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Problemas de Macroeconomía IV
Problemas propuestos.
1. Propiedades básicas de las tasas de crecimiento. Utilizando el
hecho de que la tasa de crecimiento de una variable es igual a la
derivada de su logaritmo respecto al tiempo. Demostrar lo
siguiente:
a) La tasa de crecimiento del producto de dos variables es igual a la
suma de sus tasas de crecimiento. Esto es, si Z(t)=X(t)Y(t),
entonces Z (t ) / Z (t ) = X (t ) / X (t ) + Y (t ) / Y (t )
Partiendo de que la tasa de crecimiento de una variable es igual a la
derivada de su logaritmo respecto al tiempo:
1. Escribo Z(t)=X(t)Y(t) en logaritmos :
log Z(t) = log ( X(t)Y(t) )
log Z(t) = log X(t) + log Y(t)
2. Calculo la derivada de la expresión anterior respecto al tiempo, que
será la tasa de crecimiento de las variables:
d (log Z (t )) d (log X (t )) d (log Y (t )


dt
dt
dt
esta expresión es equivalente a:
Z X Y
  como se quería demostrar.
Z X Y
b) La tasa de crecimiento del ratio de dos variables es igual a la
diferencia de sus tasas de crecimiento. Esto es, si Z(t)=X(t)/Y(t),
entonces Z (t ) / Z (t ) = X (t ) / X (t ) - Y (t ) / Y (t )
1. Escribo la expresión Z(t) = X(t)/Y(t) en logaritmos:
log Z(t) = log ( X(t)/Y(t) )  log Z(t) = log X(t) – log Y(t)
2. Calculo la derivada del logaritmo de cada variable respecto al tiempo,
que será su tasa de crecimiento.
d (log Z (t )) d (log X (t )) d (log Y (t ))


dt
dt
dt
esta
expresión
equivalente
a:
c) Si
Z X Y
 
Z X Y
Z (t )  X (t ) , entonces, Z (t ) / Z (t ) = Z (t )  X (t ) / X (t )
1. Escribo la ecuación
log Z(t) =
 log X(t)
Z (t )  X (t ) en logaritmos:
es
Problemas de Macroeconomía IV
2. Calculo la derivada respecto a t, que será la tasa de crecimiento de
cada variable:
d (log Z (t ))
d (log X (t ))


dt
dt
así demuestro que
Z
X

Z
X
Z
X

Z
X
pero no entiendo muy bien lo de
demostrar que lo anterior es igual a Z(t); es decir
Z
X

Z
X
2. Bajo los supuestos establecidos por el modelo de Solow-Swan, y
supuesto que la función de producción es Cobb-Douglas, calcular
el capital per cápita, consumo per cápita y producción per cápita
de estado estacionario.
Tasa de ahorro igual al 15%, ( s  0,15 )
-
Tasa de depreciación igual al 2%, (   0,02 )
-
Tasa de crecimiento de la población igual al 10%, ( n  0,1 )
-
Participación del capital en la función de producción igual al
30%, (   0,3 )
-
Valor del índice tecnológico igual a 60, (
A  60 )
La tasa de variación del stock del capital per capita, puede expresarse
como:
k 
k
 sAk  1  (  n)
k
Bajo los supuestos del modelo de Solow-Swan la tasa de variación del
stock del capital ( al igual que el del resto de variables per capita ) es
constante y nula.
Por lo que:
k 
k
0
k
0  sAk  1  (  n) despejando se llega a la ecuación que describe el nivel
de capital per capita en estado estacionario.
1
1
 sA  1  0.15  60  10.3
k*  
 477.15
 =

 0.02  0.1
 (  n) 

0.3
 sA  1
 0.15  60  10.3
y *  A
 60  
 381,72


 0.02  0.1
 (  n) 
Problemas de Macroeconomía IV

0.3
 sA  1
 0.15  60  10.3
c *  (1  s ) A
 (1  0.15)  60  
 324,46


 0.02  0.1
 (  n) 
3. Utilizando los datos del ejercicio 2, y supuesto que el stock de
capital per cápita inicial es igual a 100. Representar gráficamente
la evolución de las variables per cápita (capital, consumo y
producción) en su camino hacia el estado estacionario.
Sugerencia, utilizar excel para hacer los cálculos.
Cálculos:
* Capital , consumo y producción per cápita en el periodo 0
k t 0  100
yt 0  A  k  t 0  60  (100) 0.3  238,86
ct 0  (1  s)  y  (1  0.15)  238,86  203,03
* Capital , consumo y producción per cápita en el periodo 1
La evolución del capital per cápita viene dada por la siguiente expresión:

kt1  sAkt 0  (  n)kt 0  0.15  60  1000.3  (0.02  0.1) 100 =
35,83-12=23.83
una vez conocida la tasa de variación del stock de capital per cápita
sabiendo que k  k t 1  k t  k t 1  k t  k =100+23.83=123,83
yt1  A  k  t1  60  (123,83) 0.3  254,68
ct1  (1  s)  yt1  (1  0.15)  254,68  216,48
* Capital , consumo y producción per cápita en el periodo 2

kt 2  sAk t1  (  n)k t1  0.15  60  (123,83) 0.3  (0.02  0.1)  123.83 
 38,20  14,86  23,34
k t 2  k t1  kt 2 =123,83+23,34=147,17
y t 2  A  k  t 2  60  (147,17) 0.3  268,22
ct 2  (1  s)  yt 2  (1  0.15)  268,22  227,99
* Capital , consumo y producción per cápita en el periodo 3

kt 3  sAk t 2  (  n)k t 2  0.15  60  (147,17) 0.3  (0.02  0.1)  147,17 
 40,23  17,66  22,57
y
Problemas de Macroeconomía IV
k t 3  k t 2  kt 3 =147,17+22,57=169,74
yt 3  A  k  t 3  60  (167,74) 0.3  279,95
ct 3  (1  s)  yt 3  (1  0.15)  279,95  237,96
Gráficamente
600
k *  477,15
Capital per cápita
500
400
300
200
100
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
períodos
400.00
y *  381.72
PIB per cápita
350.00
300.00
250.00
200.00
150.00
0
10
20
30
40
50
períodos
60
70
80
90
Problemas de Macroeconomía IV
350.00
c *  324.46
330.00
Consumo per cápita
310.00
290.00
270.00
250.00
230.00
210.00
190.00
170.00
150.00
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
períodos
4. Utilizando los datos del ejercicio 2, y supuesto que el stock de
capital per cápita inicial es igual a 700. Representar gráficamente
la evolución de las variables per cápita (capital, consumo y
producción) en su camino hacia el estado estacionario.
Sugerencia, utilizar excel para hacer los cálculos.
Cálculos:
* Capital , consumo y producción per cápita en el periodo 0.
k t 0  700
yt 0  A  k  t 0  60  (700) 0.3  428,23
ct 0  (1  s)  y  (1  0.15)  428,23  364
* Capital , consumo y producción per cápita en el periodo 1
La evolución del capital per cápita viene dada por la siguiente expresión:

kt1  sAkt 0  (  n)kt 0  0.15  60  7000.3  (0.02  0.1)  700 =
64,23-84= -19,77
una vez conocida la tasa de variación del stock de capital per cápita
sabiendo que k  k t 1  k t  k t 1  k t  k = 700-19,77 = 680,23
yt1  A  k  t1  60  (680,23) 0.3  424,57
ct1  (1  s)  yt1  (1  0.15)  424,57  360,88
* Capital , consumo y producción per cápita en el periodo 2
y
Problemas de Macroeconomía IV

kt 2  sAk t1  (  n)k t1  0.15  60  (680,23) 0.3  (0.02  0.1)  680,23 
 63,68  81,63  17,97
k t 2  k t1  kt 2 = 680,23-17,97 = 662,26
y t 2  A  k  t 2  60  (662,26) 0.3  421,17
ct 2  (1  s)  yt 2  (1  0.15)  421,17  357,99
* Capital , consumo y producción per cápita en el periodo 3

kt 3  sAk t 2  (  n)k t 2  0.15  60  (662,26) 0.3  (0.02  0.1)  662,26 
 63,17  79,47  16,30
k t 3  k t 2  kt 3 = 662,26-16,30 = 645,96
y t 3  A  k  t 3  60  (645,96) 0.3  418,03
ct 3  (1  s)  yt 3  (1  0.15)  418.03  355,32
800
700
Capital per cápita
600
500
k *  477,15
400
300
200
100
0
0
10
20
30
40
50
períodos
60
70
80
90
Problemas de Macroeconomía IV
450.00
400.00
y  381.72
PIB per cápita
*
350.00
300.00
250.00
200.00
150.00
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
60
70
80
90
períodos
400.00
Consumo per cápita
350.00
c*  324.46
300.00
250.00
200.00
150.00
0
10
20
30
40
50
períodos
Problemas de Macroeconomía IV
5. Considerar la economía de Solow que se encuentra en una
situación de estado estacionario (el estado estacionario alcanzado
con los datos del ejercicio 2).
a) Indicar como afecta a las variables per cápita (consumo,
capital y PIB) una caída en la tasa de depreciación del capital,
que pasaría a ser del 1%. Representar gráficamente la
evolución de estas variables en su camino hacia el nuevo
estado estacionario. Calculad también los nuevos valores de
estado estacionario.
Si disminuye la tasa de depreciación disminuye la pendiente de la
curva de depreciación y la curva (  n)k salta hacia abajo.
La curva de ahorro y de depreciación se cortan en un nivel de capital
superior por lo que el stock de capital de estado estacionario aumenta.
Como el PIB per capita depende del stock de capital, si el stock de
capital a largo plazo ( de estado estacionario ) aumenta, éste también
aumentará.
De igual forma como el consumo es una proporción del PIB per cápita,
el consumo a largo plazo también aumentará.
Gráficamente:
(n   )k
y   396.22
* '
(n   ' )k
y  381 .72
*
sf (k )
k *  477 .15
k   540 .3
* '
Con los datos del ejercicio 2. en el estado estacionario:
k *  477.15
y*  381.72
c*  324.46
Problemas de Macroeconomía IV
si la tasa de depreciación pasa del 2% al 1% los nuevos valores de
estado estacionario serán:
1
1
 sA  1  0.15  60  10.3
k*  

 540,30


 0.01  0.1
 (  n) 
  2%)

>
477,15
una
0.3
 sA  1
 0.15  60  10.3
y  A
 60  
 396,22


 0.01  0.1
 (  n) 
  2%)
*
 sA 
c  (1  s ) A

 (  n) 
*
(con

1
>
381,72
(
si
0.3
 0.15  60  10.3
 (1  0.15)  60  
 336,78>324,6

 0.01  0.1
b) Indicar como afecta a las variables per cápita (consumo,
capital y PIB) una caída en la tasa de crecimiento de la
población, que pasaría del 10% al 4%. Representar
gráficamente la evolución de estas variables en su camino
hacia el nuevo estado estacionario. Calculad también los
nuevos valores de estado estacionario.
La representación gráfica de una caída en la tasa de la población n, es
análoga a la del apartado anterior.
Los nuevos valores de estado estacionario son:
1
1
 sA  1  0.15  60  10.3
k 

 1.284,40


 0.04  0.02 
 (  n) 
*
 sA 
y  A

 (  n) 
*

1
0.3
 0.15  60  10.3
 60  
 513,76

 0.04  0.02 

0.3
 sA  1
 0.15  60  10.3
c *  (1  s ) A
 (1  0.15)  60  
 436,69


 0.04  0.02 
 (  n) 
Como se puede ver los valores de estado estacionario obtenidos son
superiores a los que habían cuando la tasa de crecimiento de la
población era del 10 %
Problemas de Macroeconomía IV
(n   )k
y   513 .76
* '
(n '   )k
y *  381 .72
sf (k )
k *  477 .15
k   1284 .4
* '
c) Indicar como afecta a las variables per cápita (consumo,
capital y PIB) una caída en la tasa de ahorro, que pasaría del
15% al 10%. Representar gráficamente la evolución de estas
variables en su camino hacia el nuevo estado estacionario.
Calculad también los nuevos valores de estado estacionario.
Si disminuye la tasa de ahorro la curva de ahorro se desplaza hacia
abajo y la intersección con la curva de depreciación se produce en un
stock de capital inferior.
Gráficamente:
y *  381 .72
(n   )k
sf (k )
y   320.83
* '
s ' f (k )
k   540 .3
* '
k *  477 .15
Problemas de Macroeconomía IV
Los nuevos valores de estado estacionario serán los siguientes:
1
1
 sA  1  0.10  60  10.3
k*  

 267,36


 0.02  0.1
 (  n) 

0.3
 sA  1
 0.10  60  10.3
y  A

60

 320,83 < 381,72 (si s=

 0.02  0.1


 (  n) 
*
0,15)
 sA 
c  (1  s ) A

 (  n) 
*

1
0.3
 0.10  60  10.3
 (1  0.10)  60  
 288,75<324,4

 0.02  0.1
6 ( con s = 0.15 )
6. Bajo los supuestos establecidos por el modelo de Solow-Swan, y
supuesto que la función de producción es Cobb-Douglas, calcular
el capital per cápita de la regla de oro.
-
Tasa de depreciación igual al 1%, (   0,01 )
-
Tasa de crecimiento de la población igual al 5%, ( n  0,05 )
-
Participación del capital en la función de producción igual al
30%, (   0,3 )
-
Valor del índice tecnológico igual a 70, (
Tasa de ahorro igual al 20%, ( s  0,2 )
A  70 )
En el modelo de Solow-Swan el consumo de estado estacionario es:
c *  y *  (n  )k * , como la función de producción es Cobb-Douglas
y  A k ,
por lo que
c *  A  k *  (n  )k *
dc
0
dk
1
k oro
Ak  1  (n   )  0


1
 A  1  0.3  70  10.3


 4.309,06


n   
 0.05  0.01
7. En el contexto de modelo de crecimiento de Solow y Swan pero

1
con la siguiente función de producción: Yt  AKt Gt
representa el stock de capital agregado, y
, donde
Kt
Gt el gasto público.
Suponed además que en este modelo el gasto público del gobierno
se financia mediante impuestos, de tal forma que: Gt  Yt , donde
 , es el tipo impositivo que se supone constante. Utilizando los
datos de la tabla adjunta, contestad a las siguientes preguntas:
Problemas de Macroeconomía IV
Tabla 2
s
15%

n
A

k t0
5%
12%
6
10%
100
a) Calculad el stock de capital per cápita, el PIB y el consumo per cápita en
t 01 .
b) Indicad como afectaría a la tasa de crecimiento del capital per cápita un
aumento en el tipo impositivo.
Apartado (a)
Para calcular el capital en t 01 utilizamos la siguiente expresión:
k t01  k t0 (1   kt )
(1)
0
donde
kt0 representa el stock de capital en t 0 y  kt presenta la tasa de
0
crecimiento del capital en ese mismo período.
Tasa de crecimiento del capital per cápita en t 0 :
Partimos de la ecuación que describe el comportamiento del capital per
cápita:
k  sy  (  n)k
(3)
Sustituimos la función de producción per cápita en la ecuación (3):
k  s(1   ) Ak  g 1  (  n)k
Nos interesa expresar la ecuación (4) en términos del capital per cápita.
Para ello realizamos las siguientes operaciones:
-
Gasto público igual al ingreso público
Gt  Yt
g t   yt
-
(5)
Sustituimos la expresión (5) en la ecuación de producción del PIB per
cápita
g t   Akt g 1t 
-
Sustituimos la expresión (6) en la ecuación que describe el
comportamiento del capital
k  s(1   ) (1 ) /  A1 /  k  (  n)k
Problemas de Macroeconomía IV
y obtenemos la tasa de crecimiento del capital per cápita:
 k  s(1   ) (1 ) /  A1 /   (  n)
(6)
De la expresión (6) sabemos que la tasa de crecimiento del capital per
cápita es constante e igual a:
 k  (0.15)(1  0.1)(0.1) 0.7 / 0.3 (6) (1 / 0.3)  (0.05  0.12)  7.6%
Ahora que sabemos cual es la tasa de crecimiento del capital per cápita ya
podemos calcular el capital en t 01 . El stock de capital en t 01 , lo
calculamos como:
kt01  kt0 (1   kt )
0
kt01  100(1  0.075)  107.5
Apartado (b)
Para saber como afecta el tipo impositivo a la tasa de crecimiento
del capital per cápita tenemos que derivar la tasa de crecimiento respecto
a  y analizar si esa derivada es positiva o negativa.
 k
 0 ??

Para no calcular esa derivada, podemos dar valores mayores de 
y ver que ocurre con la tasa de crecimiento. Por ejemplo, que pasaría si el
tipo impositivo fuese del 11% en vez del 10%. Sustituimos en (6) los
valores que tenemos para   11% y vemos que la tasa de crecimiento del
capital aumenta hasta el 13.4%. Luego la respuesta en esta caso sería
que con el stock de capital que tienen la economía, y partiendo de un tipo
del 10%, un aumento del tipo impositivo hace que aumente la tasa de
crecimiento del capital per cápita.
8. Supuesto una economía que funciona de acuerdo a los supuestos
establecidos por el modelo de Solow-Swan:
-
Economía cerrada, sin sector público.
Tasa de crecimiento de la población constante e igual a un
6%.
Tasa de ahorro constante. Suponemos que es del 15%.
Tasa de depreciación constante, que suponemos igual al
1%.
Función de producción neoclásica (Cobb-Douglas). Suponed
que la participación del capital en la producción es igual al
30%. Suponed también que en esa función el valor del
índice tecnológico es igual a 100.
Suponer que en t0 la economía tiene un stock de capital per cápita de
1000. Calcular cuál será el consumo, el PIB y el capital per cápita dentro
de tres períodos, es decir en t0 + 3.
Problemas de Macroeconomía IV
Para responder a esta pregunta tenemos que calcular la tasa de
crecimiento del capital per cápita en t0, t0+1 y t0+2.
Partimos de la ecuación que describe el comportamiento del capital per
cápita:
k  sy  (  n)k
 k  sAkt 1  (  n)
Stock de capital en t0+1:
kt01  kt0 (1   k )
Así pues, lo primero que hacemos es calcular la tasa de crecimiento del
capital per cápita en t0
 kt  sAkt0 1  (  n)
0
 kt  0.15  100 * (1000) 0.7  (0.01  0.06)  4.9%
0
kt01  1000(1  4.9%)  1049
El PIB per cápita en t0+1:
yt01  Akt01
yt0 1  100(1049)  805.81
El consumo per cápita en t0+1:
ct01  (1  s) * 805.81  684.93
Siguiendo los pasos anteriores calcularíamos el stock de capital per cápita
en t0+2
kt01  kt0 (1   k )
 kt
 kt
0 1
0 1
 sAkt011  (  n)
 0.15  100 * (1049) 0.7  (0.01  0.06)  4.5%
kt02  1049(1  4.5%)  1096.2
y así sucesivamente......
9. En el modelo de Ramsey las ecuaciones (1) y (2), junto con la
condición de transversalidad, describen el comportamiento óptimo
Problemas de Macroeconomía IV
del consumo y el capital per cápita de una economía con mercados
competitivos.
(1)
(2)
k  f (k )  c  (  n)k
c 1
 c   ( f ' (k )     )
c 
donde k , representa el capital per cápita. c representa el consumo
per cápita.  representa la tasa de depreciación del capital. 
representa el factor de descuento, y  es el parámetro que
determina el grado de concavidad de la función de utilidad y
representa el deseo de alisar el consumo en el tiempo. Por último,
f (k ) es la función de producción per capita. La tecnología de
producción es la siguiente: Y  AK , donde A es el índice de
desarrollo tecnológico y K es el stock de capital agregado.
a) Utilizando los datos de la tabla adjunta calculad la tasa de crecimiento
del consumo, el capital y el PIB per cápita de estado estacionario.
b) En base a los resultados obtenidos en el apartado (a) indicad que
medidas de política económica deberían implementar los gobiernos
preocupados por fomentar el crecimiento económico a largo plazo.
Tabla 1

n
A


5%
15%
5
1%
100
Apartado (a)
Calculamos primero la función de producción per cápita:
y  Ak
Sustituimos dicha función en las ecuaciones (1) y (2):
(1)*
(2)*
k  Ak  c  (  n)k
c 1
 c   (A    )
c 
La tasa de crecimiento del consumo es constante e igual a 4.8%. Dicho
valor se obtiene sustituyendo los valores de la tabla 1 en la ecuación (2) *.
Calculamos ahora la tasa de crecimiento del capital per cápita:
k  A
c
 (  n)
k
Recordad que el estado estacionario es una situación en que la economía
crece a una tasa constante. Luego en estado estacionario  k tiene que
Problemas de Macroeconomía IV
ser constante. La tasa de crecimiento del capital será constante, si y solo
si, el ratio consumo/capital es constate, es decir,
¿En que casos
c
 cte .
k
c0 c1
 ?, el ratio consumo/capital en t=0, es igual al ratio
k 0 k1
consumo/capital en t=1, si y solo si, la tasa de crecimiento del capital es
igual a la tasa de crecimiento del consumo.
Veamos que efectivamente es así:
c1 c0 (1   c 0 )

k1 k1 (1   k 0 )
si
 c0   k 0 , entonces,
c0 c1

k 0 k1
Del resultado anterior sabemos que en estado estacionario el capital per
cápita crece a la misma tasa que el consumo per cápita, es decir a un
ritmo del 4.8% anual.
c  k 
1

(A    ) 
1
(5  0.05  0.15)
100
De la función de producción per cápita sabemos también que la producción
crece a la misma tasa que el capital per cápita en estado estacionario:
 c   k   y  4.8%
Apartado (b)
En base a los resultados obtenidos en el apartado (a), los gobiernos
deberían desarrollar medidas de política económica encaminadas a
fomentar la investigación y el progreso tecnológico, ya que, según el
modelo, la tecnología es la fuente de crecimiento económico.