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LA GENERALIZACIÓN EN ÁLGEBRA. El caso de la teoría de las Cónicas1 ( PREPUBLICACION) Luis Carlos Arboleda Aparicio Ligia Amparo Torres Rengifo Introducción Este artículo recoge algunas de las consideraciones histórico-epistemológicas que sirvieron de referencia al estudio de ciertas situaciones funcionales de generalización y modelación en el álgebra escolar. Se examinan las modalidades de generalización que subyacen a momentos históricos claves para el desarrollo de la teoría de las secciones cónicas, representados en particular en los trabajos de Apolonio, Arquímedes, Descartes y Fermat. Se muestra que en el siglo XVII se realiza una ruptura esencial con el tipo de generalizaciones que puso en juego la ciencia griega para designar el objeto matemático llamado cónica y estudiar nuevas y más fecundas propiedades características de tal objeto. Se exponen las razones por las cuales es necesario distinguir la generalización de nuevo tipo que se impuso en las matemáticas por el tratamiento algebraico de las cónicas y para la cual incluso se ha especializado el término tematización, de aquellas formas clásicas de la geometría griega. Al mostrar los cambios conceptuales operados sobre el objeto clásico de las cónicas por la cadena de recontextualizaciones que impone la tematización, se hace énfasis en los aspectos asociados al lenguaje del álgebra, y se plantean elementos pertinentes para las reflexiones didácticas sobre las condiciones favorables para la construcción de un lenguaje algebraico en la escuela. Del Cono a las cónicas: consideraciones epistemológicas sobre el tratamiento de la cuestión en Euclides, Arquímedes y Apolonio El punto de partida con relación a las secciones cónicas, es la definición 18 del libro XI de los Elementos de Euclides: 1 Este trabajo es uno de los productos esperados del proyecto Iniciación al álgebra escolar. Situaciones funcionales, de generalización y modelación1 financiado en convenio interinstitucional con Colciencias, código 1106-11-11391, y ejecutado por un equipo de investigadores del Grupo de Educación Matemática del Instituto de Educación y Pedagogía de la Universidad del Valle. 1 Cuando un lado del ángulo recto de un triángulo rectángulo permanece fijo y el triángulo gira a su alrededor hasta volver a la posición de la que empezó a girar, la figura formada es un cono. Si la recta que permanece fija es igual al lado del ángulo recto que gira, el cono es rectángulo; si es menor, obtusángulo y si es mayor, acutángulo”. Así mismo la definición 19 del mismo libro Euclides establece que el Eje del cono es la recta que permanece fija mientras gira el triángulo. 2 En este par de definiciones el cono se presenta en una versión intuitiva, generado por la rotación de 360º de un triángulo rectángulo al fijar un cateto. El cono es una superficie y está ligada a una rotación. Esta es la clase de conos euclideos, con base perpendicular al eje de rotación y según sea el ángulo en el vértice del cono -agudo, recto u obtuso-, cono acutángulo, rectángulo u obtusángulo. Si se secciona el cono mediante un plano normal a una generatriz se obtiene una de las tres cónicas, dependiendo de la naturaleza del cono; en efecto la elipse se obtiene como sección del cono acutángulo, la parábola como sección del cono rectángulo y una rama de la hipérbola como sección del cono obtusángulo. El concepto de sección cónica está determinado por la clase de cono definida, como también por el tipo de corte. Es decir, está asociada al objeto geométrico, en este caso, los conos rectos y a los cortes ortogonales, por lo tanto hay una invarianza determinada por el concepto de “lo recto”, lo que hace a este concepto importante en la definición de las secciones cónicas. Más adelante veremos que frente a esta situación conceptual, el tratamiento algebraico de la teoría de las cónicas impondrá una manera distinta de relacionarse con estos objetos, en la cual, por ejemplo, todas las posibles trazas que definen la clase de cónicas quedan reducidas a casos particulares de una ecuación general de segundo grado. Desde el punto de vista cognitivo, el sujeto que construye el objeto matemático cónica, desde un objeto externo (cono), está limitado a las características propias de éste. Lo que significa que un avance conceptual hacia la independencia del referente externo está ligado a girar la mirada a las características de la curva misma. De otra parte, la obra de Euclides sirvió como base para los aportes de Arquímedes relacionados con las cónicas y con los sólidos de revolución engendrados por ellas; abrió también el camino, para la nueva conceptualización de estas curvas establecida por Apolonio. Con relación al cono en Arquímedes, el 2 Elementos de Geometría de Euclides; en Científicos Griegos. Recopilación. Estudio preliminar, preámbulos y notas por Francisco Vera. Tomo I, Parte C, pg. 919. Ediciones Aguilar, S.A.: Madrid. 1970. 2 eje no es necesariamente perpendicular a la base, ya que considera el cono oblicuo, es decir, empieza un proceso de movilización del referente externo de las cónicas, al pasar de cono recto a oblicuo y encuentra una palabra nueva para designar esta clase de conos que llama conos isósceles. En este momento, en Arquímedes, al asignar un adjetivo a este objeto, presenta un caso de generalización, pues, si adjetiva es porque hay un universo de objetos que contiene a este universo y en el cual hay otros que no son de esta clase. De esta manera, adjetivar es abrir la posibilidad a que el objeto previo se extienda. Cuando Arquímedes dice “cono isósceles”, él está extendiendo la clase anterior de conos. Es una generalización que tiene características de extensión de la clase, extensión que alude a considerar una clase de objetos – los de eje inclinado-, con un adjetivo diferenciador – conos isósceles – y por lo tanto presupone la existencia de otros u otras clases. De lo anterior se puede afirmar que al caracterizar la generalización por extensión, estamos asumiendo otras clases de generalizaciones que no se dan por extensión del campo. En este proceso constructivo, la generalización por extensión tiene que ver con dos operaciones íntimamente relacionadas, una la re-construcción del objeto geométrico (cono) y una extensión de la clase de objetos por una nueva manera de predicar la propiedad que distingue el objeto (cono isósceles). En Apolonio la generalización empieza desde el mismo momento que el objeto cono es construido con una base circular en un plano, un punto externo a ésta y la recta que pasa por el punto y gira alrededor de la base, generando una superficie cónica. Obsérvese, que este objeto geométrico no es obtenido por extensión, ya que, el objeto cono – de Apolonio - se vuelve un caso particular de una superficie cónica. Es decir, que esta superficie cónica con ciertas modificaciones determina el cono - no sólo isósceles -. Además, el mismo hecho de rotar una recta y no un segmento, alrededor de otra superficie circular genera un cambio fundamental. El cono aquí está determinado por la intersección de superficies, las superficies de las bases y la superficie que pertenece a la superficie cónica; lo que quiere decir que hay un doble movimiento en el proceso de generalización, de una parte se va del objeto a algo más general – superficie cónica – y de otro, el objeto que resulta es más general que el anterior – cono La conceptualización sobre las secciones cónicas cambia. Euclides obtiene las cónicas a partir de un plano fijo, cortándolo por diferentes clases de conos. Apolonio, en cambio, las genera a partir de un cono fijo, oblicuo, de base circular, cuando es interceptado por planos que no pasan por el vértice. Las distintas cónicas se obtienen según la inclinación del plano secante con la generatriz del cono. En esta producción de las cónicas la recta trazada desde el vértice hasta el centro del círculo que le sirve de base es el eje del cono. El plano trazado por el eje perpendicularmente al de la base corta al cono según dos generatrices y determina en el círculo un diámetro. Es así como Apolonio desarrolla la teoría de 3 las cónicas sobre dos elementos fundamentales: el diámetro de la curva y la perpendicular trazada en uno de sus extremos –lado recto – o parámetro. Por ejemplo, cuando el lado recto es perpendicular al diámetro de la sección y este diámetro es paralelo a uno de los lados del triángulo axial –sección obtenida al cortar un cono con un plano a través del eje-, se obtiene una parábola. Esto se formula en la proposición 11 del Libro XX de las Cónicas, en donde Apolonio establece que: “Si se corta un cono con un plano a través del eje, y si se corta también con otro plano que corta la base del cono según una Iínea recta perpendicular a la base del triángulo Axial, y si además el diámetro de la sección se hace paralelo a un lado del triángulo axiaI, cualquier línea recta trazada desde la sección del cono paralela a la sección común del plano que corta y la base del cono hasta el diámetro de la sección, tendrá su cuadrado igual al rectángulo limitado por la porción de diámetro que comprende en la dirección del vértice de la sección y otra Iínea recta cualquiera; esta línea recta tendrá la misma razón a la porción abarcada entre el ángulo del cono y el vértice del segmento como el cuadrado en la base del triángulo axial al rectángulo limitado por los dos lados restantes del triángulo llamemos a esta sección parábola”3 No se debe dejar de anotar que este tipo de generalización está mediada por propiedades geométricas de los entes, es decir, sujeta al orden de la cantidad, de la magnitud, de la intuición, que se deja representar en R 3. Sin embargo, lo geométrico en Apolonio, como se viene planteando, rompe con ciertas conceptualizaciones que marcan las cónicas hasta este momento. La sección no 3 Apolonio de Perga, por Ivor Thomas en Matemáticos griegos. Sigma El mundo de las matemáticas. James R. Newman.Tomo I, Pag. 130. Ediciones Grijalbo S. A: Barcelona. 1994. 4 es necesariamente ortogonal. Lo recto da paso a la oblicuidad del eje y de los cortes. Por otra parte, la forma discursiva de presentación del problema, caracteriza de manera diferente las formas de pensamiento allí presentes, es decir, Apolonio define el objeto después que demuestra la propiedad característica, lo que significa, que la definición del objeto no se hace sino después que ha enunciado como teorema la propiedad del lugar geométrico, por ejemplo, parábola. Esto último es fundamental para la comprensión de los procesos de generalización dados hasta este momento, en esta forma discursiva está la instanciación de la proposición enunciada en lenguaje retórico, es decir, se agarra en un diagrama _ la mente localiza el objeto en el horizonte de la conciencia – Dicho de otra manera, parece ser que, previo a la generalización hay una forma de pensamiento: la observación matemática, es decir, aquel momento en el que la mente fija en la conciencia un objeto a través de una percepción. Curvas, expresiones algebraicas y cónicas: la tematización operada Fermat y Descartes sobre el objeto geométrico clásico. Las matemáticas del siglo XVII estuvieron ligadas estrechamente a las investigaciones relacionadas con curvas. Las primeras curvas que se estudiaron fueron las heredadas por los griegos: las secciones cónicas. El tratado de Fermat “introducción a los lugares planos y sólidos” (1637) y “La geometría” de Descartes resuelven problemas relativos a lugares geométricos, en relación con estas curvas. Del estudio de las matemáticas del siglo XVII, de los trabajos de Fermat y Descartes, Gardies introduce el concepto de tematización matemática4. La distinción que él establece entre las palabras generalización y tematización radica en que en esta última el objeto generalizado esta desprovisto de aspectos secundarios y sobresale es la característica particular distintiva de ese objeto. En el proceso se van descartando cualidades secundarias hasta que se deja una cualidad primaria, una característica distintiva de ese objeto general; en tanto en la generalización, prevalecen características ligadas a otros objetos, que no dejan pensar ese nuevo ente en si mismo, como es el caso de la cónicas en Euclides y Apolonio, las cuales están ligadas a características de otros objetos, como el cono, por ejemplo. En la demostración que Descartes hace del teorema de Pappus y el encuentro de la ecuación general que determina cualquier cónica, deja ver este proceso como de tematización. En la ecuación, por ejemplo, de y 2 ax , este objeto llamado 4 En el trabajo La thématisation en Mathématiques de Jean-Louis Gardies, en : Miguel ESPINOZA (ed.) De la science a la philosophie hommage á Jean Largeault , LHarmattan, 2001; pp. 117-132. 5 parábola es muy diferente al objeto definido como parábola en el marco de un corte a una superficie, pues, la propiedad que tiene este lugar geométrico es la relación funcional, es decir, la relación funcional, de ahora en adelante, va a ser al objeto matemático independiente de la representación que se haga de ese objeto. Mientras, en Apolonio se trata de definir un objeto con una propiedad amarrada a una relación entre segmentos y cantidades; en este caso se refiere a una relación funcional que distingue el objeto y una expresión analítica que define esa relación funcional. La expresión analítica posibilita otro tipo de operaciones sobre el objeto matemático construido – comparar dos parábolas, condicionar el parámetro-, es decir, se ha pasado del mundo de la geometría al mundo del álgebra; en donde no se pierde el referente, pero el objeto no está esencialmente ligado con lo geométrico. La geometría es un referente externo, pero el objeto está viviendo su autonomía en la expresión algebraica. Este cambio de mundo, es donde Gardies considera que no hay derecho a que se siga llamando generalización. Es importante reflexionar sobre este cambio conceptual, desde la perspectiva didáctica, pues el abandono paulatino del referente o del objeto externo, significa de todas formas, una pérdida de significado que posibilita a su vez una ganancia operatoria y de independencia del concepto en su expresión algebraica. El proceso constructivo hacia esa independencia es de gran importancia, riqueza fenomenológica y preocupación para investigadores y maestros interesados en las problemáticas relativas a la enseñanza y aprendizaje del álgebra. Por otra parte, otro elemento caracterizador de este proceso de tematización en las cónicas, en el siglo XVII, es como se subsumen los casos particulares en una ecuación universal de segundo grado. Imponiendo condiciones a los coeficientes y a los términos independientes se produce esta o aquella cónica. El objeto ahora no tiene naturaleza geométrica, sino analítica, y el hecho de que todas las clases de ese objeto –sección cónica – están incluidas en una sola expresión matemática, sus expresiones analíticas son casos particulares de una sola expresión matemática. Es decir, de la ecuación general de segundo grado resultan todos los casos de las cónicas. No se trata de una generalización por extensión de la clase sino que todas las clases están generadas por la ecuación. Por lo tanto, cuando se produce una tematización se produce otras generalizaciones que están ligadas a ella. En el caso de Descartes, las nuevas relaciones, expresadas en proposiciones, teoremas, problemas etc. Se refieren a una manera de ver, representar y operar los objetos geométricos. Hay una simbolización previa, una manera de designar los objetos; se define la linealización de la operación producto entre segmentos, entre otros. El tratamiento que le da Descartes a los segmentos es funcional, es relacional, mientras que el tratamiento que se hace en la matemática griega, está en el mundo de la cantidad. Sin embargo, esos nuevos mundos que se 6 construyen sufren todas las cosas anteriores, las vuelve casos particulares de esas generalizaciones nuevas después de una tematización. Un aspecto primordial, en el cual hace énfasis Gardies, es mostrar que lo anterior va a ser un hecho característico del pensamiento matemático de allí en adelante. La matemática va a seguir operando tematizaciones sucesivas –por ejemplo, la construcción de los sistemas numéricos-, es el sello característico del pensamiento matemático desde el XVII, proceder a través de operaciones de tematización. En ese proceso entonces se abandona la concepción filosófica que parece caracterizar las generalizaciones en el caso de la matemática griega y que continuaron a lo largo de ese tiempo influyendo en las matemáticas. Distinción entre los tipos de razonamiento de un objeto matemático por abstracción, extensión, generalización y tematización La caracterización, con relación a aspectos filosóficos, del proceso de tematización, se centra ante todo en el concepto de abstracción de Aristóteles. Gardies discute la influencia que ese concepto ha tenido en las distintas nociones de generalización que han prevalecido en las matemáticas. Afirma que hay que distanciarse del concepto de Aristóteles, bajo una reformulación filosófica de la abstracción. La noción de abstracción en Aristóteles, la retoma Gardies, del Tratado del Alma y de la Metafísica, los cuales aluden que los objetos matemáticos mediante el acto de abstracción se separan de los aspectos secundarios, sensitivos y perceptuales. Caracteres sensibles como el peso, la livianez, la dureza, lo frío, lo caliente, y todas las otras parejas de contrarios de orden sensible, dan paso a la cantidad y lo continuo, por ejemplo, mediante la abstracción. A la vez, en la concepción Aristotélica es posible que se construya algo sólo a partir de la realidad. Por lo tanto esas cosas que se construyen de la realidad puedan llegar a convertirse en objetos matemáticos vía la abstracción que nos deja la forma quitando lo material, lo sensible. Tradición filosófica, que según Gardies, aún en Euler prevalece. La ruptura radical parece que fundamentalmente se da entre los años 1880 y 1890, cuando la filosofía de la aritmetización viene a plantear formalmente hablando una conceptualización de lo que son las generalizaciones matemáticas o las tematizaciones matemáticas distinta a la abstracción por separación de cualidades. Parece que esta ruptura tiene raíces en algunas ideas platónicas, cuando se plantea, que algo es semejante a otro porque existe una propiedad externa a ellos que lo hace semejante. De esta manera la semejanza es una relación de equivalencia. Es decir, dos cosas son semejantes porque pertenecen a la misma clase de equivalencia, entonces la propiedad que determina lo que es semejante es una propiedad externa a la cualidad misma de la cosa. Lo que esto apunta es a dilucidar como una propiedad –relación de equivalencia – es la 7 génesis de aquello que se vuelve abstracto o aquello que se vuelve general, es el motor constructivo genealógico que permite llegar a lo general. Lo anterior, es diferente a la generalización por abstracción, pues se trata de establecer cómo en el mundo anterior del objeto matemático establezco una operación nueva que permite romper con ese mundo y seguir a otro mundo superior en donde hay otro objeto distinto, pero que tampoco se construye de la nada. El papel de los términos que designan el objeto y su transformación es eminente. Estos términos tienen una asignación conceptual en cada momento de la génesis. Puede ser el mismo término pero con articulaciones conceptuales diferentes. El objeto mismo al ir evolucionando evoca definitivamente nuevos términos que no calzan con los anteriores. El concepto se cualifica y se especializa un signo. El signo surge como una necesidad de dar cuenta de esa nueva variación conceptual. La tematización, puede entonces considerarse como ese momento en el cual el objeto matemático está caracterizado por una propiedad que surge de una relación de equivalencia sobre la clase anterior. Es decir, la tematización es la manera de designar un objeto matemático por una propiedad que surge a través de una relación de equivalencia que se opera, o una partición que se da sobre una clase previa. Ese momento lógico no se puede reducir simplemente al hecho de que previamente no hayan podido darse situaciones en las cuales la actividad matemática ha jugado con este objeto, antes de que él adquiera esa forma lógica de construcción a través de una relación de equivalencia, ya que, la historia nos muestra, que se ha trabajado con esos objetos, de manera informal, sin incluso asignarles los signos distintos que solamente se van a tener en el momento de la tematización. Esto lo podemos apreciar, por ejemplo, en el trabajo con algunos irracionales; los negativos o enteros relativos están siendo trabajados previamente al momento en que Peano hace su construcción del súper conjunto de los enteros relativos a partir de los enteros, los imaginarios están siendo trabajados en el siglo XVII antes de que se construya los complejos a partir de los reales; los reales son trabajados en el análisis de Cauchy antes de que se construyan los reales a finales del siglo XIX. Estos trabajos constituyen tematizaciones. La tematización se opera en el momento en el cual se especializa el signo y se asocia al nuevo concepto. Consideraciones didácticas sobre la generalización por adjetivación La discusión se centra en la interpretación que se puede dar cuando se adjetiva en un proceso constructivo de un objeto o estructura matemática, en nuestro caso particular las cónicas, dependiendo desde donde leemos el problema. Desde la perspectiva moderna un objeto matemático es más concreto si tiene mayor número de condiciones matemáticas, a su vez quiere decir que por dichas propiedades hay un encajamiento en donde los objetos con menos propiedades, 8 más generales, contienen a los determinados por condiciones mayores (los conos contienen a los conos oblicuos), en este sentido la generalización por extensión (cuando se adjetiva) se podría ver como particularización, ya que se incluye una nueva condición que hace que esta nueva clase sea subconjunto de la más general y se pueda determinar, por lo tanto un complemento en donde circulan otros objetos. Sin embargo, es necesario tener en cuenta las características de los objetos (conos), dado el momento histórico que se estudia y la clase de estudio histórico que se plantea para poder comprender porque Gardies expone que al Arquímedes introducir el adjetivo de “oblicuo”, para los conos, hay un avance conceptual y un proceso de generalización particular. Con relación a lo primero, hasta Euclides hay una clase de objetos que son conos rectos, luego en la dinámica de trabajo de Arquímedes con las cónicas, se ve, por alguna razón, obligado a girar el eje, y a dar un adjetivo para esta clase, eso significa que adjetiva lo que quedó abajo y eso que quedó abajo desde el punto de vista conjuntista está subsumido en lo otro, pero ese lenguaje no es apropiado porque no es posible que el pensamiento vea esto en esa época, en términos de conjuntos y subconjuntos. Lo que sí es común es que el pensamiento adjetive para volver particular aquello que antes era una clase universal y subsumir esto particular en una nueva clase, eso si es corriente en las formas de pensamiento, adjetivar inventarse un adjetivo para una clase nueva. Respecto al aspecto histórico, hay que tener en cuenta, la distancia que hay de 20 o 22 siglos entre esta época de Arquímedes y la del siglo XIX, cuando surge el lenguaje conjuntista, como también, que este estudio es una genealogía del pensamiento, de cómo esto (cono oblicuo y conceptualización de secciones cónicas) se generó a partir de lo otro (cono recto y cortes ortogonales) y no el estudio de lo ya generado. Desde la perspectiva didáctica, el investigador o el docente se enfrentaría a dos tensiones cuando estudia el problema de la generalización, cuando se pasa de un campo restringido a un campo más amplio. De una parte se asume el problema desde las categorías de la cultura matemática que predomina en la formación del didacta, desde la cultura de la teoría de conjuntos y al explicársela, desde allí no interesa la genealogía sino que interesan las clases que aparecen en ese proceso de generalización y de otra parte, la tensión de comprender cómo se realizó ese proceso hacia lo general. El acto de instanciación en las construcciones de Euclides y Apolonio En primer lugar se reconoce en el trabajo de Apolonio (por ejemplo en la proposición 11) que enuncia en lenguaje vernáculo la propiedad y luego la representa mediante un diagrama; esta manera de representar la propiedad del objeto ya nombrado por una construcción que facilite operar sobre él, es lo que llamamos instanciación. Este es el momento del razonamiento constructivo 9 sobre el objeto en el cual el sujeto para poder, de verdad, comprender lo que se predica del objeto tiene que trasladar el objeto a la conciencia a partir de la observación matemática; es el momento en el cual la mente fija en la conciencia el objeto a través de una percepción. Es menester reconocer el papel que desempeña la instanciación en la constitución de la estructura deductiva Euclidiana entendida como resultado de un acto de razonamiento sobre el objeto en cuestión. De otra parte se cuestiona si la instanciación se puede reconocer como la descripción de la construcción, dado el hecho que en Euclides, se presenta la proposición en lenguaje natural y luego la construcción y el dibujo de esa construcción, lo que querría decir que hay dos maneras de interpretar la construcción, una como un dibujo y la otra como un enunciado en lenguaje natural especializado. Sin embargo, lo que se reconoce es que es diferente la instanciación, por ejemplo, cuando se nota los elementos que intervienen en la proposición y también por el objeto mismo que cumple la construcción. La prueba se hace sobre la construcción. De todas maneras, la construcción está muy relacionada con el momento de instanciación. Desde la perspectiva didáctica es importante reconocer el papel del lenguaje especializado, de lo rotacional, en el momento de fijar el objeto en la conciencia para poder manipular sobre él y operar con él. Consideraciones didácticas sobre el papel del lenguaje algebraico en el razonamiento por tematización Otro aspecto importante de la discusión gira en torno a las luces que aporta comprender las formas de generalización, estudiadas por Gardies, para comprender el paso del pensamiento aritmético al pensamiento algebraico. En este sentido, el cambio del pensamiento aritmético hacia el pensamiento algebraico, implica superar el mundo de la cantidad para actuar en el mundo de las relaciones. Aspecto este detectado, cuando Descartes trata los segmentos como números, no segmentos como medidas, como cantidades, los llamó segmentos pero de hecho eran números, él no trabaja con una visión Euclidiana del número, sino con una visión moderna de éste. Se presenta también, el hecho de que en ese proceso de operatividad con los segmentos, es importante la nominación de las rectas mediante letras, en este caso. Sin embargo, lo que queda claro es que no basta nombrar, nominar o definir un objeto matemático, o elemento de éste para que ya el pensamiento avance. Por lo tanto, el objeto es algo más que designación, el objeto es ante todo la propiedad distintiva que hay que demostrar, que lo exhibe, que lo caracteriza. 10 En la actividad didáctica y particularmente al interior del proyecto de investigación, habría que reconocer en el simbolismo algebraico formal, que los signos no son sino iconos que actividades de razonamiento, no tomar los signos como signos dentro de un tejido discursivo solamente, sino tomarlos como iconos de actividades de razonamiento, lo que favorece poder ver lo conceptual que está dentro de lo simbólico y poder determinar diferencias entre lo que se representa a nivel numérico y a nivel algebraico. Es decir reconocer el proceso constructivo en toda su dimensión. 11