Download OBJETIVOS - Pagina de Israel Yance

Informe de laboratorio Nº2
OBJETIVOS
Velocidad y aceleración instantánea
Determinar la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento rectilíneo a partir
de la gráfica “Posición vs. Tiempo”
Determinar la aceleración instantánea de un cuerpo en movimiento rectilíneo a
partir de la gráfica “Velocidad vs. Tiempo”
Comprender el concepto matemático de la derivada usando como ejemplos los
conceptos físicos de velocidad y aceleración instantánea.
Segunda ley de Newton
Verificar la segunda ley de Newton.
Yance Aranda, Israel
2
Informe de laboratorio Nº2
PROLOGO
Yance Aranda, Israel
3
Informe de laboratorio Nº2
INSTRUMENTOS
El equipo necesario para estos experimentos son los siguientes:
Chispero electrónico
Fuente del Chispero
Tablero con superficie de vidrio y conexiones para aire comprimido
Papel eléctrico tamaño A3
Papel bond tamaño A3
Un disco de 10 cm de diámetro
Un nivel de burbuja
Dos resortes
Una regla de 1m graduada en milímetros
Yance Aranda, Israel
4
Informe de laboratorio Nº2
FUNDAMENTO TEÓRICO
Velocidad y aceleración instantánea
El movimiento de un cuerpo es rectilíneo cuando su trayectoria es una recta. Consideremos
que el eje OX de la figura 1 coincide con la trayectoria. La posición del objeto está definida
por su desplazamiento medido desde un
punto
arbitrario
prinicipio,
el
O,
u
origen.
desplazamiento
En
puede
x
O
relacionarse con el tiempo mediante una
A
x
t
v
B
x’
t’
v’
X
relación funcional x= f(t). Obviamente, x
puede
ser
positiva
o
negativa.
Figura 1
Supongamos que en el tiempo t el objeto
se encuentra en la posición A, siendo OA
= x. Más tarde en el tiempo t’, se encuentra en B, siendo OB = x’ . La velocidad promedio
entre A y B está definida por
_
v = x’ - x =  x
t’ - t
()
t
donde  x = x’ - x es el desplazamiento de la partícula y  t = t’ - t es el tiempo
transcurrido. Por consiguiente la velocidad promedio durante un cierto intervalo de tiempo
es igual al desplazamiento promedio por unidad de tiempo. Para determinar la velocidad
instantánea en un punto, tal como A, debemos hacer el intervalo de tiempo  t tan
pequeño como sea posible, de modo que esencialmente no ocurran cambios en el estado de
movimiento durante ese pequeño intervalo. En el lenguaje matemático esto es equivalente a
Yance Aranda, Israel
5
Informe de laboratorio Nº2
calcular el valor límite de la fracción () cuando el denominador  t tiende a cero. Esto se
escribe en la forma
v = lim v = lim
t0
x
t0  t
de modo que obtenemos la velocidad instantánea calculando la derivada del
desplazamiento con respecto al tiempo. Operacionalmente la velocidad instantánea se
encuentra observando al cuerpo en movimiento en dos posiciones muy cercanas separadas
por una pequeña distancia dx y midiendo el intervalo de tiempo dt necesario para que vaya
de una posición a otra. Entones el término “velocidad” se referirá siempre a la velocidad
instantánea.
ACELERACIÓN
En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Si la velocidad permanece
constante, se dice que el movimiento es uniforme. Refiriéndonos nuevamente a la Figura 1,
supongamos que en el tiempo t el objeto se encuentra en A con una velocidad v y en el
tiempo t’ en B con una velocidad v’. La aceleración promedio entre A y B está definida por
a = v’ - v =  v ,
t’ - t
t
donde  v = v’- v es el cambio en la velocidad y, como antes,  t = t’ - t es el tiempo
transcurrido. Luego la aceleración promedio durante un cierto intervalo de tiempo es el
cambio en la velocidad por unidad de tiempo durante el intervalo de tiempo.
La aceleración instantánea es el valor límite de la aceleración promedio cuando el
intervalo  t es muy pequeño. Esto es,
a = lim a
t0
= lim
v ,
t0  t
ó
a = dv ,
dt
Yance Aranda, Israel
6
Informe de laboratorio Nº2
de modo que obtenemos la aceleración instantánea calculando la derivada de la velocidad
con respecto al tiempo. Operacionalmente, se encuentra la aceleración instantánea
observando el pequeño cambio de la velocidad dv que tiene lugar en el intervalo muy
pequeño de tiempo, dv. Entonces cuando digamos “aceleración”, nos estaremos refiriendo a
la aceleración instantánea.
En general, la aceleración varía durante el movimiento. Si el movimiento rectilíneo
tiene una aceleración constante, se dice que el movimiento es uniformemente acelerado.
Si la velocidad aumenta en valor absoluto con el tiempo, se dice que el movimiento
es “acelerado”; pero si la velocidad disminuye en valor absoluto con el tiempo, el
movimiento se denomina “retardado”.
Segunda ley de Newton
Concepto de fuerza
En muchos casos se observa el movimiento de una sola partícula, ya sea porque no tenemos
manera de observar las otras partículas con las cuales interactúa o porque las ignoramos a
propósito. En esta situación es algo difícil usar el principio de la conservación del
momentum. Sin embargo, hay una manera práctica de resolver esta dificultad,
introduciendo el concepto de fuerza. La teoría matemática correspondiente se denomina
dinámica de una partícula.
Designaremos el cambio con respecto al tiempo del momentum de una partícula con
el nombre de “fuerza”. Esto es, la fuerza que “actúa” sobre una partícula es
F
d
p
dt
( )
La palabra “actúa” no es apropiada ya que surgiere la idea de algo aplicado a la partícula.
La fuerza es un concepto matemático el cual, por definición, es igual a la derivada con
respecto al tiempo del momentum de una partícula dada, cuyo valor a su vez depende de su
Yance Aranda, Israel
7
Informe de laboratorio Nº2
interacción con otras partículas. Por consiguiente, físicamente, podemos considerar la
fuerza como la expresión de una interacción. Si la partícula es libre, p = constante y F = d
p/ d t = 0. Por lo tanto, podemos decir que no actúan fuerzas sobre una partícula libre.
Segunda ley de Newton
La expresión () es la segunda ley de movimiento de Newton; pero, como podemos ver, es
más una definición que una ley, y es una consecuencia directa del principio de
conservación del momentum.
Recordando la definición () del momentum, podemos escribir la ecuación () en la
forma
F
d
( m. v )
dt
y si m es constante, tenemos
d
F m. V
dt
o
F m. a
( )
Se puede expresar la ecuación (  ) en palabras diciendo:
La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre
el e inversamente proporcional a su masa.
En este caso se puede notar que la fuerza tiene la misma dirección que la aceleración.
Por la ecuación (  ) apreciamos que si la fuerza es constante la aceleración,
a = F / m, es
también constante y el movimiento es uniformemente acelerado. Esto es lo que sucede con
los cuerpos que caen cerca de la superficie terrestre: todos los cuerpos caen hacia la tierra
con la misma aceleración g , y, por consiguiente, la fuerza de atracción gravitacional de la
tierra, llamada peso, es
W=m g
En el procedimiento anterior se ha demostrado matemáticamente la segunda ley,
esta demostración es posible hacerla en la actualidad, sin embargo Issac Newton no la
dedujo de esta forma, sino a través de generalizaciones de observaciones experimentales
del movimiento real de cuerpo materiales, y de cómo las fuerzas aplicadas afectan a esos
Yance Aranda, Israel
8
Informe de laboratorio Nº2
movimientos. En consecuencia, son leyes naturales que describen el comportamiento del
mundo externo, mas que axiomas matemáticos.
Debe notarse que la segunda ley de Newton contiene la afirmación crucial de cómo
se mueven los objetos cuando se le somete a la acción de fuerzas. Por tanto en cierto
sentido la segunda ley ocupa una posición de importancia especial en tanto que la primera y
la tercera sirven en cierta medida para ampliar la segunda.
Yance Aranda, Israel
9
Informe de laboratorio Nº2
DATOS
Velocidad y aceleración instantánea
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
X
10.5
11.8
13.6
14.5
15.8
18.2
20.9
23.8
25.9
26.9
27.2
29.7
31.1
32.6
34.9
36.7
37.6
39
37.3
36.2
35
34.2
32.1
29
26
23.1
20.2
17.5
15.2
13.6
10.7
7.6
Y
10.6
12.9
14.6
15.7
16.7
19
21.3
24
25.4
26.2
26.9
28.4
28.5
27.9
26.3
24.2
22.4
20.4
18.3
17.1
15.4
14.6
13.9
12.8
12.2
12
12.4
13.2
14.4
15
16.1
17
Yance Aranda, Israel
10
Informe de laboratorio Nº2
Segunda ley de Newton
Objeto
Masa(g)
Vaso
masa 1
masa 2
masa 3
masa 4
11.4
49.7
49.5
49.7
199.2
Yance Aranda, Israel
11
Informe de laboratorio Nº2
CUESTIONARIO
Velocidad y aceleración instantánea
1.1 Defina un sistema de referencia, es decir, dibuje un sistema de coordenadas XY
1.2 Respecto a este sistema de referencia y al instante tomado como t=0 construya la
función {(t,x(t))}, para ello llene la segunda columna dela tabla 1.
Yance Aranda, Israel
12
Informe de laboratorio Nº2
1.3 Calcule la componente x de la velocidad en los instantes t=6, 10 y 14 ticks o los que
indique el profesor. Para ello llene la columnas 3, 4 y 5 de la tabla 1; grafique las funciones
{(t,Vm(6,t))}, {(t,Vm(10,t))}, {(t,Vm(14,t))} y obtenga los respectivos limites.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
X
10.5
11.8
13.6
14.5
15.8
18.2
20.9
23.8
25.9
26.9
27.2
29.7
31.1
32.6
34.9
36.7
37.6
39
37.3
36.2
35
34.2
32.1
29
26
23.1
20.2
17.5
15.2
13.6
10.7
7.6
{(t,Vm(6,t))}
1.733
1.820
1.825
2.133
2.550
2.700
2.279
2.900
2.500
2.000
1.575
1.760
1.700
1.671
1.750
1.756
1.670
1.645
1.367
1.177
1.007
0.887
0.700
0.476
0.283
0.116
-0.035
-0.162
-0.259
-0.317
-0.425
-0.532
{(t,Vm(10,t))} {(t,Vm(14,t))}
1.670
1.743
1.711
1.777
1.700
1.775
1.814
1.855
1.900
1.910
1.800
1.856
1.575
1.750
1.133
1.586
0.650
1.500
0.300
1.600
2.016
1.925
2.500
1.733
1.950
1.900
1.800
2.300
0.793
1.925
1.900
1.800
1.733
1.350
1.686
1.367
1.263
0.600
1.000
0.260
0.780
0.017
0.636
-0.100
0.408
-0.350
0.138
-0.656
-0.086
-0.890
-0.273
-1.073
-0.438
-1.225
-0.571
-1.338
-0.667
-1.407
-0.716
-1.420
-0.825
-1.513
-0.933
-1.606
Yance Aranda, Israel
13
Informe de laboratorio Nº2
Calculo de los limites:
Tenemos aproximadamente x(t) = 0.0003t4 - 0.022t3 + 0.3775t2 - 0.1338t + 11.661
Calculamos la velocidad instantánea para cada uno
x'(t)=Vinst= 0.0012t3 – 0.066t2 + 0.755t – 0.1338
Para t=6 Vinst= 2.279
Para t=10 Vinst= 2.016
Para t=14 Vinst= 0.793
Yance Aranda, Israel
14
Informe de laboratorio Nº2
1.4 Construya la función {(t,y(t))}, para ello llene la segunda columna dela tabla 2.
1.5 Indique la componente y de la velocidad en los instantes t=6, 10 y 14 ticks
Tenemos aproximadamente y(t) = 0.0002t4 - 0.0079t3 - 0.05t2 + 2.7571t + 9.234
Calculamos la velocidad instantánea para cada uno
x'(t)=Vinst= 0.0008t3 – 0.0237t2 – 0.1t + 2.7571
Para t=6 Vinst= 1.4767
Para t=10 Vinst= 0.1871
Para t=14 Vinst= -1.0929
Yance Aranda, Israel
15
Informe de laboratorio Nº2
1.6 Transforme los valores de velocidad obtenidas a cm/s. Con estos valores construya para
cada instante el par ordenado (Vx(t),Vy(t)).
(Vx(t),Vy(t))
T
6
10
14
(91.176 , 59.068)
(80.648 , 7.848)
(31.72 , -43.716)
Segunda ley de Newton
Presente la curva de calibración de cada resorte.
Para obtener la constante del resorte, k, medimos diferentes elongaciones de cada resorte,
utilizando las siguientes masas:
Objeto
Masa(g)
Vaso
masa 1
masa 2
masa 3
masa 4
11.4
49.7
49.5
49.7
199.2
El resultado de medir las elongaciones de cada resorte se muestra a continuación:
Elongación Elongación
Masa(g)
0
49.7
110.8
160.3
260.3
310
359.5
Peso (N)
0
487.06
1085.84
1570.94
2550.94
3038
3523.1
resorte
resorte
largo (cm) corto (cm)
13.5
11.7
13.6
12
15.8
13
16.4
14.2
20.1
16.2
21.4
18.2
23.3
19.2
Yance Aranda, Israel
16
Informe de laboratorio Nº2
Curva de calibración del resorte largo
4000
3500
Pe 3000
so 2500
(N 2000
) 1500
1000
500
0
0
5
10
15
Elongación
(cm)
20
25
Curva de calibración del resorte corto
Peso (N)
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0
5
10
15
20
25
Elongación (cm)
Yance Aranda, Israel
17
Informe de laboratorio Nº2
Haciendo ajuste por mínimos cuadrados:
Para el resorte largo
nº
1
2
3
4
5
6
7
Suma
x
13.5
13.6
15.8
16.4
20.1
21.4
23.3
124.1
y
0
187.06
1085.84
1570.94
2550.94
3038
3523.1
11955.88
xy
0
2544016
17156272
25763416
51273894
65013.2
82088.23
243839028
x2
182.25
184.96
249.64
268.96
404.01
457.96
542.89
2290.67
Sabemos: f(x) = a0 + a1x, al resolver:
n
n
i 1
i 1
na0  a1  xi   yi
y
n
n
n
i 1
i 1
i 1
a0  xi  a1  xi2   xi yi
De estas ecuaciones, al reemplazar las sumas halladas en el cuadro, obtenemos a0 = 4248.06 y a1 = 338.37. Este último valor es la pendiente de la recta, equivalente a k, por lo
tanto kl = 338.37 N/cm.
Para el resorte corto
nº
1
2
3
4
5
6
7
Suma
x
11.7
12
13
14.2
16.2
18.2
19.2
104.5
y
0
487.06
1085.84
1570.94
2550.94
3038
3523.1
12255.88
xy
0
5844.72
14115.92
22.307.348
41.325.228
55291.6
67643.52
206.528.336
x2
136.89
144
169
201.64
262.44
331.24
368.64
1613.85
Similarmente al caso anterior, se halla que a0 = -4786.8 y a1 = 437.92. Entonces, se obtiene
que k2 = 437.92 N/cm.
Yance Aranda, Israel
18
Informe de laboratorio Nº2
CONCLUSIONES
Velocidad y aceleración instantánea
Cuando calculamos las medidas de las posiciones, velocidades y aceleraciones nos
damos cuenta que hay una diferencia con la parte teórica.
Si los experimentos serían realizados con rozamiento sería complicado calcular las
velocidades y aceleraciones puesto que la fuerza de rozamiento no es uniforme, por eso
es que las realizamos con el menor rozamiento posible.
Podemos notar que podemos tomar las velocidades de x e y como si fueran
independientes.
Segunda ley de Newton
Debido a este laboratorio se ha podido demostrar experimentalmente lo que la teoría
nos dice, acerca de la relación proporcional entre la fuerza, masa y aceleración,
haciendo notar que al graficarlas tendremos una mejor visión de la relación exacta que
hay entre sus magnitudes. Cabe destacar la importancia que es sabe que cualquier
fuerza resultante que actúe en un cuerpo que tenga masa va a presentar aceleración.
Yance Aranda, Israel
19
Informe de laboratorio Nº2
Mientras mayor sea la distancia que recorra la partícula en estudio, tantos más
exactos serán los cálculos de velocidad y aceleración instantánea.
En todos los casos donde se observe la presencia de una fuerza, se dice que existe
una interacción entre los cuerpos interactuantes, es decir, el movimiento de un cuerpo
es en respuesta a la interacción entre ellos.
El dispositivo usado en el experimento (discos de metal) permiten eliminar el
rozamiento de los cuerpos permitiendo su movimiento sobre cualquier superficie plana,
debido a que se le inyecta aire a presión que hace que este se levante a menos de 1 mm
de altura evitando el contacto del disco con la superficie.
El experimento permite relacionar la fuerza aplicada al disco con la aceleración 'a'
que adquiere.
En el gráfico de 'a' vs 'F' es una línea recta con una pendiente, luego según la
formula de la segunda ley de Newton si existe una aceleración o, entonces la fuerza
debe ser cero, pero experimentalmente se prueba que puede existir fuerzas aunque no
haya aceleración, que existe el rozamiento que no permite mover el cuerpo dando una
aceleración cero.
Se concluye que la variación del tiempo es siempre constante y es hallada mediante
una regla de tres, en donde participan una cantidad de impresiones tomadas en un
determinado tiempo, ahora esto será mas pequeño o mas grande dependiendo de la
frecuencia en que se encuentre el instrumento.
Yance Aranda, Israel
20
Informe de laboratorio Nº2
OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES
En esta experiencia se puede observar lo siguiente:
La fuerza es directamente proporcional a la aceleración.
La aceleración es inversamente proporcional a la masa.
Al momento de determinar la fuerza resultante ejercida por los resortes tanto el
resorte "A" como el resorte "B" ejerce de antemano una fuerza inicial, que
teóricamente no debería existir por considerar DX = 0 pero que sin embargo se da
a consecuencia del colchón del aire utilizado para hacer que el rozamiento sea
nulo, que hace que el disco quiera moverse en diferentes direcciones, por lo tanto,
es necesario para el cálculo de la fuerza total es necesario sustraer dicha fuerza
inicial a la fuerza resultante.
Mientras el chispero electrónico este operativo evite tocar el papel eléctrico, y el
disco metálico, para poner el disco en movimiento tómelo del mango de madera.
Durante este experimento se ha usado gravedad g = 9.8m/s2
La fuerza tomada del chispero fue de 40 Hz= 0.025 s.
Yance Aranda, Israel
21
Informe de laboratorio Nº2
Se observa que la frecuencia del chispero es inestable ya que se realiza el conteo
de puntos en tiempos diferentes por 3 veces y se comprobó que cada vez la
frecuencia era diferente para el mismo chispero, por lo cual asumimos la
frecuencia de 40Hz ya que esta presentaba puntos con mayor claridad y a
distancias constante aproximadamente.
A pesar de haber escogido esta frecuencia podemos observar claramente que no
nos permite hallar teóricamente la masa experimental.
Al hallar la fuerza resultante observamos que existe un exceso en ésta.
Una de las causas de este exceso se debe a que al momento de soltar el disco se
le dio un pequeño impulso, cual provocará una fuerza que aumentará el módulo de
fuerza ejercida por el resorte.
Verificar que al recoger los instrumentos a usarse estén en buen estado de
funcionamiento ya que puede haber instrumentos que estén dañados y que no
funcionen bien.
Pesar en la balanza analítica las masas de las pesas para así evitar los errores y
llegar a una mayor precisión de los resultados.
Se debe nivelar bien la plataforma antes de iniciar el experimento para así evitar
que el disco no se desplace. Ya que es necesario que se encuentre en equilibrio.
Al instalar todo el sistema de trabajo, verificar que el chispero que es un
interruptor de corriente se encuentre funcionando correctamente.
Yance Aranda, Israel
22
Informe de laboratorio Nº2
Es recomendable que el ángulo entre el hilo que va desde el disco a la polea sea
lo mas mínimo posible o también puede ser recto para evitar así que se formen
fuerzas
Se debe tratar que la polea a usarse debe ser lo mas lisa posible para que el hilo
se desplace con facilidad y esto hace que la fuerza varíe y que este a una distancia
mínima de la esquina de la mesa de trabajo y a que la tensión varíe.
Es recomendable elegir un tramo de puntos impresos por el disco donde no se
repitan tan seguido, sino que exista una distancia casi igual en los puntos para
obtener el espacio y la velocidad.
Evitar que el papel carbón se encuentre parchado puede existir una anomalía ya
que a la hora que el disco pasa se puede demorar y darnos así un gran margen de
error y pueda saltar el disco.
Evitar que la manguera que esta conectada al disco no se encuentre enroscada ya
que evitaría que ingrese aire y evita el desplazamiento del disco.
Yance Aranda, Israel
23