía es un parámetro de interés. Utilizando los siguientes datos, compare la energía por unidad de masa, J/kg, para la gasolina, batería de plomoácido y condensadores. Gasolina : 126000 Btu/galón ; densidad 670 kg/m3 . Batería de plomo-ácido : 12 volt, 100 A hr ; 16 kg. Condensador: Diferencia de potencial a carga máxima 12 volt; capacidad 0,1 F; masa 0,1 kg. Considerar: 1 Btu = 1054,3 J ; 1 galón = 3,78 dm3 , 1 A hr = 3600 C . (a) ¿Cuál fuente presenta mayor valor del parámetro?. ¿Estima Ud posible su empleo?. (b) Si el condensador fuese esférico, ¿Cuál es su radio?. 39.- Un condensador aislado, de capacidad desconocida, se carga hasta una diferencia de potencial de 100 volt. Una vez cargado se desconecta de la fuente y se conecta con un condensador descargado, cuya capacidad es 10 F, resultando el voltaje de la combinación igual a 30 volt. Determinar la capacidad desconocida.