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UNIDAD 3: Números complejos
1. INTRODUCCIÓN. DEFINICIONES
Cuando se intentan resolver ecuaciones de segundo grado como por ejemplo x2  4 x  13  0 , se observa que no
tiene soluciones reales x 
4  16  52
4  36
, pues no existen raíces cuadradas de números negativos
x
2
2
en el campo real. Ahora bien, podemos operar con estas expresiones como si se tratara de números reales, así:
4  36·(1)
4  36
4  36· 1
4  6· 1
x
x
x
 x  2  3· 1 Y se seguía operando
2
2
2
2
con 1 como si fuera un número real aunque no lo sea. Leibniz, en el siglo XVII, decía que 1 era una especie
de anfibio entre el ser y la nada. Y Euler en el siglo XVIII, el que a 1 le dio el nombre de i , por imaginario, no
real. Así diremos que las soluciones de la ecuación de segundo grado anterior son x  2  3·i
x
1 y lo representamos por i . Es decir, i  1
Definición: Llamamos unidad imaginaria al número no real
Se tiene que:
i  1
i 2  1
i3  i 2·i   1  i
i 4  i 2·i 2  (1)·(1)  1
i5  i 4·i  i
i6  i 4·i 2  1
i7  i 4·i3  i
i8  i 4·i 4  1
Y así sucesivamente, con lo cual podemos calcular cualquier potencia de i , dividiendo el exponente por 4 y teniendo
en cuenta sólo el resto de la división.
Ejemplo: Calcula i 235 .
Dividimos 235 entre 4 y nos sale de cociente 58 y de resto 3, es decir, 235 = 4·58 + 3, luego:
i 235  i 4·583  i 4·58·i3   i 4  ·i3  158·(i)  i
58
Definición: Se define el conjunto de los números complejos y se representa por
a todas las expresiones de la
forma a  b·i donde a y b son números reales e i  1 . Matemáticamente se expresa de la siguiente forma:

 a  b·i tales que a, b 

e i  1
La expresión a  b·i se llama forma binómica de un número complejo.
A a se le llama parte real del nº complejo.
A b se le llama parte imaginaria del nº complejo.
A un número complejo se le suele representar por la letra z . Así diremos z  a  b·i
Ejemplo: z  3  5·i es un número complejo cuya parte real es 3 y la parte imaginaria es -5
Definición: Dos números son iguales si y sólo si tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria, es decir,
a  c
a  b·i  c  d·i  
b  d

Propiedad: Los números reales son complejos, es decir,
cuya parte imaginaria vale 0. Por ejemplo, 
. Pues los números reales son aquellos complejos
3
3
   0i
5
5
Definición: Los números complejos cuya parte imaginaria no es nula se llaman números imaginarios. Por tanto, todos
los números complejos son reales o imaginarios.
Definición: Los números imaginarios cuya parte real es 0 se llaman imaginarios puros.
1
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1 2
es real
7
Definición: Dado el complejo z  a  b·i , se llama opuesto de z y se representa por  z al complejo  z  a  b·i
Ejemplo: El nº 3  5·i es imaginario; el nº  ·i es imaginario puro; el nº
Definición: Dado el complejo z  a  b·i , se llama conjugado de z y se representa por z al complejo z  a  b·i
1 5i
1 5
, tenemos que podemos ponerlo como z    i donde vemos mejor la
8
8 8
1 5
1 5
parte real y la parte imaginaria. Así, su opuesto es  z     i y su conjugado es z    i
8 8
8 8
Ejemplo: Dado el complejo z 
Propiedad: Cualquier ecuación de segundo grado con coeficientes reales que no tenga soluciones reales, tiene dos
soluciones imaginarias que son números complejos conjugados
2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Como sabemos a cada número real le corresponde un punto de la recta y a cada punto de la recta le corresponde un
número real. Por eso hablamos de recta real. Para representar los números complejos hemos de pasar a un plano, el
llamado plano complejo.
Para ello representamos un nº complejo z  a  b·i mediante el punto  a, b  . A este punto se le llama afijo de
z  a  b·i
Ejemplo: Resolver la ecuación x2  2 x  6  0 y representar las soluciones en el plano complejo
Aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado tenemos que:
x
(2)  (2)2  4(1)(6) 2  4  24 2  20



2
2
2
x
2  20 2  20  (1) 2  20 i 2  2 5 i



 x  1 5 i
2
2
2
2
Así, las raíces complejas de la ecuación son: z1 1  5 i y z2  1  5 i .
Y su representación gráfica mediante los afijos es:
2
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Como vemos en el dibujo, también se suele usar un vector para representar a los números complejos en el plano.
Es obvio, que los afijos de los números reales se sitúan en el eje real y los afijos de los números imaginarios puros
sobre el eje imaginario.
3. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA
Sean los números complejos z1  a  b  i y z2  c  d  i , entonces definimos las operaciones:
-
Suma y resta de números complejos
z1  z2  (a  b  i)  (c  d  i)  (a  c)  (b  d )  i
z1  z2  (a  b  i)  (c  d  i)  (a  c)  (b  d )  i
-
Producto de números complejos
z1  z2  (a  b  i)  (c  d  i)  a·c  a·d·i  b·c·i  b·d·i 2   como i 2  1 z1  z2  a·c  a·d·i  b·c·i  b·d 
z1  z2  a·c  b·d   a·d  b·c ·i
Consecuencia: El producto de un nº complejo por su conjugado siempre es un número real. Veamos porqué
z  z  (a  b  i)  (a  b  i)  a 2  a·b·i  b·a·i  b 2·i 2   como i 2  1 z  z  a  b
2
2
- División de números complejos
Para dividir complejos en forma binómica se multiplica y divide por el conjugado del denominador
z1 a·c  b·d   b·c  a·d ·i
z1 a  b  i a  b  i c  d  i a·c  a·d·i  b·c·i  b·d ·i 2






z´2
c2  d 2
z´2 c  d  i c  d  i c  d  i
c2  d 2  i 2
O bien
z1 a·c  b·d  b·c  a·d ·i
 2

z´2
c  d2
c2  d 2
NOTA: Estas fórmulas no son necesarias aprenderlas, simplemente conocer cuál es el
proceso
3
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Ejemplo: Sean los complejos z1  2  3 i , z2 
3 6i
3
y z3   i , se pide:
2
Antes de nada vamos a preparar los complejos para que estén en forma binómica:
3 6i
3 6  i
3
 z2  
 z2   3  i ;
2
2
2
2
a) z1  5·z2  3·z3
z2 
z3   i3  z3   (i)  z3  i
15
3

z1  5·z2  3·z3  2  3·i  5·  3·i   3·i  z1  5·z2  3·z3  2  3·i   15·i  3i 
2
2

11
z1  5·z2  3·z3    15·i
2
b) z1·z2  z1·z3
9
3

z1·z2  z1·z3   2  3·i ·  3·i    2  3·i ·i  3  6·i  ·i  9·i 2   2·i  3·i 2  
2
2

9
9
z1·z2  z1·z3  3  6·i  ·i  9   2·i  3  3  9  3  6·i  ·i  2·i 
2
2
25
 12  9  4 
z1·z2  z1·z3  9  
·i  z1·z2  z1·z3  9  ·i
2
2


z
z
c) 1  1 Para operar multiplicamos por los conjugados de los denominadores y desarrollamos
z2 z3
3
9
3
(  3·i )
3  6·i   i  9·i 2
12   i
2
z1 z1 (2  3·i) 2
(2  3·i) (i)
2·i  6·i
2
2  2·i  6 
 






2
9
z2 z3 ( 3  3·i) ( 3  3·i)
i
(i )
1
3
 
2
9
  3
2
2
4
2
 
3 

3
4  12   i 
12   i
z1 z1
48  6·i
48  6·i  90·i  270
2 
2  2·i  6  
 
 2·i  6 
 2·i  6 

45
z2 z3
45
45
45
4
z1 z1 222  84·i
z z
z z
222 84·i
74 26·i
 
 1 1

 1  1  
z2 z3
45
z2 z3
45
45
z2 z3
15 15
4
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4. FORMA TRIGONOMÉTRICA Y FORMA POLAR DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Módulo y argumento de un nº complejo
Sea z  a  b·i un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número complejo z , al número real dado
por
a 2  b2 y lo denotaremos por z . El módulo se interpreta como la distancia al origen del afijo del número z
z  a 2  b2
Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo z  a  b·i , al ángulo comprendido entre el eje real
positivo y el afijo que determina a z . El argumento de z se denota por arg( z ) y se calcula mediante la expresión:
b
arg( z )  arctg   . Hay que tener en cuenta en que cuadrante se encuentra z para calcular el argumento
a
FORMA POLAR
Definición: Dado un complejo z que tiene por módulo r  z y por argumento   arg( z ) , se llama forma polar del
complejo z a la expresión z  r
NOTA: No tiene sentido poner el número 0 en forma polar
Ejemplos: Pasar a forma polar los siguientes complejos. Para ello calculamos el módulo y el argumento de cada
complejo
a) z  1  3·i
Módulo: r  z  12 
 3
2
 4 r 2

 3  2·k·
 3
con k  .
Argumento:   arg( z )  arctg 
 1      4·



 2·k·
 3
5
UNIDAD 3: Números complejos
Este complejo tiene su afijo en el primer cuadrante como fácilmente se puede observar, por tanto, de todas las
soluciones posibles nos quedamos con el ángulo que está en el primer cuadrante y es el más simple, pues los demás
se obtienen de añadir vueltas.  

3
Por tanto,
z  1  3·i  2 
3
b)
z  5  5·i Operamos de forma análoga
Módulo: r  z  52   5  50  r  5· 2
2
 3·
 4  2·k·

5
 
Argumento:   arg( z )  arctg 

arctg
(

1)



con k  .


7·

 5 

 2·k·
 4
Este complejo tiene su afijo en el cuarto cuadrante como fácilmente se puede observar, por tanto, de todas las
soluciones posibles nos quedamos con el ángulo que está en el cuarto cuadrante y es el más simple, pues los demás
se obtienen de añadir vueltas.  
7·
4
Por tanto,

z  5  5·i  5· 2
c)

7·
4
z  2·i
Módulo: r  z  02   2  4  r  2
2
Argumento:
3·
 2   En este caso el complejo esta en el eje imaginario negativo, luego 
.
 
   el argumento es 270º
2
 0  

  arg( z )  arctg 
Por tanto,
z  2 3·
2
FORMA TRIGONOMÉTRICA
Si volvemos al gráfico anterior, es fácil observar por las definiciones trigonométricas que:
6
UNIDAD 3: Números complejos
cos  
a
 a  r·cos 
r
sen  
b
 b  r·sen 
r
Por lo que si tenemos un complejo z  a  b·i , lo podemos expresar en función de su módulo y su argumento
sustituyendo como: z  r·cos   r·sen   i  Sacamos factor común r y ponemos i delante del seno
z  r· cos   i·sen  
que es lo que se conoce como forma trigonométrica de un número complejo
Esta forma nos va a permitir obtener la forma binómica de un complejo que venga dado en forma polar o forma
trigonométrica. En realidad la forma polar y la forma trigonométrica son lo mismo pero expresado de maneras
distintas.
Ejemplo: Pasa a forma binómica el complejo z  5225º

z  5225º  5· cos 225º i·sen225º   z  5· 

2
2 
5· 2 5· 2
 ·i   z  

·i
2
2 
2
2
Ejemplo: Pasa a forma binómica el complejo
z  1
2
z  1
2



 1· cos  i·sen   z  1· 0  1·i   z  i
2
2

5. OPERACIONES CON COMPLEJOS EN FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA
Los números complejos en forma polar o trigonométrica son muy útiles cuando tenemos que hacer productos,
potencias o divisiones. Para las sumas y restas se usan en forma binómica.
Propiedad: Sean z1  r y z2  r´ dos números complejos en forma polar. Entonces se tiene que:
z1  z2  r  r´   r  r´
O en su forma trigonométrica:
z1  z2  r· cos   i·sen    r´· cos   i·sen   r  r´cos (  )  i·sen (  )
Ejemplo: Si z1  230º y z2  795º , entonces z1  z2  230º  795º   2  7 30º 95º  14125º
Propiedad: Sea z1  r un número complejo en forma polar. Entonces se tiene que:
z1n   r    r n n
n
O en su forma trigonométrica:
z1n  r· cos   i·sen    r n cos (n  )  i·sen (n  )
5
5
5
 230º , entonces z1   230º   2 530ºº  32150º
n
Ejemplo: Si z1
Propiedad: Sean z1  r y z2  r´ dos números complejos en forma polar. Entonces se tiene que:
z1 r  r 


z2 r´  r´ 
O en su forma trigonométrica:
z1 r· cos   i·sen   r

 cos (  )  i·sen (  )
z2 r´· cos   i·sen   r´
7
UNIDAD 3: Números complejos
Ejemplo: Si z1  230º y z2  475º , entonces
z1 230º  2 


z2 475º  4 30º 75º
1
1  2
2 
2
2
1
1
 
      cos 315º i·sen315º    

 i  

2  2
2 
4
4
 2 45º  2 315º 2
y hemos dado en este ejemplo el resultado en forma binómica
Fórmula de Moivre
Se cumple que
n
 cos   i·sen    cos (n  )  i·sen (n  )
Que nos puede permitir calcular cos (n  ) y sen (n  ) en función de cos  y de sen 
NOTA: FORMA EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO
Hay otra forma de representar los complejos llamada forma exponencial, que se obtiene a partir de la fórmula de
Euler.
La fórmula de Euler nos dice que: ei  cos  i sin 
A partir de ella es fácil deducir que un complejo z  r  r· cos   i·sin    r  ei· que son sus forma polar,
trigonométrica y exponencial.
·i
Una consecuencia de esta forma es la igualdad: e  1  0 que como vemos relaciona los números más
significativos de las matemáticas conocidos hasta ahora.
6. RADICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Vamos a ver como se calculan raíces n-ésimas de números complejos y también probaremos que cualquier
complejo, salvo el 0, tiene n raíces n-ésimas.
Para hacer raíces siempre necesitaremos tener el número complejo en forma polar, por tanto partimos de un
complejo z  r . Esta es la forma reducida de expresar al complejo, pero el argumento puede ser el ángulo
  2·k· con k  o bien   k·360º con k  , pues se diferencian de  en un nº entero de vueltas.
Consideremos por tanto el complejo de esta forma z  r(k·360º) (se puede poner en radianes si se quiere)
Se trata de calcular la raíz n-ésima de
Se tiene que cumplir que:
Si consideramos
z  r(k·360º)  Es decir, encontrar w  n z  w  n r(k·360º)
wn  r(k·360º)
w  R   tenemos que calcular R y    R   r(k·360º)  Rnn·  r(k·360º)
n
 Rn r

Rn  r


Si igualamos módulos y argumentos tenemos que: 
  k·360º con k  
n·    k·360º
 
n


Rn r


 k·360º con k  que son las posibles raíces del complejo z  r
  
n
n

Aparentemente tiene infinitas soluciones, pero esto no es así pues a partir de que k  n lo que hacemos es dar
vueltas respecto a las soluciones aportadas por los valores de k  0,1,..., n  1. Por ejemplo para k  n sale la misma
raíz solución que para k  0 . Para k  n  1 sale la misma que para k  1
8
UNIDAD 3: Números complejos
Por tanto, podemos concluir que las raíces n-ésimas de
z  r
 z  son los complejos w  R tales que:
n

Rn r


 k·360º con k  0,1, 2,..., n -1
  
n
n

Ejemplo: Calcula las raíces cuadradas de i
Se trata de calcular i , que va a tener dos raíces,
w1 y w2
Pasamos el complejo i a forma polar, lo cual es fácil:
i  190º
 n2

(en este caso tenemos  r  1 )
  90º

Las soluciones vendrán dadas por:

R 1
R 1



90º k·360º con k  0,1    45º  k 180º con k  0,1


 
2
2

Para k  0
 R 1


  45º
w1  145º  w1  1  cos 45º i  sen45º   w1 
2
2

i
2
2
Para k  1
R 1

 R 1


  45º 180º   225º
w2  1225º  w2  1  cos 225º i  sen225º   w2  
2
2

i
2
2
Ejemplo: Calcula las raíces cúbicas de -8 y representarlas gráficamente
Se trata de calcular 3 8 , que va a tener tres raíces, w1 , w2 y w3
Pasamos z  8 a forma polar, calculando su módulo y argumento:
r  (8)2  02  r  64  r  8
  arctg (
0º (no válido pues -8 está en el eje real negativo)
0
)    arctg (0)    
   180º
180º
8

 n3

Por tanto 8  8180º (en este caso tenemos  r  8 )
  180º

Las soluciones vendrán dadas por:

R38
R2


con k  0,1, 2
 180º k·360º con k  0,1, 2  

  60º  k  120º
 
3
3

Para k  0
 R2


  60º
1
w1  260º  w1  2   cos60º i  sen60º   w1  2   
2
3 
i 
2 
w1  1 
3 i
9
UNIDAD 3: Números complejos
Para k  1
R2

 R2


  60º 120º   180º
w2  2180º  w2  2   cos180º i  sen180º   w2  2
Para k  2
R2



  60º 2·120º
 1 3 
i 
2 2 


w3  2300º  w3  2   cos300º i  sen300º   w3  2  
w3  1 
3 i
Representemos ahora las soluciones:
10
UNIDAD 3: Números complejos