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NÚMEROS COMPLEJOS
1.
2.
3.
4.
5.
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7.
NÚMEROS CONCRETOS
UNIDAD IMAGINARIA i   1
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
FORMAS DE EXPRESAR UN NÚMERO COMPLEJO
NÚMEROS CONJUGADOS Y OPUESTOS DE OTRO COMPLEJO
POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
1. NÚMEROS CONCRETOS
Un número complejo Z es un par ordenado de números reales (a,b) a, b  ℝ
a=1ª componente o componente real
b=2ª componente o componente imaginaria
Z1= (a,0) es un número real
Z2= (0,b) es un número imaginario
Z3=(a,b) es un número complejo
2. UNIDAD IMAGINARIA
La unidad imaginaria es  1  i
3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
Un número complejo Z=(a,b) se representa por un vector OP siendo P=(a,b)
El eje horizontal es el eje real. El eje vertical es el eje imaginario.
b·i
P(a,b)
Z
O
4.
-
Z  (a, b)  a  b·i  OP
Z
a
FORMAS DE EXPRESAR UN NÚMERO COMPLEJO
Forma vectorial o par ordenado Z=(a,b)
Forma binómica Z  a  b·i
Forma polar Z  r
El módulo de un número complejo Z es r y es la raíz cuadrada de la suma de los
cuadrados de la componente real y la componente imaginaria.
r  a 2  b2
El argumento del número complejo Z es  y es el ángulo que forma el número complejo Z con el eje real (en sentido positivo).
Z  r
Forma trigonométrica o módulo argumental Z  r(cos  i·sen  )
b
α  arc tg
r  a 2  b2 /
a
-
5. NÚMEROS CONJUGADOS Y OPUESTOS DE OTRO COMPLEJO
Dado un complejo Z  a  b·i , su conjugado ( Z ) tiene la misma parte real y opuesta la
parte imaginaria.
Z  a - b·i
El complejo opuesto de Z  a  b·i es -Z y tiene opuestas las componentes real e imaginaria de Z.
- Z  -a - b·i
6. POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
i0  1
i1  i  - 1
i 2  1
i 3  i
i4  1
Cuando el exponente es superior a 4 se divide entre 4, igualando el enunciado a i elevado al resto de la división.
 
c
i n  i 4c r  i 4c ·ir  i 4 ·ir  i r
n 4
r
c
7. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
a) En forma binómica
1. Suma
Z1  Z2  (a  b·i)  (c  d·i)  (a  c)  (b  d)·i
2. Resta
Z1  Z2  (a  b·i)  (c  d·i)  (a  c)  (b  d)·i
3. Producto
Z1·Z2  (a  b·i)·(c  d·i)  (ac  bd)  (bc  ad)·i
4. Producto de un número real por un número complejo
k ℝ
k·Z1  k·(a  b·i)  K·a  K·b·i
5. Cociente
Z1 a  b·i (a  b·i)·(c  d·i) (ac  bd)  (ad  bc)·i (ac  bd)  (ad  bc)·i




Z2 c  d·i (c  d·i)·(c  d·i)
c2  d 2
c2  d 2
6. Inverso de un número complejo
1
1
1·(a  b·i)
a
b

 2
 2
 2
·i
2
2
Z a  b·i
a b
a b
a  b2
7. Potencia de un complejo
Z12  (a  b·i) 2  a 2  (b·i) 2  2a·b·i  a 2  b2  2·a·b·i  (a 2  b2 )  2a·b·i
b) En forma polar
1. Producto de complejos
Z1·Z2  (r1 )α1 ·(r2 )α 2  r1·r2α  α
1
2
2. Cociente de complejos
Z1 (r1 )α1  r1 

 
Z2 (r2 )α2  r2 α  α
1
2
3. Potencia de un complejo
Z1n  (rα ) n  r n
4. Radicación de un complejo
La raíz enésima de un complejo Z  rα tiene por módulo la raíz enésima de su
α  360k
módulo. Su argumento es
.
n
El número de raíces es n para k=0; k=1;…k=n-1.
n
Z  n rα  n rα 360k
n