Download El papel de las interacciones en el aula en la evolución del álgebra

LOS PROCESOS DE CONSTRUCCIÓN DE CONOCIMIENTO EN EL DOMINIO
DEL ÁLGEBRA Y EL PAPEL DE LAS INTERACCIONES EN DICHA
CONSTRUCCIÓN.
Flavia Buffarini
–
Carmen Sessa
Universidad Nacional de Río Cuarto - Universidad de Buenos aires – Argentina
[email protected]
Nivel: Secundario y Universitario
Palabras clave: Investigación - Didáctica de la Matemática – Álgebra - Interacciones
Resumen:
Este trabajo se inscribe en una investigación de tesis de maestría en Didáctica de la
Matemática. El objetivo de la misma fue precisar, bajo un diseño de trabajo particular, el
papel que juega las interacciones en la re-apertura, re-flote o inauguración - dependiendo del
sistema inicial de conocimientos de cada alumno - del álgebra como herramienta de
modelización y validación. Para ello se planificó y se ejecutó una intervención en el aula
organizada a partir de un problema y de un cierto dispositivo didáctico que propicia las
interacciones entre los alumnos, sostenidas por la intencionalidad docente, como condición
para hacer evolucionar las relaciones iniciales que los estudiantes hacen jugar para abordar el
problema.
En primer lugar se presenta el dispositivo didáctico, se delinea el análisis a priori del mismo y
se muestra parte del estudio de un proceso de producción particular en una clase de alumnos
del primer año universitario a partir de la implementación de dicho dispositivo. Por último se
enuncian reflexiones que intentan atrapar parte de la complejidad inherente a los procesos de
construcción de conocimiento en el dominio del álgebra y el papel de las interacciones en
dicha construcción.
Introducción
En este trabajo se hace público la intimidad de un proceso de aprendizaje, una trama de
construcción particular. Se analizan los “vericuetos” por los que cada estudiante circula al
encontrarse con dudas e incertidumbres respecto de la tarea que enfrenta cuando deben
recurrir a la herramienta algebraica para interpretar y validar por qué un cierto cálculo
aritmético que se desencadena a partir de un número variable, conduce siempre al mismo
resultado, cualquiera sea el valor de la variable.
Este proceso de producción de conocimientos lo describimos, lo explicamos y lo
caracterizamos a partir del análisis de las distintas etapas en que fue organizada la clase según
se estableció en el diseño del dispositivo didáctico construido para esta investigación. En este
trabajo bosquejamos el análisis a priori de dicho dispositivo y estudiamos la implementación
del mismo.
A partir del trabajo en interacción con la producción del otro, fueron objetos de análisis los
pedidos de explicación que los alumnos demandan a sus compañeros sobre las producciones
individuales, las explicaciones y justificaciones que dan, las discusiones que se generan, la
coordinación de procedimientos propios con los del otro, las co-elaboraciones en el proceso
de búsqueda de un acuerdo, las intervenciones del docente, los momentos en se puede
identificar que hubo evolución de estrategias, entre otros.
Marco teórico
La problemática estudiada se ubica en la perspectiva de la Teoría de Situaciones de Guy
Bousseau en el sentido que la misma propone un modelo desde el cual pensar la clase de
1
matemáticas. En este modelo la enseñanza es mirada como un proceso centrado en la
producción, transformación y validación de los conocimientos matemáticos.
El trabajo experimental realizado en esta investigación se piensa y se estudia desde la
metodología de investigación que propone la Ingeniería Didáctica, el análisis de aspectos de
la misma nos permitieron tomar una posición desde donde estudiar nuestra clase de
matemática.
Estos elementos teóricos nos aportaron un marco general, al cual incorporamos un estudio
sobre las teorizaciones de Balacheff acerca de la validación y los procesos de prueba que nos
dieron un encuadre tanto para el diseño de nuestra experimentación - dónde se ponen en juego
procesos de validación- como para interpretar, en nuestra etapa experimental, las
producciones de los alumnos en la búsqueda de una prueba. Además nos detuvimos en
aquellos elementos específicos del contenido matemático a ponerse en juego y estudiamos
didácticamente la problemática del álgebra1, y de la producción de significados en esta área2.
Los mismos nos permitieron avanzar en el análisis a priori del dispositivo didáctico y,
describir y estudiar los procesos efectivamente producidos a partir de la implementación de
mismo.
El Dispositivo Didáctico
Bajo la hipótesis que los diferentes significados atribuidos a un “texto algebraico” van a
determinar el tipo de justificación que se puede dar de una declaración que se hace sobre el
objeto y que las justificaciones son parte indisoluble de los conocimientos que un sujeto va
teniendo sobre los objetos (Lins, 2001), es que se considera que obligar a los alumnos a dar
justificaciones de su trabajo, enriquecerá su conocimiento sobre los objetos y los
procedimientos, vía estas justificaciones. Para tal fin se elabora un dispositivo didáctico que
prevé diferentes etapas de trabajo, la primera individual, las siguientes de trabajo en grupos y
para finalizar una instancia de trabajo colectivo y que considera un docente presente y activo
sosteniendo las distintas instancias de interacciones entre pares. Se supone que a partir de un
primer momento individual de trabajo de cada alumno, donde se anticipa que la herramienta
algebraica no va a surgir pulida en ninguna de las resoluciones, se apuesta que en un trabajo
de interacción con las producciones de los otros, bajo la consigna de acordar, haya una
evolución hacia una forma de resolución más algebrizada. Por lo que se considera, la
formación de grupos a partir de resoluciones individuales que movilicen diferentes tipos de
estrategias y formas de justificación con el fin de instalar en los mismos una microcultura de
clase basada en la discusión, la argumentación y la negociación entre pares. En la instancia
colectiva se pondrán a disposición de toda la clase las producciones acordadas por los grupos
y, se renegociarán los significados construidos.
Diseño del Dispositivo Didáctico
Para el diseño del dispositivo didáctico se considera el problema “El Prestidigitador” que fue
extraído de la tesis doctoral de Brigitte Grugeon (1995) y se
Primera Etapa. Se entrega a cada alumno la siguiente consigna:
Resolver el siguiente problema de manera individual dejando por escrito los
procedimientos de resolución y la justificación de la respuesta.
1
Grugeon Brigitte (1995), Chevalard (1984, 1985, 1989), Lee y Wheeler (1987) , Vergnaud (1987), Kieran (1989),
Drouhard,(1995), Gascón (1994), entre otros
2
Lins Rómulo (2001)
2
El problema del ILUSIONISTA
Un ilusionista está seguro de sí mismo cuando realiza la siguiente rutina. Le dice a un
participante:
“Piensa un número, súmale 8, multiplica el resultado por 3, réstale 4, súmale el número
original, divide por 4, súmale 2, réstale el número original: el resultado es 7”.
¿La afirmación es verdadera? Justificar la respuesta.
Segunda Etapa. Se arman grupos de cuatro alumnos y se les entrega la siguiente consigna
A partir de lo trabajado individualmente, acordar una respuesta al problema.
Escribir dicha respuesta y la justificación de la misma para que otro grupo pueda
entenderla.
Hacer dos copias de dicha respuesta. Divididos en subgrupos de dos alumnos compartirán
sus resoluciones con otros grupos.
Tercera Etapa. Se arman nuevos grupos de seis alumnos y se les entrega la siguiente
consigna
Analizar las resoluciones que trae cada miembro del grupo. A partir de dicho análisis,
optar por un procedimiento de resolución entre los propuestos o eventualmente optar por
un procedimiento nuevo.
Dejar por escrito la resolución acordada y la justificación de la conveniencia de dicha
resolución.
Cuarta Etapa. Instancia de trabajo colectivo (No se entregan consignas a los alumnos)
Se analiza con el docente, a partir de las nuevas resoluciones realizadas por los grupos, el
poder de la herramienta algebraica como herramienta de modelización y de validación en
situaciones matemáticas.
Análisis a priori del dispositivo didáctico
Primera Etapa: Se solicita resolver el problema en forma individual para que los alumnos se
hagan cargo del problema y desplieguen sus propias estrategias de resolución, las mismas
pueden movilizar los objetos y herramientas de los ámbitos aritmético u algebraico. Esta etapa
constituye un momento de trabajo autónomo con el problema en la que el alumno produce
relaciones que le servirán de marco para las etapas posteriores.
Dos razones de distinta índole justifican el hecho de solicitar en la consigna que se deje por
escrito los procedimientos de resolución y la justificación de la respuesta:
1ª - Para que el profesor pueda observar, al mismo momento que están resolviendo, el tipo de
estrategias utilizadas por cada alumno e identificar el proceso de resolución privilegiado, de
3
naturaleza aritmética o algebraica, lo que le permitirá tomar decisiones para la formación de
los grupos de la etapa siguiente.
2ª - Al solicitar al alumno que deje por escrito el procedimiento y la justificación se le exige
reorganizar su resolución y a precisar su lenguaje, que implica un nivel de reflexión sobre la
acción que lo obliga a tomar una posición con respecto al conocimiento puesto en juego en su
resolución del problema. Dicha posición será movilizada por la consigna de acordar una
resolución entre los miembros del grupo en la etapa siguiente.
¿Cuáles podrían ser las estrategias utilizadas por los alumnos que el profesor deberá tener en
cuenta en la formación de los grupos en la etapa siguiente?
Se identifican a priori dos estrategias típicas de resolución, la aritmética y la algebraica y, en
relación con esta última, se distinguen aquellas que recurren a ecuaciones de las que lo hacen
vía una expresión algebraica y se diferencias distintas formas de validación. A continuación
mostraremos en un cuadro cuáles son las características que deberá tener en cuenta el profesor
para la conformación de los grupos que trabajarán en la segunda etapa.
Modelización /
Estrategias
Procedimientos
Conclusión
sobre
la
afirmación
Validación
Pragmática
Papel
de
los
ejemplos
numéricos utilizados para hacer
la cuenta:
Aritméticas
Sucesión
de
encadenadas
operaciones
 Para
algunos
particulares
casos
 Con un caso particular “no
especial”.
Grafía lineal global.
Afirmación
Verdadera/
Falsa
 Con un objeto concreto
considerado representante de
todos los pertenecientes al
dominio de dicha afirmación.
Repliegue
numérico:
Ecuación.
Algebraicas Expresión
algebraica
a
lo
• “modelo
para
hacer la cuenta”
Pragmática
• “Tratamiento
algebraico
con
inclinación a lo
numérico”
Tratamiento
algebraico
Afirmación
Verdadera/
Falsa
Racionalidad algebraica
4
Segunda Etapa: El profesor agrupa de a cuatro a los alumnos según los criterios de selección
ya mencionados (resoluciones individuales que movilicen distintos tipos de estrategias y
diferentes justificaciones). Se anticipa que mientras más diversas sean las resoluciones más
necesario será fundamentar para elaborar una resolución común.
Bajo la consigna de acordar se prevé que cada alumno, en tanto productor de un
procedimiento, se enfrente con la necesidad de explicar su resolución y con la obligación de
justificar para defender su posición e intentar convencer a los demás de la eficacia de su
producto. La necesidad de optar obliga a considerar los distintos tipos de procedimientos
como objeto de trabajo. Los alumnos se verán obligados a elegir o a descartar y recurrirán a
criterios que tengan que ver con la pertinencia del procedimiento o de la justificación o a
algunos otros más personales referidos, por ejemplo a “es más fácil” o “es más difícil”.
Seguramente no serán de este tipo los argumentos convincentes para hacer renunciar a otros
alumnos a sus propias producciones, por lo que se pondrán en juego el tipo de justificaciones
que se pretenden. Estas negociaciones están sujetas también a las condiciones que impone el
funcionamiento social del grupo (alumnos líderes, o desvalorizados) por lo que el grado de
adhesión al procedimiento y justificación finalmente elegido no será el mismo para todos los
alumnos del grupo por lo que se considera oportuno el planteo de la siguiente etapa.
Tercera Etapa: Se hace la hipótesis de que el trabajo de discusión en los distintos grupos en
la etapa dos conferirá un cierto ropaje algebraico a las producciones grupales de esa etapa.
El objetivo de la tercera etapa es la confrontación entre distintas producciones algebrizadas,
estableciendo diferencias y similitudes, obligando a justificar para sostener lo que se trae
como producto final de un grupo al que se pertenece, lo que no garantiza igual grado de
implicación y adhesión en todos sus integrantes. En esta etapa se pretende dar una nueva
oportunidad. Que surja más de una resolución posible, que se establezca que distintos objetos
algebraicos permiten diseñar una prueba a partir de crear un modelo para un problema
específico. Que se reflexione que a partir de un mismo modelo, con un tratamiento algebraico
diferente, pueden resultar “estados finales” aparentemente distintos y que es necesaria la
significación de los “estados finales” en términos de la resolución algebraica para poder
volver al problema y dar respuesta al mismo.
Para la formación de los grupos de esta etapa nuevamente el profesor deberá seleccionar entre
las producciones de los distintos grupos de la segunda etapa. Será necesario que identifique
diferencias entre los modelos planteados y las justificaciones dadas por los grupos.
Se hace la hipótesis que esta nueva instancia de interacción a partir de las producciones
grupales de la etapa anterior, bajo la consigna de acordar un procedimiento de resolución
entre los propuestos o eventualmente optar por un procedimiento nuevo les obligará a
“afinar” las justificaciones que se pretenden.
El análisis a priori del dispositivo didáctico nos permitió elaborar un conjunto de observables
que nos sirvió como marco para interpretar las estrategias desarrolladas por los alumnos y las
evoluciones de las mismas a partir de las interacciones entre pares en términos de los
conocimientos puestos en juego, durante la implementación del dispositivo didáctico.
La intervención en el aula y el análisis a posteriori
5
La experiencia se llevó a cabo en una comisión de práctico, de 24 alumnos, de la materia
Calculo I para la carrera de Microbiología de la UNRC. Se desarrolló durante una clase de dos
horas y media, en el mes de noviembre, faltando pocos días para finalizar el segundo
cuatrimestre del 2003. A los alumnos se les comunicó que esta clase formaba parte de una
investigación y accedieron a la propuesta con un alto grado de compromiso. Se contó con la
colaboración de una profesora que gestionó la puesta en obra de la clase diseñada. La clase
fue grabada en audio, se recogieron todas las producciones escritas y se realizó una crónica de
la clase a partir de la observación directa. Posteriormente se realizaron registros escritos a
partir del registro en audio.
El análisis a posteriori nos permitió estudiar la intimidad de un proceso de producción de
conocimientos en relación con la dimensión herramienta de modelización y validación del
álgebra en el marco de la situación planteada. En particular se estudió cómo las interacciones
entre los alumnos, con la intervención docente, juegan un papel en la evolución de sus
conceptualizaciones y en la adquisición de estos aspectos del álgebra.
En primer lugar se analizó la conformación de los grupos a partir de la producción individual
de cada alumno que conformó cada grupo y se elaboró un cuadro que permitía comparar los
procedimientos y justificaciones desarrolladas por dichos alumnos. En segundo lugar se
analizó la producción grupal de la segunda etapa a partir de la producción escrita de los
alumnos en la primera etapa, del registro escrito y las elaboraciones escritas de los alumnos en
la segunda etapa. Se realizó una separación en “episodios” teniendo en cuenta “unidades de
análisis”, se realizaron comentarios sobre cada episodio y de este análisis se fueron
desprendiendo mini conocimientos que en este trabajo se presentan a partir de enunciados que
intentan atrapar, por un lado, parte de la complejidad inherente a los procesos de construcción
de conocimiento en el dominio del álgebra y los procesos de prueba y, por otro, el papel de las
interacciones en dicha construcción. Cabe aclarar que en este trabajo y a modo de ejemplo,
solo se presenta el análisis de la construcción particular de un grupo de los que conformaron
la segunda etapa y reflexiones realizadas a partir de este análisis. El análisis de la tercera etapa
nos conduzco a enunciar reflexiones didácticas generales que no serán presentadas en este
trabajo.
Análisis de las producciones individuales de los alumnos del Grupo 3
Resoluciones individuales
Sole
Romina
6
Paul
a
Pedro
Cuadro comparativo de estrategias y justificaciones desplegadas por los alumnos
Estrategias
Alumno
Romina
Aritméticas
Paula
Sole
Procedimientos
Modelización del
enunciado utilizando
una grafía lineal global.
Modelización del
enunciado en sucesión
de operaciones
encadenadas.
Modelización del
enunciado a través de
una ecuación.
Prueba para un
número
Modelización del
enunciado a través de
una expresión
algebraica.
Opera
algebraicament
e de manera
correcta.
Algebraicas
Pedro
Prueba para un
número
Opera
algebraicament
e de manera
incorrecta.
Obtiene una
igualdad falsa.
Validación
Pragmática
Interpreta
algebraicamente la
igualdad falsa en
términos del
problema como
“un absurdo
propuesto por el
ilusionista”.
No explica lo
obtenido
algebraicamente
Conclusión
sobre la
afirmación
Afirmación
Verdadera
Afirmación
Falsa
Afirmación
Verdadera
Podemos observar que el profesor, para la conformación de este grupo, seleccionó alumnos
con estrategias y formas de validación diferentes. Se analizará, bajo estas condiciones, los
efectos del trabajo en interacción con la producción del otro con la consigna de acordar una
resolución común.
Segunda etapa: Análisis y reflexiones.
A continuación se enuncian una serie de reflexiones de carácter general que se han podido
identificar a partir del ejemplo que representa el trabajo de este grupo en particular. Se
muestran los episodios que dan cuenta de los mismos y se realizan algunos comentarios sobre
dichos episodios que permitieron arribar a las reflexiones enunciadas.
Respecto al trabajo en interacción con la producción del otro:
En relación al alumno:
Permite desplegar lo individual, a veces oculto hasta para el propio productor de una
“declaración”. Cuando el alumno está, de algún modo, obligado a explicitar, a dar una
fundamentación de su trabajo se enfrenta más profundamente con lo que verdaderamente
hizo o sabe.
7
En relación al investigador (y/o del profesor)
El estudio de las interacciones entre pares permite evidenciar “lo parcial de las
producciones escritas, en relación con el conocimiento de quien lo escribe.
Sole:
Sole:
Pedro:
Yo plantee una ecuación y no me dio 7,
Pero a que se refiere con justificar la respuesta? Paso por paso.
¿A vos te dio?
Al número que pensé le puse x le sume 8, al resultado le multipliqué 3..... al último
me quedó esto, se restaron las x y me quedó 7, porque me quedó x y –x,
simplifiqué las dos x y me dio, que se yo.. no se
Pedro no sabe “leer” bien lo que hizo, pareciera que no tiene mucha confianza en la ecuación
como herramienta algebraica, “simplifiqué las dos x y me dio, que se yo.. No se”, no logra
interpretar qué significa lo que le dio, no ha podido interpretar que para cualquier valor de x la
cuenta da 7.
Sole:
Romina:
Paula:
Pedro:
Romina:
Pedro:
Paula:
Pedro:
¿Vos lo planteaste todo como una ecuación?
No, yo directamente pensé un número y lo hice, no me puse hacer eso
Yo también
¿Y a vos también te dio 7? ¿Vos que número pensaste?
El 2
¿Y vos?
El 18
¿Y da igual?
Sorpresa!! A Pedro su cuenta algebraica no le sirve como anticipación de que siempre va a
dar 7 independientemente del valor de x. A partir de analizar su resolución individual no se
deduce esto, ya que él plantea y opera algebraicamente bien y enuncia que la afirmación es
verdadera, nada hace pensar que no puede interpretar su resolución. A través de la interacción
se hace explícito, que más allá de lo que pueda escribir en su resolución, una cosa es que de 7
a través del tratamiento algebraico y otra cosa es probar con números y que de 7, “y da
igual?”. Se explicita algo que desde el punto de vista de un sistema de conocimientos
construidos sería contradictorio, sorprenderse de algo que ya había probado.
Si analizamos su resolución individual hasta podríamos decir que tiene cierto dominio y
control sobre su trabajo en álgebra elemental. Sin embargo, seguramente sus conocimientos se
fundan en el aprendizaje de traducciones del lenguaje coloquial al simbólico y técnicas de
resolución algebraica.
Pedro es “un alumno difícil”, porque “sabe..... pero no sabe”.
Lo interesante de la interacción será no sólo lo que nos permite ver a nosotros como
investigadores sobre su sistema de conocimientos sino lo que le va a permitir a él.
Romina:
Sole:
Pedro:
Si
No se, me da un error (mira la ecuación que planteo correctamente pero resolvió
mal) así que no se
Pero si lo hicieron con distintos números y dio
Para Pedro la contradicción es la resolución incorrecta de la ecuación versus ejemplos y no
versus su resolución algebraica. Pedro pareciera que desconoce el poder de la herramienta
algebraica utilizada en su propia resolución.
La resolución individual de Pedro y la conclusión arribada a partir de la misma sin un trabajo
en interacción con sus compañeros con la consigna de acordar, nos hubiera hecho creer que
8
Pedro “sabe”, que el álgebra fue puesta en juego en su resolución como herramienta de
modelización y de prueba. Sin embargo se pone en evidencia que lo que sabe es traducir y
operar algebraicamente y necesita realizar un repliegue a lo numérico para validar. Analizar a
Pedro permite ver como lo que está escrito en una resolución no atrapa los conocimientos, las
relaciones que se pusieron realmente en juego en la resolución.
El trabajo en interacción con los otros permite aún más, a Pedro también se le hace evidente
que el desarrollo algebraico de su resolución individual no era realmente interpretado desde su
sistema de conocimientos y este evoluciona en la labor con sus compañeros en busca de
justificaciones.
Este ejemplo muestra un aspecto de la riqueza de este momento de interacción entre pares: es
un medio que permite un despliegue de lo individual que no queda atrapado en la producción
escrita de los alumnos.
Respecto a la construcción del conocimiento en el dominio del álgebra:
Un resultado conocido en didáctica del álgebra:
Confusión entre las soluciones de una ecuación de la forma p(x)= a y el número a,
considerado como resultado de una cuenta.
Piensan y miran las distintas resoluciones
Sole:
Y haciendo paso por paso
Piensan....Y no se ponen de acuerdo, les perturba que el planteo en ecuación le da “un absurdo” y
revisan el planteo y comparan el planteo de Pedro con el de Sole.
Romina:
Tiene que dar 7 y ahí no da
¿Dónde espera Romina que le de 7? ¿Confunde el valor del segundo miembro de la ecuación
con la solución de la misma?
En otro episodio “yo despeje y me dio otro resultado” ó “a mi no me dio el resultado, eso
fue lo que me dio a mi” y se muestra la resolución de su ecuación.
Respecto a la validación de afirmaciones matemáticas
En relación a la validación de la afirmación que se predica para cualquier número:
Si “da” para números “feos”, “grandes” es más seguro que “de” para cualquiera.
Pedro:
Romina:
Pedro:
Comparen con lo que yo hice
Andá viendo con lo que yo te voy diciendo. Al número (señala x) sumale 8,
multiplicalo por 3, después todo eso menos 4...... Rehace en su hoja el planteo de la
expresión y entre todos resuelven, controlan las cuentas.
Le da 7
Si, si lo reemplazo da
Parece que Pedro le pide a Romina y a Sole que les ayude a entender lo que hizo.
Pedro sigue sin entender que si la cuenta le da 7 con x, le va a dar 7 reemplazando x por
cualquier valor (calculador ciego, Drouhard,1995).
Sole:
Pedro:
¿Te da?
Si lo reemplazo por 3 da (hace las cuentas en su hoja, como sucesión de
operaciones separadas, el resultado que va obteniendo lo pone debajo y le
aplica la operación siguiente).
9
Pedro intenta comparar su producción “algebraica” con las de sus compañeros. Revisan su
resolución, le da 7 pero no pueden interpretar lo que se obtiene y nuevamente hay un
repliegue hacia lo numérico.
Romina:
Pedro:
Sole:
Pedro:
Poné números bien grandes
¿Está bien 15?
Pone un número de tres cifras.
¿Tres cifras? 315, también me dá (Hace las cuentas en su hoja usando la
misma
forma
de
registrarlas
como
con
el
número
3)
Sole:
Romina:
Sole:
¿Te da, también?
Si da... , hay algo raro, entonces te equivocaste en las cuentas.
Sería algo lógico, pero no me doy cuenta.
Nadie dio por finalizada la búsqueda. Hay mayor confianza en la validación pragmática al
recurrir a muchos ejemplos, usando distintos números con diferentes cantidades de cifras.
Pareciera que si se elige números “feos”, grandes y “da” entonces es más seguro que dé para
todos. Se impone así la conclusión obtenida a partir de los ejemplos frente a la alcanzada por
Sole a partir de la resolución de la ecuación.
Justificar con números es “más directo”
Al comienzo del trabajo en esta etapa Sole indaga a Romina sobre su resolución, ella
responde que no lo planteó en ecuación sino “directamente pensé un número y lo hice, no me
puse hacer eso”.
Entre “letras” y “números” se opta por números, no se tiene construido qué aporta usar letras
en un proyecto de generalización. Cabe aclarar que el trabajo en interacción va permitir
“moverse” y “avanzar” entre los dos extremos, el alcance del ejemplo y la resignificación del
papel de la modelización algebraica
La aceptación por contrato del trabajo algebraico
Mas adelante algunos alumnos llegan a decir “es más matemático hacerlo con letras, es más
serio, estamos en la facultad”. Pareciera que es una cuestión de estatus. Romina, por ejemplo
10
dice con respecto a su resolución con estrategias aritméticas, “bien de primaria lo hice yo”.
A pesar de que aparece como una imposición un tanto externa, Romina y el resto del grupo
comienzan a intentar estrategias algebraicas. Finalmente terminan comprendiendo la fertilidad
de la herramienta.
Respecto a la construcción del conocimiento en el dominio del álgebra:
Para la mayoría de los alumnos, las expresiones algebraicas están asociadas a
“ejercicios para operar algebraicamente” no como herramienta de modelización.
Pedro:
Pero ustedes entienden lo que yo hice?
Alumnas: Si, si entendimos (se ríen), estuvo re claro
Pedro:
Yo me fijo a que es igual esto y ella (se refiere a Sole) iguala esto igual a
algo...
Romina: Claro, como si el planteo fuera un ejercicio común que querés saber cual es
el resultado, y ella quiere ver que es cierto que es igual a 7,
Paula:
Pero no llega.
Recordemos que Pedro traduce el enunciado simbólicamente a través de una expresión
algebraica y opera correctamente, sin embargo su trabajo no le sirve para dar respuesta al
problema, no puede interpretar lo obtenido algebraicamente en relación al problema. Falla la
tercera fase de la modelización algebraica que tiene que ver con la interpretación del trabajo y
de los resultados obtenidos dentro del sistema modelizado (Chevalard 1989 y Gascón 1994)
Para Romina el planteo de Pedro es como un “ejercicio común que querés saber cual es el
resultado”, lo que probablemente muestre que trabajar con expresiones algebraicas sea
considerado como un ejercicio para operar y que no es considerado como una herramienta de
modelización.
Identidades obtenidas a partir de una misma ecuación no informan lo mismo:
“0=0” no informa nada, “7=7” es interpretado en términos del problema.
Romina:
Paula:
Lo que pasa es que trabajas de un solo lado resolviendo y te queda 7 =7 o
vas pasando al otro lado y te da 0=0
Queda como en un sistema...
…..
Sole:
Romina:
Pedro:
Romina:
Ponele que si yo hubiera dejado esto acá, me quedaría 7=7 y sino así, miren.
Claro
Pero igual se lo podes poner o no si total te va a dar 7
Si yo quiero que me de 7, el problema es el pasaje de términos.
Es equivalente obtener el resultado 7 al operar con la expresión algebraica a que se obtenga
7=7. “...el problema es el pasaje de términos”, si se hace trasposición no se va a obtener 7, es un
“problema”. Pero 7=7 no se interpreta como solución de una ecuación.
Es confuso lo que es: la expresión, la ecuación y las soluciones de la ecuación. Posee un
estatuto muy particular lo que queda a ambos lados del igual cuando se está resolviendo. Si
quedan números, éstos deben informar algo en términos del problema. ¿0=0 qué informa?
11
….
Sole:
Sin igualarlo a 7 nos da. . Si yo dejo el 7¿puede quedar 7=7?
Profesora: ¿Y si llego 7= 7 a qué llego? ¿Qué significaría eso?
Sole:
Que es verdad lo que él dijo
Profesora: ¿Por qué es verdad?
Romina: Porque llega al resultado que él propone.
Pedro:
Porque cualquier número que yo ponga va a dar 7
Cualquiera que ponga se simplifica, entonces no importa el número que elija
el participante
Sole:
El problema estaría en el pasaje de términos, porque lo que yo hice en lo
anterior es empezar a pasar para el otro lado.
La profesora está dando datos de que no es necesario igualar a 7 ya que sólo indaga sobre lo
que ocurre si se iguala la expresión a 7.
Al fin Pedro parece entender que significa que se le simplifiquen las x, “Cualquiera que
ponga se simplifica, entonces no importa el número que elija el participante”.
Resolver la ecuación realizando trasposición de términos no responde al problema del
ilusionista. Sole dice “el problema estaría en el pasaje de términos” es mejor no pasar al
otro lado y llegar a 7=7 y ahí se lee que para todo número da 7.
…..
Sole:
Romina:
Sole:
Pedro:
Ya lo se pero si resuelvo pasando ¿que me va a dar?
¿Qué queda?
0=0, ah queda como si fueran dos rectas paralelas, no dos rectas
encimadas.
Ah significa que cualquiera, el número que ponga me va a dar lo mismo.
Bueno entonces es lo mismo que 7=7 y me parece que se ve mejor la
justificación.
0=0 sólo puede interpretarse a partir de una declaración en el contexto de los sistemas. 0=0 se
lee como rectas que se superponen por lo que vale para todo x. Se interpreta a partir de
“declaraciones” sobre la solución de los sistemas.
Cabe preguntarse ¿por qué 7=7 no los perturba y 0=0 si? Quizás la respuesta tenga que ver
con que 0=0 no les informa nada en relación al problema, sin embargo hay algo que da 7 que
tiene que ver con el problema, y además quizás se tiene la idea de ecuación como
procedimiento de cálculo y este procedimiento va a dar siempre igual a 7. En ningún
momento ni 7=7, ni 0=0, ni la ecuación están vistas como una condición sobre un conjunto.
En los dos casos arriban que la afirmación es válida para cualquier valor que se considere
pero realizando una interpretación diferente de lo que informa cada identidad por lo que
concluyen “entonces es lo mismo que 7=7 y me parece que se ve mejor la justificación.”
Si da 0=0 sólo se lee en términos de sistemas y apelando a la interpretación gráfica de la
solución de los mismos. Una razón se podría dar a partir de la mirada realizada a los libros de
textos de la escuela secundaría. El tratamiento de las ecuaciones y de los sistemas, y la forma
en que se trabaja para hallar la solución influye para que los alumnos interpreten esta tipo de
solución en el marco de los sistemas como una declaración sobre rectas
A modo de cierre: Queremos destacar que este estudio tiene valor en tanto se ha querido
mostrar en un proceso particular, los distintos matices y “vericuetos” de un proceso de
construcción individual y grupal de conocimiento. En nuestro análisis intentamos dar cuenta
12
del estado de conocimiento de los alumnos en relación con las prácticas algebraicas y con los
objetos del álgebra. El espacio de interacción que presentamos y analizamos permitieron ver
como estos estados iniciales se van modificando.
En nuestro estudio pretendimos atrapar, separar, “pequeños enunciados” de interés didáctico
que se desprenden de esta investigación y que fueron puestos en términos de reflexiones.
Estas reflexiones se agruparon tanto en torno a los procesos de construcción de
conocimientos en el dominio del álgebra y a la validación de los mismos como alrededor del
papel de las interacciones como medio de evolución en la construcción de dichos
conocimientos y se enunciaron a partir del ejemplo que representa el trabajo de este grupo en
particular.
Bibliografía
Buffarini Flavia, (2005). La dimensión del álgebra como herramienta de modelización y
validación: Las interacciones en el aula como medio para su evolucion. Tesis de Maestría en
Didáctica de la Matemática dirigida por la Dra Carmen Sessa. UNRC. Argentina
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