Download Tema 5: Análisis de circuitos por el Método de Tensiones de Nodos

TERMINOLOGÍA
Hasta el momento, todos los circuitos que hemos presentado eran circuitos planares, es decir, circuitos
que pueden dibujarse en un plano sin que ninguna de las ramas se cruce. Los circuitos que se dibujan
con ramas cruzadas siguen considerándose planares si pueden redibujarse sin que ninguna rama se
cruce. Por ejemplo, el circuito mostrado en la Figura 5.1a puede redibujarse como se muestra en la
Figura 5.1b; ambos circuitos son equivalentes, ya que se mantienen todas las conexiones de los nodos.
Por tanto, la Figura 5.1a es un circuito planar, ya que puede ser redibujado de dicha forma. La Figura 5.2
muestra un circuito no planar; este circuito no puede redibujarse de manera que se mantengan todas
las conexiones de nodo y que ninguna de las ramas cruce a otra. El método de las tensiones de nodo es
aplicable tanto a los circuitos planares como a los no planares, mientras que el método de las corrientes
de malla está limitado a los circuitos planares.
Figura 5.1 (a) Un circuito planar. (b) El mismo circuito redibujado para verificar que es planar.
Figura 5.2 Un circuito no planar.
Al inicio de curso se definió el concepto de elemento de circuito ideal básico. Cuando se interconectan
elementos de circuito básicos para formar un circuito, la interconexión resultante queda descrita en
términos de nodos, caminos, ramas, lazos y mallas. Vamos a volver a enunciar aquí dichas definiciones y
definiremos los términos adicionales de camino y malla. Por comodidad, presentamos todas estas
definiciones en la Tabla 5.1 , que incluye también ejemplos de cada definición, tomados del circuito de la
Figura 5.3.
Nota: Anteriormente en el curso se definió rama como un elemento único. Sin embargo, en la literatura
de la materia suelen encontrarse divergencias con respecto a esta definición. A partir de este punto,
consideraremos la definición de rama proporcionada por la Tabla 5.1, la cual coincide en general con la
anterior definición.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo Identificación de nodos, ramas, mallas y lazos.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------NUMERO DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
El número de valores de corriente desconocidos en un circuito es igual al número de ramas, b, en las
que no se sabe el valor de la corriente. Por ejemplo, el circuito mostrado en la Figura 5.3 tiene nueve
ramas en las que desconocemos la corriente. Recuerde que debemos tener b ecuaciones
independientes para resolver un circuito con b corrientes desconocidas. Si designamos como n el
número de nodos de un circuito, podemos obtener n - 1 ecuaciones independientes aplicando la ley de
Kirchhoff de las corrientes a cualquier conjunto de n - 1 nodos. (La aplicación de la ley de las corrientes
al nodo n-ésimo no genera una ecuación independiente, ya que esta ecuación puede deducirse a partir
de las n - 1 ecuaciones anteriores. Puesto que necesitamos b ecuaciones para describir un circuito dado
y puesto que podemos obtener n - l de estas ecuaciones aplicando la ley de Kirchhoff de las corrientes,
deberemos aplicar la ley de Kirchhoff de las tensiones a los lazos o mallas para obtener las restantes b-(n
- 1).
Estas observaciones son también válidas en términos de nodos esenciales y ramas esenciales. Así, si
representamos mediante ne , el número de nodos esenciales y mediante be , el número de ramas
esenciales en las que la corriente es desconocida, podemos aplicar la ley de Kirchhoff de las corrientes a
ne - 1 nodos y la ley de Kirchhoff de las tensiones a be - (ne - 1) lazos o mallas. En los circuitos, el número
de nodos esenciales es inferior o igual al número de nodos y el número de ramas esenciales es inferior o
igual al número de ramas. Por tanto, a menudo resulta conveniente utilizar nodos esenciales y ramas
esenciales cuando se analiza un circuito, ya que entonces hay que resolver un sistema con un menor
número de ecuaciones independientes.
Un circuito puede estar compuesto por partes desconectadas. Los enunciados relativos al número de
ecuaciones que pueden derivarse de la ley de Kirchboff de las corrientes, n - 1, y de la ley de las
tensiones, b - (n - 1), se aplican a los circuitos conectados. Si un circuito tiene n nodos y b ramas y está
compuesto de s partes, la ley de las corrientes puede aplicarse n - s veces, y la ley de las tensiones b - n +
s veces. Dos partes separadas cualesquiera pueden conectarse mediante un único conductor. Esta
conexión hace siempre que se forme un único nodo a partir de otros dos. Además, no existe corriente
en ese único conductor, de modo que cualquier circuito formado por s partes desconectadas siempre
puede reducirse a un circuito conectado.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 5.1
Para el circuito mostrado en la Figura 5.4, indique el número de (a) ramas, (b) ramas en las que no se
conoce la corriente, (c) ramas esenciales, (d) ramas esenciales en las que no se conoce la corriente, (e)
nodos, (f) nodos esenciales y (g) mallas.
Figura 5.4
Solución:
a) 11 ramas, 8 ramas con resistencia, 2 con fuentes independientes y 1 con fuente dependiente.
b) La corriente se desconoce en todas las ramas, excepto en la de la fuente de corriente de 8 A, por lo
que la corriente se desconoce en 10 ramas.
c) 9 ramas esenciales: R4 - R5 forman una rama esencial, R8 - 10 V también. Las restantes siete ramas
son ramas esenciales que contienen un solo elemento.
d) La corriente se conoce únicamente en la rama esencial que contiene la fuente de corriente y se
desconoce en las 8 ramas esenciales restantes.
e) Hay 6 nodos, tres identificados por las cajas rectangulares, dos identificados por puntos negros
simples, y uno identificado mediante un triángulo.
f) Hay 4 nodos esenciales, tres identificados con las cajas rectangulares y uno identificado con un
triángulo.
g) Una maya es como un marco de ventana, se puede ver que en la figura hay 6 mallas.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 5.2
Basados en el circuito de la Figura 5.5, responda lo siguiente:
a)
b)
c)
d)
¿Cuántas partes separadas tiene el circuito?
¿Cuántos nodos?
¿Cuántas ramas hay?
Suponga que el nodo inferior de cada parte del circuito se une mediante un conductor. Repita los
cálculos de los apartados (a) - (c).
Figura 5.5
Solución:
a)
b)
c)
d)
Como se puede ver, el circuito tiene 2 partes separadas.
Hay 5 nodos: los cuatro puntos negros y el dodo entre la fuente de voltaje y la resistencia R1.
Hay 7 ramas, cada una conteniendo uno de los 7 componentes del circuito.
Cuando los nodos inferiores de las partes separadas se interconectan, se obtiene un circuito de una
sola parte. Ahora se tienen 4 nodos, porque los dos nodos inferiores se unen en un solo nodo. El
número de ramas se mantiene en 7, donde cada rama contiene uno de los siete componentes
individuales del circuito.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo Ilustración de la técnica sistemática
1
Se hablará más sobre esta decisión posteriormente
Si se intenta obtener otra ecuación, por ejemplo sumando la corriente en el n-ésimo nodo (g, en este
ejemplo), resulta
Se puede demostrar que la ecuación (5.4) no es independiente, porque podemos deducirla sumando las
ecuaciones (5.1) y posteriormente multiplicando la suma por -1.
METODO DE LAS TENSIONES DE NODO
Se presenta el método de las tensiones de nodo utilizando los nodos esenciales del circuito. Los pasos a
seguir, son los siguientes:
1. Se hace un dibujo claro del circuito, de manera que ninguna rama se cruce con otra, y se marcan los
nodos esenciales del circuito (ver Figura 5.7). Este circuito tiene tres nodos esenciales (ne = 3); por tanto,
necesitamos dos (ne - 1) ecuaciones de tensión para describir el circuito.
Figura 5.7 Circuito utilizado para ilustrar el método de las
tensiones de nodo para el análisis de circuitos.
2. Se selecciona uno de los nodos esenciales como nodo de referencia. Aunque, en teoría, la elección es
arbitraria, en la práctica la elección del nodo de referencia suele resultar obvia. Por ejemplo, una buena
elección es el nodo que tenga mayor número de ramas. La elección óptima del nodo se volverá evidente
con la experiencia. En este ejemplo, se tomará el nodo inferior como nodo de referencia. Se etiqueta el
nodo de referencia como se indica a continuación:
Figura 5.8 El circuito de la Figura 5.7 con un nodo de referencia y las tensiones de nodo.
3. Se definen las tensiones de nodo en el diagrama del circuito. Una tensión de nodo se define como el
incremento de tensión entre el nodo de referencia y otro de los nodos En el caso del ejemplo, estas
tensiones de nodo se definen como v1 y v2 en la Figura 5.8.
4. Se generan las ecuaciones de tensión de nodo. Para ello, se escribe en primer lugar la corriente que
sale de cada rama conectada a un nodo que no sea el de referencia, en función de las tensiones de
nodo, y luego se suman estas corrientes para igualarlas a cero, de acuerdo a la LCK. Para el circuito de la
Figura 5.8, la corriente que sale del nodo 1 a través de la resistencia de 1 Ω es la caída de tensión en la
resistencia dividida por el valor de ésta (ley de Ohm). La caída de tensión en la resistencia, en la
dirección de la corriente que sale del nodo, es v1 - 10. Por tanto, la corriente en la resistencia de 1 Ω es
(v1 - 10)/1. La Figura 5.9 ilustra estas conclusiones. En ella se muestra la rama compuesta por la fuente
de tensión de 10 V y la resistencia de 1 Ω, con las tensiones y la corriente apropiadas.
Figura 5.9 Cálculo de la corriente i de la rama.
Este mismo razonamiento nos permite obtener la corriente en cada una de las ramas en que sea
desconocida. Así, la corriente que sale del nodo 1 a través de la resistencia de 5 Ω es v1 / 5, y la
corriente que sale del nodo 1 a través de la resistencia de 2 Ω es (v1 - v2) / 2. La suma de las tres
corrientes que salen del nodo 1 debe ser igual a cero, por lo que la ecuación de tensión de nodo para el
nodo 1 es
Siguiendo el mismo proceso se puede determinar que la ecuación de tensión de nodo para el nodo 2 es
Observe que el primer término de la Ecuación 5.6 es la corriente que sale del nodo 2 a través de la
resistencia de 2 Ω, el segundo término es la corriente que sale del nodo 2 a través de la resistencia de 10
Ω y el tercer término es la corriente que sale del nodo 2 a través de la fuente de corriente.
Las ecuaciones (5.5) y (5.6) forman un sistema de dos ecuaciones con dos variables que describen el
circuito de la Figura 5.8 en término de las tensiones v1 y v2. Resolviendo este sistema de ecuaciones,
obtenemos:
Una vez conocidas las tensiones de nodo, pueden calcularse todas las corrientes de rama. Después de
calculadas, se pueden determinar las tensiones de rama y las potencias.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo Utilización del método de las tensiones de nodo
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Problema 5.1 Utilización del método de las tensiones de nodo
Solución:
a) Redibuje el circuito, etiquetando el nodo de referencia y las dos tensiones o voltajes del nodo:
Las ecuaciones de tensiones de los dos nodos son:
Colocando estas ecuaciones en forma estándar, tenemos:
Resolviendo las ecuaciones se obtiene:
v1 = 60 V y v2 = 10 V; Por lo tanto, i1 = (v1 - v2) / 5 = 10 A.
b) p15A = -(15 A)v1 = -(15 A)(60 V) = -900 W = 900 W suministrados
c) p5A = (5 A)v2 = (5 A)(10 V) = 50 W = 50 W consumidos (absorbe potencia)
El Método de las tensiones de nodo con fuentes dependientes
Si el circuito tiene fuentes dependientes, las ecuaciones de tensión de nodo deben complementarse con
las ecuaciones de restricción impuestas por la presencia de las fuentes dependientes.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo Utilización del método de las tensiones de nodo con fuentes dependientes
Método de las tensiones de nodo: algunos casos especiales
Cuando el único elemento entre dos nodos esenciales es una fuente de tensión, el método de las
tensiones de nodo se simplifica. Como ejemplo, examine el circuito de la Figura 5.14. Hay tres nodos
esenciales en este circuito, lo que quiere decir que nos hace falta un sistema de dos ecuaciones. De
entre estos tres nodos esenciales, hemos elegido un nodo de referencia y hemos etiquetado los otros
dos nodos. Pero la fuente de 100 V restringe la tensión existente entre el nodo 1 y el nodo de referencia,
de modo que su valor es de 100 V. Esto significa que sólo hay una tensión de nodo desconocida (v2). Por
tanto, la resolución de este circuito requiere una única ecuación de tensión de nodo, que será la del
nodo 2:
Pero v1 = 100 V, por lo que en la Ecuación (5.7) podemos despejar v2:
Conociendo v2, podremos calcular la corriente en todas las ramas. Puede verificar que la corriente que
entra en el nodo 1 a través de la rama que contiene la fuente de tensión independiente es igual a 1.5 A.
Figura 5.14 Circuito con una tensión de nodo conocida.
En general, cuando se utiliza el método de las tensiones de nodo para resolver circuitos que tengan
fuentes de tensión directamente conectadas entre nodos esenciales, el número de tensiones de nodo
desconocidas se reduce. La razón es que, siempre que una fuente de tensión conecta dos nodos
esenciales, impone una restricción a la diferencia de tensión entre dichos nodos, que deberá ser igual a
la tensión de la fuente. El análisis de circuitos puede, por tanto, simplificarse si nos tomamos el tiempo
necesario para ver si se puede reducir de esta manera el número de incógnitas.
Suponga que tenemos que analizar el circuito mostrado en la Figura 5.15 utilizando el método de las
tensiones de nodo. El circuito contiene cuatro nodos esenciales, por lo que cabría esperar tener que
escribir tres ecuaciones de tensión de nodo. Sin embargo, dos de los nodos esenciales están conectados
por una fuente de tensión independiente y los otros dos nodos esenciales están conectados mediante
una fuente de tensión dependiente controlada por corriente. Por tanto, sólo existe en realidad una
única tensión de nodo desconocida.
Figura 5.15 Circuito con una fuente de tensión dependiente conectada entre nodos.
La elección del nodo que debe utilizarse como nodo de referencia abre distintas posibilidades. Ambos
nodos a cada lado de la fuente de tensión dependiente parecen atractivos, porque, si los elegimos como
nodo de referencia, una de las tensiones de nodo sería +10iφ (si elegimos como referencia el nodo de la
izquierda) o -10iφ (si la referencia es el nodo de la derecha). El nodo inferior parece todavía mejor,
porque con él sabemos inmediatamente una de las tensiones de nodo (50 V) Y hay cinco ramas que
terminan en él. Por tanto, elegiremos el nodo inferior como referencia.
La Figura 5.16 muestra el circuito nuevamente dibujado, en el que se ha indicado el nodo de referencia y
se han definido las tensiones de nodo. Asimismo, introducimos la corriente i porque no podemos
expresar la corriente de la rama que contiene la fuente de tensión dependiente en función de las
tensiones de nodo v2 y v3. De este modo, en el nodo 2,
y en el nodo 3,
Eliminamos i simplemente sumando las Ecuaciones (5.9) y (5.10), para obtener
Figura 5.16 El circuito mostrado en la Figura 5.15, en el que se han definido
las tensiones de nodo seleccionadas.
Concepto de Supernodo
La Ecuación 5.11 puede escribirse directamente, sin necesidad de recurrir al paso intermedio
representado por las Ecuaciones 5.9 y 5.10. Para hacer esto, consideramos que los nodos 2 y 3 son un
único nodo y simplemente sumamos las corrientes que salen del nodo en términos de las corrientes del
nodo v2 y v3. La Figura 5.17 ilustra este enfoque.
Figura 5.17 Consideración de los nodos 2 y 3 como un supernodo.
Cuando hay una fuente de tensión entre dos nodos esenciales, podemos combinar dichos nodos para
formar un supernodo. Obviamente, la ley de Kirchhoff de las corrientes deberá cumplirse para el
supernodo. En la Figura 5.17, comenzando con la rama de 5 Ω y moviéndonos en sentido contrario al de
las agujas del reloj alrededor del supernodo, generamos la ecuación
que es idéntica a la Ecuación (5.11). La creación de un supernodo en los nodos 2 y 3 ha hecho que la
tarea de analizar este circuito sea mucho más fácil. Por tanto, vale la pena buscar este tipo de atajo
antes de escribir ninguna ecuación. Después de haber deducido la Ecuación (5.12), el siguiente paso
consiste en reducir la expresión a una única tensión de nodo desconocido. En primer lugar, eliminamos
v1 de la ecuación, ya que sabemos que v1 = 50 V. A continuación, expresamos v3 en función de v2.
.
(5.13)
Ahora expresamos la corriente que controla la fuente de tensión dependiente como función de las
tensiones de nodo:
Utilizando las Ecuaciones (5.13) y (5.14) y v1 = 50 V, la Ecuación (5.12) se reduce a
despejando
De las Ecuaciones (5.13) y (5.14):
EJEMPLOS
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