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Liceo A-1
Javiera Carrera
Santiago
Matemática
Módulo Ecuaciones
NM1
2011
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, en las que aparecen valores conocidos o
datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos
pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como
resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que
se pretende encontrar. Por ejemplo, en la ecuación:
6x  8  4 x  24
la variable x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 6 y 4 junto a los números 1 y 9 son constantes
conocidas. se puede afirmar que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las
variables la hacen cierta.
Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso
dado, la solución es:
x 8
Debemos saber que existen ecuaciones de dos tipos: ecuaciones aditivas y ecuaciones multiplicativas.
Las ecuaciones aditivas tienen la forma a + x = b
Las ecuaciones multiplicativas tienen la forma a · x = b
1) Ecuaciones aditivas: a + x = b
Para resolver ecuaciones aditivas a + x = b, se usa la propiedad de las igualdades, que dice
Cuando se suma o resta el mismo número en ambos lados de una ecuación, la igualdad se
mantiene.
Los pasos a seguir para encontrar la incógnita son los siguientes:
1. Se suma a ambos lados de la ecuación el inverso aditivo del número que suma o resta a la incógnita. Recordar
que el inverso aditivo de un número es el mismo número con signo contrario
2. Se realiza la operación indicada.
Ejemplo: 28 + x = 13 / –28 (El número que acompaña a la incógnita sumándolo es 28, por lo tanto, se debe agregar a ambos lados de la
ecuación su inverso aditivo que es –28).
28 + x + –28 = 13 + –28 (Como 28 y –28 tienen signo contrario entre sí, la regla de signos indica que deben restarse).
28 + –28 = 0
Como 13 y –28 son números de distinto signo, éstos se restan y se conserva el signo del número con mayor valor
absoluto (el número sin signo).
13 + –28 = –15 (Por lo tanto, después de realizar las operaciones indicadas más arriba, se tiene que:
28 + x = 13 / –28
28 + x +–28= 13 + –28
x + 0 = –15
x = –15
Otros ejemplos:
1) 60 – 37 = 84 + x
23 = 84 + x / –84
23 + –84 = 84 + x + –84
–61 = 0 + x
x = –61
2) x + 3 – 2 = 7
x+1=7
x + 1 + –1 = 7 + -1 / –1
x+0=6
x+0=6
2) Ecuaciones multiplicativas: a • x = b
Para resolver ecuaciones de la forma a · x = b se aplica la propiedad de las igualdades, que dice :
Si se multiplica o divide por un mismo número a ambos lados de la igualdad, ésta se mantiene.
Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a la incógnita, se debe
dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número o multiplicar cada termino de la ecuación por su inverso
multiplicatvo.
Los pasos son los siguientes:
1) Se divide siempre por el número que multiplica a la “x”. (Al dividir se utiliza el inverso multiplicativo del
número).
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Ejemplo: 15 • x = 75 / :15 (es lo mismo que multiplicar ambos miembros por 1/15, que es el inverso
multiplicativo de 15)
15 • x : 15 = 75 : 15 ( Se realizan las operaciones matemáticas correspondientes.)
Reordenado los números se tiene: 15 : 15 • x = 75 : 15
1•x=5
x=5
Otro ejemplo:
3 • x = 81
3 • x = 81 / :3
3 • x : 3 = 81 : 3
3 : 3 • x = 27
1 • x = 27
x = 27
¿Qué sucede si se combinan ambos tipos de ecuaciones: aditiva y multiplicativa ?
Ejemplo: 2x + 2 + 3 = 4x – 1
Para resolver este tipo de ecuación, lo primero que debe hacerse es efectuar las operaciones entre términos
semejantes en ambos lados de la ecuación; es decir, a la izquierda y a la derecha.
Esto significa sumar números con números y factores literales con factores literales (terminos semejantes); en
este ejercicio esto significa sumar los números con los números y las “equis” con las “equis”. En el caso
particular de nuestro ejemplo, a la izquierda se pueden sumar los números 2 y 3 solamente, pues no hay más
términos semejantes
2x + 5 = 4x – 1 / –5
A continuación se debe sumar a ambos lados de la ecuación el inverso aditivo del número que suma o resta a la
incógnita, en este caso se debe sumar el inverso aditivo de 5 (-5) a la izquierda y a la derecha de la igualdad.
2x + 5 + –5 = 4x - 1 + –5
2x + 0 = 4x + –6
2x = 4x + –6
Luego, debe sumarse el inverso aditivo de 4x para lograr que el número 4x que está a la derecha quede a la
izquierda de la ecuación; de esta forma los dos números con “equis” podrán reducirse.
2x = 4x + –6 / –4x
2x + –4x = 4x + –6 + –4x
– 2x = 4x + –4x + –6
– 2x = 0 + –6
– 2x = –6
Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a la incógnita, se debe
dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número, en este caso se debe dividir por –2. Fíjate que la ecuación
es ahora multiplicativa, por lo tanto se usa el método par resolver ecuaciones multiplicativas (por eso se divide
1
por –2 ó multiplicamos por
).
2
 2x  6

simplificando queda
2
2
1x = 3 ó simplemente
x=3
Resolvamos otros ejemplos:
Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro lado de la
igualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario).
Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente.
Aplicamos operaciones inversas, y simp
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Verifica y resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado o lineales
11) 3 + 2 - 5 + x = 2 + 1 – 3
R: x = 0
12) -2 + 6 -12 = x + 5 - 1
R: x = -12
13) 2 + 6 - 1 = x + 6 - 4
R:
14) -5 - 6 + x = 5 - 8 + 3
R: x = 11
15) 6 - 9 + x + 9 = 2 - 6
R: x = -10
x=5
4
16) 2 + 5 - 9 = 2 + x - 6 – 8
R:
17) 2 + 9 + 6 - 9 = x + 3 - 5
R: x = 10
18) 9 - 5 + 6 +x = -5 -9 +3
R: x = -21
x = 10