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Sexto Año “B”
Matemática
Instituto Jesús María
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Un triángulo que no es rectángulo se le llama oblicuángulo. Los elementos de un triángulo
oblicuángulo son los tres ángulos A, B y C y los tres lados respectivos, opuestos a los
anteriores, a, b y c.
Un problema de resolución de triángulos oblicuángulos consiste en hallar tres de
sus elementos, lados o ángulos, cuando se conocen los otros tres (uno de los cuales ha
de ser un lado).
Oblicuángulo se contrapone a rectángulo, en sentido estricto. Pero cuando se habla de
triángulos oblicuángulos no se pretende excluir al triángulo rectángulo en el estudio, que
queda asumido como caso particular. No obstante cuando el triángulo es rectángulo, porque
se dice expresamente que lo es, el problema se reduce, tiene un tratamiento particular y no
se aplican las técnicas generales de resolución que vamos a ver seguidamente.
Se utilizan tres propiedades:
Suma de los ángulos de un triángulo
A + B + C = 180º
Teorema del seno
a2 = b2 + c2 - 2·b·c·Cos A
Teorema del coseno
b2 = a2 + c2 - 2·a·c·Cos B
c2 = a2 + b2 - 2·a·b·Cos C
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Casos en la resolución de triángulos:
CASO
I
II
III
IV
DATOS CONOCIDOS
Los tres lados: a, b, c
Un lado y los ángulos adyacentes: a, B, C
Dos lados y el ángulo formado: a, b, C
Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a, b, A
INCÓGNITAS
Los tres ángulos A, B, C
Dos lados y un ángulo: b, c, A
Un lado y dos ángulos: c, A, B
Un lado y dos ángulos: c, B, C
CASO I: Se dan los 3 lados del triángulo: a, b y c
ORIENTACIONES
Hay que tener en cuenta que este caso no siempre tiene solución, es decir no valen
cualesquiera tres segmentos a, b y c ya que para que pueda formarse un triángulo ha de
cumplirse que cualquier lado ha de ser menor que la suma de los otros dos.
Esta propiedad se conoce como propiedad triangular y se expresa así:
a<b+c b<a+c c<a+b
Ejemplo: a, b y c son los lados del triángulo y miden: a =7, b =10 y c = 6.
La solución trigonométrica de A, B y C se obtiene calculando en el
siguiente orden:
1º Aplicando el teorema del coseno despejamos Cos A y Cos B,
para calcular A y luego B
2º Aplicando la relación de la suma de ángulos se calcula C:
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Ejercicios Caso 1: Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos:
CASO II: Se da un lado y los ángulos adyacentes
ORIENTACIONES
La única limitación es que los dos ángulos tienen que sumar menos de 180º (B + C <
180º) para que sea posible la construcción.
En un triángulo un lado mide a = 10, y los ángulos adyacentes a este miden B = 45º, C =
76º
La solución trigonométrica se consigue aplicando el siguiente orden a las propiedades:
1º Suma de los ángulos B + C para determinar A
2º Teorema del Seno para determinar sucesivamente los lados b y c.
Ejercicio: Para localizar una emisora clandestina, dos
receptores, A y B, que distan entre sí 10 km, orientan sus
antenas hacia el punto donde está la emisora. Estas
direcciones forman con AB ángulos de 40º y 65º. ¿A qué
distancia de A y B se encuentra la emisora?
CASO III: Se dan dos lados y el ángulo que forman
Por ejemplo: en triángulo dos lados miden respectivamente a = 6, b=8 y el ángulo
comprendido entre ellos mide C=100º.
La solución trigonométrica se consigue aplicando en el mismo orden las siguientes
propiedades:
1º Teorema del coseno para calcular el lado c,
2º Teorema del seno para calcular el ángulo A
3º Una vez conocidos A y C, la propiedad de la suma de los tres ángulos para calcular B.
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Ejemplo: Resolver el siguiente triángulo:
CASO IV: Se dan dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
ORIENTACIONES
Este caso es el más complejo ya que se pueden dar tres situaciones:
 No existe triángulo
 Existe un triángulo
 Existen dos triángulos.
Suponemos conocidos los lados a y b y el ángulo A opuesto al lado a.
La solución trigonométrica se consigue aplicando las siguientes propiedades en el mismo
orden:
1º Teorema del seno para calcular el ángulo B
2º La propiedad de la suma de los tres ángulos para calcular C
3º Nuevamente el Teorema del seno para calcular el lado c
Ejemplos: Resuelve los siguientes triángulos:
a = 3, b = 5, A = 80º
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Ejercicios y Problemas:
1) De un triángulo ABC se conoce a = 8 cm, c = 14 cm y B = 50º. Hallar los elementos
que faltan.
2) De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes
elementos.
3) De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes
elementos.
4) Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.
5) Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.
6) Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.
7) Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.
8) Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.
9) Calcula la altura, h, de la figura:
10) Calcula los lados c y a.
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11) Calcula la distancia que separa entre dos puntos A y B.
12) Desde el pueblo A se ven los pueblos B y C, que distan entre sí 6 km, bajo un ángulo de
63º. Si la distancia entre A y B es de 4 km, calcula lo que distan A y C.
[Resp] 6,64 km
13) Calcula el área del triángulo ABC representado
en la figura siguiente:
[Resp] 106,88 cm2.
14) Las agujas de un reloj de pared miden 10 y 12 centímetros, respectivamente.
a) ¿Cuál es la distancia que hay entre sus extremos cuando el reloj marca las cuatro?
b) ¿Cuál es la superficie del triángulo que determinan a esa hora?
[Resp] a) 19,08 cm; b) 51,96 cm2.
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