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LA GENERALIZACIÓN EN ÁLGEBRA.
El caso de la teoría de las Cónicas1
( PREPUBLICACION)
Luis Carlos Arboleda Aparicio
Ligia Amparo Torres Rengifo
Introducción
Este artículo recoge algunas de las consideraciones histórico-epistemológicas que
sirvieron de referencia al estudio de ciertas situaciones funcionales de
generalización y modelación en el álgebra escolar. Se examinan las modalidades
de generalización que subyacen a momentos históricos claves para el desarrollo
de la teoría de las secciones cónicas, representados en particular en los trabajos
de Apolonio, Arquímedes, Descartes y Fermat. Se muestra que en el siglo XVII se
realiza una ruptura esencial con el tipo de generalizaciones que puso en juego la
ciencia griega para designar el objeto matemático llamado cónica y estudiar
nuevas y más fecundas propiedades características de tal objeto. Se exponen las
razones por las cuales es necesario distinguir la generalización de nuevo tipo que
se impuso en las matemáticas por el tratamiento algebraico de las cónicas y para
la cual incluso se ha especializado el término tematización, de aquellas formas
clásicas de la geometría griega. Al mostrar los cambios conceptuales operados
sobre el objeto clásico de las cónicas por la cadena de recontextualizaciones que
impone la tematización, se hace énfasis en los aspectos asociados al lenguaje del
álgebra, y se plantean elementos pertinentes para las reflexiones didácticas sobre
las condiciones favorables para la construcción de un lenguaje algebraico en la
escuela.
Del Cono a las cónicas: consideraciones epistemológicas sobre el
tratamiento de la cuestión en Euclides, Arquímedes y Apolonio
El punto de partida con relación a las secciones cónicas, es la definición 18 del
libro XI de los Elementos de Euclides:
1
Este trabajo es uno de los productos esperados del proyecto Iniciación al álgebra escolar. Situaciones funcionales, de
generalización y modelación1 financiado en convenio interinstitucional con Colciencias, código 1106-11-11391, y
ejecutado por un equipo de investigadores del Grupo de Educación Matemática del Instituto de Educación y Pedagogía de
la Universidad del Valle.
1
Cuando un lado del ángulo recto de un triángulo rectángulo
permanece fijo y el triángulo gira a su alrededor hasta volver
a la posición de la que empezó a girar, la figura formada es
un cono. Si la recta que permanece fija es igual al lado del
ángulo recto que gira, el cono es rectángulo; si es menor,
obtusángulo y si es mayor, acutángulo”.
Así mismo la definición 19 del mismo libro Euclides establece que el
Eje del cono es la recta que permanece fija mientras gira el
triángulo. 2
En este par de definiciones el cono se presenta en una versión intuitiva, generado
por la rotación de 360º de un triángulo rectángulo al fijar un cateto. El cono es una
superficie y está ligada a una rotación. Esta es la clase de conos euclideos, con
base perpendicular al eje de rotación y según sea el ángulo en el vértice del cono
-agudo, recto u obtuso-, cono acutángulo, rectángulo u obtusángulo.
Si se secciona el cono mediante un plano normal a una generatriz se obtiene una
de las tres cónicas, dependiendo de la naturaleza del cono; en efecto la elipse se
obtiene como sección del cono acutángulo, la parábola como sección del cono
rectángulo y una rama de la hipérbola como sección del cono obtusángulo. El
concepto de sección cónica está determinado por la clase de cono definida, como
también por el tipo de corte. Es decir, está asociada al objeto geométrico, en este
caso, los conos rectos y a los cortes ortogonales, por lo tanto hay una invarianza
determinada por el concepto de “lo recto”, lo que hace a este concepto importante
en la definición de las secciones cónicas. Más adelante veremos que frente a esta
situación conceptual, el tratamiento algebraico de la teoría de las cónicas
impondrá una manera distinta de relacionarse con estos objetos, en la cual, por
ejemplo, todas las posibles trazas que definen la clase de cónicas quedan
reducidas a casos particulares de una ecuación general de segundo grado.
Desde el punto de vista cognitivo, el sujeto que construye el objeto matemático
cónica, desde un objeto externo (cono), está limitado a las características propias
de éste. Lo que significa que un avance conceptual hacia la independencia del
referente externo está ligado a girar la mirada a las características de la curva
misma.
De otra parte, la obra de Euclides sirvió como base para los aportes de
Arquímedes relacionados con las cónicas y con los sólidos de revolución
engendrados por ellas; abrió también el camino, para la nueva conceptualización
de estas curvas establecida por Apolonio. Con relación al cono en Arquímedes, el
2
Elementos de Geometría de Euclides; en Científicos Griegos. Recopilación. Estudio preliminar,
preámbulos y notas por Francisco Vera. Tomo I, Parte C, pg. 919. Ediciones Aguilar, S.A.: Madrid. 1970.
2
eje no es necesariamente perpendicular a la base, ya que considera el cono
oblicuo, es decir, empieza un proceso de movilización del referente externo de las
cónicas, al pasar de cono recto a oblicuo y encuentra una palabra nueva para
designar esta clase de conos que llama conos isósceles.
En este momento, en Arquímedes, al asignar un adjetivo a este objeto, presenta
un caso de generalización, pues, si adjetiva es porque hay un universo de objetos
que contiene a este universo y en el cual hay otros que no son de esta clase. De
esta manera, adjetivar es abrir la posibilidad a que el objeto previo se extienda.
Cuando Arquímedes dice “cono isósceles”, él está extendiendo la clase anterior de
conos. Es una generalización que tiene características de extensión de la clase,
extensión que alude a considerar una clase de objetos – los de eje inclinado-, con
un adjetivo diferenciador – conos isósceles – y por lo tanto presupone la existencia
de otros u otras clases.
De lo anterior se puede afirmar que al caracterizar la generalización por extensión,
estamos asumiendo otras clases de generalizaciones que no se dan por extensión
del campo. En este proceso constructivo, la generalización por extensión tiene
que ver con dos operaciones íntimamente relacionadas, una la re-construcción del
objeto geométrico (cono) y una extensión de la clase de objetos por una nueva
manera de predicar la propiedad que distingue el objeto (cono isósceles).
En Apolonio la generalización empieza desde el mismo momento que el objeto
cono es construido con una base circular en un plano, un punto externo a ésta y la
recta que pasa por el punto y gira alrededor de la base, generando una superficie
cónica. Obsérvese, que este objeto geométrico no es obtenido por extensión, ya
que, el objeto cono – de Apolonio - se vuelve un caso particular de una superficie
cónica. Es decir, que esta superficie cónica con ciertas modificaciones determina
el cono - no sólo isósceles -. Además, el mismo hecho de rotar una recta y no un
segmento, alrededor de otra superficie circular genera un cambio fundamental. El
cono aquí está determinado por la intersección de superficies, las superficies de
las bases y la superficie que pertenece a la superficie cónica; lo que quiere decir
que hay un doble movimiento en el proceso de generalización, de una parte se va
del objeto a algo más general – superficie cónica – y de otro, el objeto que resulta
es más general que el anterior – cono
La conceptualización sobre las secciones cónicas cambia. Euclides obtiene las
cónicas a partir de un plano fijo, cortándolo por diferentes clases de conos.
Apolonio, en cambio, las genera a partir de un cono fijo, oblicuo, de base circular,
cuando es interceptado por planos que no pasan por el vértice. Las distintas
cónicas se obtienen según la inclinación del plano secante con la generatriz del
cono. En esta producción de las cónicas la recta trazada desde el vértice hasta el
centro del círculo que le sirve de base es el eje del cono. El plano trazado por el
eje perpendicularmente al de la base corta al cono según dos generatrices y
determina en el círculo un diámetro. Es así como Apolonio desarrolla la teoría de
3
las cónicas sobre dos elementos fundamentales: el diámetro de la curva y la
perpendicular trazada en uno de sus extremos –lado recto – o parámetro. Por
ejemplo, cuando el lado recto es perpendicular al diámetro de la sección y este
diámetro es paralelo a uno de los lados del triángulo axial –sección obtenida al
cortar un cono con un plano a través del eje-, se obtiene una parábola. Esto se
formula en la proposición 11 del Libro XX de las Cónicas, en donde Apolonio
establece que:
“Si se corta un cono con un plano a través del eje, y si se
corta también con otro plano que corta la base del cono
según una Iínea recta perpendicular a la base del triángulo
Axial, y si además el diámetro de la sección se hace paralelo
a un lado del triángulo axiaI, cualquier línea recta trazada
desde la sección del cono paralela a la sección común del
plano que corta y la base del cono hasta el diámetro de la
sección, tendrá su cuadrado igual al rectángulo limitado por
la porción de diámetro que comprende en la dirección del
vértice de la sección y otra Iínea recta cualquiera; esta línea
recta tendrá la misma razón a la porción abarcada entre el
ángulo del cono y el vértice del segmento como el cuadrado
en la base del triángulo axial al rectángulo limitado por los
dos lados restantes del triángulo llamemos a esta sección
parábola”3
No se debe dejar de anotar que este tipo de generalización está mediada por
propiedades geométricas de los entes, es decir, sujeta al orden de la cantidad, de
la magnitud, de la intuición, que se deja representar en R 3. Sin embargo, lo
geométrico en Apolonio, como se viene planteando, rompe con ciertas
conceptualizaciones que marcan las cónicas hasta este momento. La sección no
3
Apolonio de Perga, por Ivor Thomas en Matemáticos griegos. Sigma El mundo de las matemáticas. James
R. Newman.Tomo I, Pag. 130. Ediciones Grijalbo S. A: Barcelona. 1994.
4
es necesariamente ortogonal. Lo recto da paso a la oblicuidad del eje y de los
cortes.
Por otra parte, la forma discursiva de presentación del problema, caracteriza de
manera diferente las formas de pensamiento allí presentes, es decir, Apolonio
define el objeto después que demuestra la propiedad característica, lo que
significa, que la definición del objeto no se hace sino después que ha enunciado
como teorema la propiedad del lugar geométrico, por ejemplo, parábola. Esto
último es fundamental para la comprensión de los procesos de generalización
dados hasta este momento, en esta forma discursiva está la instanciación de la
proposición enunciada en lenguaje retórico, es decir, se agarra en un diagrama _
la mente localiza el objeto en el horizonte de la conciencia – Dicho de otra manera,
parece ser que, previo a la generalización hay una forma de pensamiento: la
observación matemática, es decir, aquel momento en el que la mente fija en la
conciencia un objeto a través de una percepción.
Curvas, expresiones algebraicas y cónicas: la tematización operada Fermat y
Descartes sobre el objeto geométrico clásico.
Las matemáticas del siglo XVII estuvieron ligadas estrechamente a las
investigaciones relacionadas con curvas. Las primeras curvas que se estudiaron
fueron las heredadas por los griegos: las secciones cónicas. El tratado de Fermat
“introducción a los lugares planos y sólidos” (1637) y “La geometría” de Descartes
resuelven problemas relativos a lugares geométricos, en relación con estas
curvas.
Del estudio de las matemáticas del siglo XVII, de los trabajos de Fermat y
Descartes, Gardies introduce el concepto de tematización matemática4. La
distinción que él establece entre las palabras generalización y tematización radica
en que en esta última el objeto generalizado esta desprovisto de aspectos
secundarios y sobresale es la característica particular distintiva de ese objeto. En
el proceso se van descartando cualidades secundarias hasta que se deja una
cualidad primaria, una característica distintiva de ese objeto general; en tanto en la
generalización, prevalecen características ligadas a otros objetos, que no dejan
pensar ese nuevo ente en si mismo, como es el caso de la cónicas en Euclides y
Apolonio, las cuales están ligadas a características de otros objetos, como el cono,
por ejemplo.
En la demostración que Descartes hace del teorema de Pappus y el encuentro de
la ecuación general que determina cualquier cónica, deja ver este proceso como
de tematización. En la ecuación, por ejemplo, de y 2  ax , este objeto llamado
4
En el trabajo La thématisation en Mathématiques de Jean-Louis Gardies, en : Miguel ESPINOZA (ed.) De la
science a la philosophie hommage á Jean Largeault , LHarmattan, 2001; pp. 117-132.
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parábola es muy diferente al objeto definido como parábola en el marco de un
corte a una superficie, pues, la propiedad que tiene este lugar geométrico es la
relación funcional, es decir, la relación funcional, de ahora en adelante, va a ser al
objeto matemático independiente de la representación que se haga de ese objeto.
Mientras, en Apolonio se trata de definir un objeto con una propiedad amarrada a
una relación entre segmentos y cantidades; en este caso se refiere a una relación
funcional que distingue el objeto y una expresión analítica que define esa relación
funcional.
La expresión analítica posibilita otro tipo de operaciones sobre el objeto
matemático construido – comparar dos parábolas, condicionar el parámetro-, es
decir, se ha pasado del mundo de la geometría al mundo del álgebra; en donde no
se pierde el referente, pero el objeto no está esencialmente ligado con lo
geométrico. La geometría es un referente externo, pero el objeto está viviendo su
autonomía en la expresión algebraica. Este cambio de mundo, es donde Gardies
considera que no hay derecho a que se siga llamando generalización.
Es importante reflexionar sobre este cambio conceptual, desde la perspectiva
didáctica, pues el abandono paulatino del referente o del objeto externo, significa
de todas formas, una pérdida de significado que posibilita a su vez una ganancia
operatoria y de independencia del concepto en su expresión algebraica. El
proceso constructivo hacia esa independencia es de gran importancia, riqueza
fenomenológica y preocupación para investigadores y maestros interesados en las
problemáticas relativas a la enseñanza y aprendizaje del álgebra.
Por otra parte, otro elemento caracterizador de este proceso de tematización en
las cónicas, en el siglo XVII, es como se subsumen los casos particulares en una
ecuación universal de segundo grado. Imponiendo condiciones a los coeficientes y
a los términos independientes se produce esta o aquella cónica. El objeto ahora
no tiene naturaleza geométrica, sino analítica, y el hecho de que todas las clases
de ese objeto –sección cónica – están incluidas en una sola expresión
matemática, sus expresiones analíticas son casos particulares de una sola
expresión matemática. Es decir, de la ecuación general de segundo grado resultan
todos los casos de las cónicas. No se trata de una generalización por extensión de
la clase sino que todas las clases están generadas por la ecuación. Por lo tanto,
cuando se produce una tematización se produce otras generalizaciones que están
ligadas a ella.
En el caso de Descartes, las nuevas relaciones, expresadas en proposiciones,
teoremas, problemas etc. Se refieren a una manera de ver, representar y operar
los objetos geométricos. Hay una simbolización previa, una manera de designar
los objetos; se define la linealización de la operación producto entre segmentos,
entre otros. El tratamiento que le da Descartes a los segmentos es funcional, es
relacional, mientras que el tratamiento que se hace en la matemática griega, está
en el mundo de la cantidad. Sin embargo, esos nuevos mundos que se
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construyen sufren todas las cosas anteriores, las vuelve casos particulares de
esas generalizaciones nuevas después de una tematización.
Un aspecto primordial, en el cual hace énfasis Gardies, es mostrar que lo anterior
va a ser un hecho característico del pensamiento matemático de allí en adelante.
La matemática va a seguir operando tematizaciones sucesivas –por ejemplo, la
construcción de los sistemas numéricos-, es el sello característico del
pensamiento matemático desde el XVII, proceder a través de operaciones de
tematización. En ese proceso entonces se abandona la concepción filosófica que
parece caracterizar las generalizaciones en el caso de la matemática griega y que
continuaron a lo largo de ese tiempo influyendo en las matemáticas.
Distinción entre los tipos de razonamiento de un objeto matemático por
abstracción, extensión, generalización y tematización
La caracterización, con relación a aspectos filosóficos, del proceso de
tematización, se centra ante todo en el concepto de abstracción de Aristóteles.
Gardies discute la influencia que ese concepto ha tenido en las distintas nociones
de generalización que han prevalecido en las matemáticas. Afirma que hay que
distanciarse del concepto de Aristóteles, bajo una reformulación filosófica de la
abstracción.
La noción de abstracción en Aristóteles, la retoma Gardies, del Tratado del Alma y
de la Metafísica, los cuales aluden que los objetos matemáticos mediante el acto
de abstracción se separan de los aspectos secundarios, sensitivos y perceptuales.
Caracteres sensibles como el peso, la livianez, la dureza, lo frío, lo caliente, y
todas las otras parejas de contrarios de orden sensible, dan paso a la cantidad y lo
continuo, por ejemplo, mediante la abstracción. A la vez, en la concepción
Aristotélica es posible que se construya algo sólo a partir de la realidad. Por lo
tanto esas cosas que se construyen de la realidad puedan llegar a convertirse en
objetos matemáticos vía la abstracción que nos deja la forma quitando lo material,
lo sensible. Tradición filosófica, que según Gardies, aún en Euler prevalece.
La ruptura radical parece que fundamentalmente se da entre los años 1880 y
1890, cuando la filosofía de la aritmetización viene a plantear formalmente
hablando una conceptualización de lo que son las generalizaciones matemáticas o
las tematizaciones matemáticas distinta a la abstracción por separación de
cualidades. Parece que esta ruptura tiene raíces en algunas ideas platónicas,
cuando se plantea, que algo es semejante a otro porque existe una propiedad
externa a ellos que lo hace semejante. De esta manera la semejanza es una
relación de equivalencia. Es decir, dos cosas son semejantes porque pertenecen
a la misma clase de equivalencia, entonces la propiedad que determina lo que es
semejante es una propiedad externa a la cualidad misma de la cosa. Lo que esto
apunta es a dilucidar como una propiedad –relación de equivalencia – es la
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génesis de aquello que se vuelve abstracto o aquello que se vuelve general, es el
motor constructivo genealógico que permite llegar a lo general.
Lo anterior, es diferente a la generalización por abstracción, pues se trata de
establecer cómo en el mundo anterior del objeto matemático establezco una
operación nueva que permite romper con ese mundo y seguir a otro mundo
superior en donde hay otro objeto distinto, pero que tampoco se construye de la
nada. El papel de los términos que designan el objeto y su transformación es
eminente. Estos términos tienen una asignación conceptual en cada momento de
la génesis. Puede ser el mismo término pero con articulaciones conceptuales
diferentes. El objeto mismo al ir evolucionando evoca definitivamente nuevos
términos que no calzan con los anteriores. El concepto se cualifica y se
especializa un signo. El signo surge como una necesidad de dar cuenta de esa
nueva variación conceptual.
La tematización, puede entonces considerarse como ese momento en el cual el
objeto matemático está caracterizado por una propiedad que surge de una
relación de equivalencia sobre la clase anterior. Es decir, la tematización es la
manera de designar un objeto matemático por una propiedad que surge a través
de una relación de equivalencia que se opera, o una partición que se da sobre una
clase previa. Ese momento lógico no se puede reducir simplemente al hecho de
que previamente no hayan podido darse situaciones en las cuales la actividad
matemática ha jugado con este objeto, antes de que él adquiera esa forma lógica
de construcción a través de una relación de equivalencia, ya que, la historia nos
muestra, que se ha trabajado con esos objetos, de manera informal, sin incluso
asignarles los signos distintos que solamente se van a tener en el momento de la
tematización. Esto lo podemos apreciar, por ejemplo, en el trabajo con algunos
irracionales; los negativos
o enteros
relativos están siendo trabajados
previamente al momento en que Peano hace su construcción del súper conjunto
de los enteros relativos a partir de los enteros, los imaginarios están siendo
trabajados en el siglo XVII antes de que se construya los complejos a partir de los
reales; los reales son trabajados en el análisis de Cauchy antes de que se
construyan los reales a finales del siglo XIX. Estos trabajos constituyen
tematizaciones. La tematización se opera en el momento en el cual se especializa
el signo y se asocia al nuevo concepto.
Consideraciones didácticas sobre la generalización por adjetivación
La discusión se centra en la interpretación que se puede dar cuando se adjetiva en
un proceso constructivo de un objeto o estructura matemática, en nuestro caso
particular las cónicas, dependiendo desde donde leemos el problema.
Desde la perspectiva moderna un objeto matemático es más concreto si tiene
mayor número de condiciones matemáticas, a su vez quiere decir que por dichas
propiedades hay un encajamiento en donde los objetos con menos propiedades,
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más generales, contienen a los determinados por condiciones mayores (los conos
contienen a los conos oblicuos), en este sentido la generalización por extensión
(cuando se adjetiva) se podría ver como particularización, ya que se incluye una
nueva condición que hace que esta nueva clase sea subconjunto de la más
general y se pueda determinar, por lo tanto un complemento en donde circulan
otros objetos. Sin embargo, es necesario tener en cuenta las características de
los objetos (conos), dado el momento histórico que se estudia y la clase de estudio
histórico que se plantea para poder comprender porque Gardies expone que al
Arquímedes introducir el adjetivo de “oblicuo”, para los conos, hay un avance
conceptual y un proceso de generalización particular.
Con relación a lo primero, hasta Euclides hay una clase de objetos que son conos
rectos, luego en la dinámica de trabajo de Arquímedes con las cónicas, se ve, por
alguna razón, obligado a girar el eje, y a dar un adjetivo para esta clase, eso
significa que adjetiva lo que quedó abajo y eso que quedó abajo desde el punto de
vista conjuntista está subsumido en lo otro, pero ese lenguaje no es apropiado
porque no es posible que el pensamiento vea esto en esa época, en términos de
conjuntos y subconjuntos. Lo que sí es común es que el pensamiento adjetive
para volver particular aquello que antes era una clase universal y subsumir esto
particular en una nueva clase, eso si es corriente en las formas de pensamiento,
adjetivar inventarse un adjetivo para una clase nueva.
Respecto al aspecto histórico, hay que tener en cuenta, la distancia que hay de 20
o 22 siglos entre esta época de Arquímedes y la del siglo XIX, cuando surge el
lenguaje conjuntista, como también, que este estudio es una genealogía del
pensamiento, de cómo esto (cono oblicuo y conceptualización de secciones
cónicas) se generó a partir de lo otro (cono recto y cortes ortogonales) y no el
estudio de lo ya generado.
Desde la perspectiva didáctica, el investigador o el docente se enfrentaría a dos
tensiones cuando estudia el problema de la generalización, cuando se pasa de un
campo restringido a un campo más amplio. De una parte se asume el problema
desde las categorías de la cultura matemática que predomina en la formación del
didacta, desde la cultura de la teoría de conjuntos y al explicársela, desde allí no
interesa la genealogía sino que interesan las clases que aparecen en ese proceso
de generalización y de otra parte, la tensión de comprender cómo se realizó ese
proceso hacia lo general.
El acto de instanciación en las construcciones de Euclides y Apolonio
En primer lugar se reconoce en el trabajo de Apolonio (por ejemplo en la
proposición 11) que enuncia en lenguaje vernáculo la propiedad y luego la
representa mediante un diagrama; esta manera de representar la propiedad del
objeto ya nombrado por una construcción que facilite operar sobre él, es lo que
llamamos instanciación.
Este es el momento del razonamiento constructivo
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sobre el objeto en el cual el sujeto para poder, de verdad, comprender lo que se
predica del objeto tiene que trasladar el objeto a la conciencia a partir de la
observación matemática; es el momento en el cual la mente fija en la conciencia el
objeto a través de una percepción. Es menester reconocer el papel que
desempeña la instanciación en la constitución de la estructura deductiva
Euclidiana entendida como resultado de un acto de razonamiento sobre el objeto
en cuestión.
De otra parte se cuestiona si la instanciación se puede reconocer como la
descripción de la construcción, dado el hecho que en Euclides, se presenta la
proposición en lenguaje natural y luego la construcción y el dibujo de esa
construcción, lo que querría decir que hay dos maneras de interpretar la
construcción, una como un dibujo y la otra como un enunciado en lenguaje natural
especializado. Sin embargo, lo que se reconoce es que es diferente la
instanciación, por ejemplo, cuando se nota los elementos que intervienen en la
proposición y también por el objeto mismo que cumple la construcción. La prueba
se hace sobre la construcción. De todas maneras, la construcción está muy
relacionada con el momento de instanciación.
Desde la perspectiva didáctica es importante reconocer el papel del lenguaje
especializado, de lo rotacional, en el momento de fijar el objeto en la conciencia
para poder manipular sobre él y operar con él.
Consideraciones didácticas sobre el papel del lenguaje algebraico en el
razonamiento por tematización
Otro aspecto importante de la discusión gira en torno a las luces que aporta
comprender las formas de generalización, estudiadas por Gardies, para
comprender el paso del pensamiento aritmético al pensamiento algebraico.
En este sentido, el cambio del pensamiento aritmético hacia el pensamiento
algebraico, implica superar el mundo de la cantidad para actuar en el mundo de
las relaciones. Aspecto este detectado, cuando Descartes trata los segmentos
como números, no segmentos como medidas, como cantidades, los llamó
segmentos pero de hecho eran números, él no trabaja con una visión Euclidiana
del número, sino con una visión moderna de éste.
Se presenta también, el hecho de que en ese proceso de operatividad con los
segmentos, es importante la nominación de las rectas mediante letras, en este
caso. Sin embargo, lo que queda claro es que no basta nombrar, nominar o definir
un objeto matemático, o elemento de éste para que ya el pensamiento avance.
Por lo tanto, el objeto es algo más que designación, el objeto es ante todo la
propiedad distintiva que hay que demostrar, que lo exhibe, que lo caracteriza.
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En la actividad didáctica y particularmente al interior del proyecto de investigación,
habría que reconocer en el simbolismo algebraico formal, que los signos no son
sino iconos que actividades de razonamiento, no tomar los signos como signos
dentro de un tejido discursivo solamente, sino tomarlos como iconos de
actividades de razonamiento, lo que favorece poder ver lo conceptual que está
dentro de lo simbólico y poder determinar diferencias entre lo que se representa a
nivel numérico y a nivel algebraico. Es decir reconocer el proceso constructivo en
toda su dimensión.
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