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Taller 4 cálculo 1
Profesor Jaime Andrés Jaramillo González. [email protected].
www.jaimeaj.conceptocomputadores.com UdeA 2017-1
Problemas de Optimización
Referencia estudiar ejercicios sección 4.8 del texto de Zill
1. A un fabricante de latas le solicitan diseñar un envase para gaseosa de forma cilíndrica y con
capacidad de 300ml. Encuentre las dimensiones del envase para las cuales la cantidad de material
utilizado para su fabricación es mínima.
2. Para hacer una caja de base cuadrada con la parte superior abierta, se recortan cuadrados de igual
medida de las esquinas de una hojalata cuadrada y luego se doblan los lados hacia arriba. Al hacer
esto con una hojalata de 16cm * 16cm. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de los cuadrados
recortados para que el volumen de la caja sea máximo? ¿Cuál es éste volumen?
3. Se van a utilizar 15 cm de alambre para construir un cuadrado y un círculo. Cuales deben ser las
dimensiones del cuadrado y del círculo para que el área total abarcada sea máxima?
4. Dos postes, uno de 8m y otro de 12m se encuentran a 25m de distancia. Se sostienen por dos cables
atados a la misma estaca desde el nivel del suelo a la parte superior de cada poste ¿Dónde debe
ubicarse la estaca para usar la menor cantidad de cable posible?
5. Un rectángulo se inscribe en un semicírculo de radio 4 ¿Cuál es el área máxima que puede tener y
cuáles son sus dimensiones?
6. Un sólido se forma uniendo dos hemisferios a los extremos de un cilindro circular recto. El volumen
total del sólido es de 12cm3. Encuentre el radio del cilindro que produce el área superficial mínima.
7. Se cercará un terreno rectangular de 512 m2 para la siembra de un cultivo de tomates y será dividido
en dos partes iguales colocando una cerca paralela a uno de los lados. ¿Cuáles deben ser las
dimensiones del rectángulo exterior para que la cantidad de cerca utilizada sea mínima?¿Qué
cantidad de cerca se requiere en este caso?
8. Una ventana normanda se construye al unir una semicircunferencia a la parte superior de una ventana
rectangular corriente. Encuentre las dimensiones de una ventana Normanda de área máxima, si su
perímetro total es de 7m.
9. La parte semicircular de una ventana normanda tiene un vidrio oscuro y la parte rectangular vidrio
claro. La cantidad de luz por unidad de área que admite el vidrio oscuro es un tercio de la admitida por
el vidrio claro. Si el perímetro de esta ventana es de 12m ¿Cuáles deben ser las dimensiones para
que la cantidad de luz que admite la ventana sea máxima?
Manipulación del integrando para obtener integrales que coincidan con las fórmulas básicas
1. Calcule la integral manipulando el integrando para obtener una forma que corresponda con las
fórmulas básicas
a)
4 x 5  3x 4  6 x  3
dx b)

2x 3
3 2
4

dx c)
x


4 5
x

e)
x13x2dx
f)
cos x
 1  sen 2 x dx
i)
x1x1dx
j)
xcot
xdx
sec
m)
q)
s)

3 4
x5 3
x
x
dx

[
2
e

16

x

x
n)

2
g)
x
k)
x3 1
 x 1 dx
2

3
1 dx
4
x24
x5
dx
dx o) 
2
3
x
x  36
3x 2  x 2  36
5x 3
1
/2
2
4
 x2 5dx
(tanx1)dx
sen
2x
d)
 senxdx
h)
z
(tan
z
sec
z
)
dz
sec
l)

p)

xcos
xdx
1
tan
4
5
x3  dx
x
2


tan
x

cos
x

sen
x


dx
r) 


senx


]
dx
4x3ex x2
dx
t) 
6x3
5
4
2
8
x

6
x

2
x

4
x

5
x22x5
dx
dx
u) 
v) 
3
4
x
x3
2. Calcule la integral manipulando el integrando para obtener una forma que corresponda con las
fórmulas básicas
a.
3 4
6

x

dx


5
4
3
x


3
csc
x
dx
2

cotx1
d.
b.
9x3 x
3x3 x2 dx
c.
e.
 4 x3  7 x 
  2 x 3 dx


f.
2 x 2  3x 3 / 2  5 x
dx

9 x3/ 2
senx tan 2 x
 senx sec x 
2
dx
3. Encuentre f
a)
f'(
x
)x
, f
4
0
b)
c)
f ' ' ( x)  5 x 2  4 x  7, f 1  5,
f ' (1)  3
3 2

f'(
x
)

3
x
2, f
1
1
x
d)
e)
f ' ( x)  6e x  5 cos x;
f (4)  2
t
f ' ( x)  sec 2 x  x , f 0  2 f ' ' (t )  2e  3 cos t , f 0  0,
f)
f    0
Aplicaciones de la integral indefinida
4. Un vivero de plantas verdes suele vender cierto arbusto después de 6 años de
crecimiento y cuidado. La velocidad de crecimiento durante esos 6 años es,
aproximadamente, dh/dt =
1.5t + 5, donde t es el tiempo en años y h es la altura en centímetros. Las plantas de
semillero miden 12 centímetros de altura cuando se plantan (t=0)
a) Determinar la altura después de t años.
b) ¿Que altura tienen los arbustos cuando se venden?
5. La tasa de crecimiento dP/dt de una población de bacterias es proporcional a la raiz
cuadrada de t, donde P es el tamaño de la población y t es el tiempo en días (0≤ t ≤ 10)
esto es, dP/dt= K t . El tamaño inicial de la población es igual a 500. Después de un día
la población ha crecido hasta 700.Estimar el tamaño de la población después de 7 días.
Aplicaciones de la integral indefinida: Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA)
6. Un conductor implicado en un accidente afirma que circulaba solamente a 50 km/h.
Cuando la policía revisa su auto, determina que si los frenos se aplicaban a 50 km/h, el
auto recorrería solamente 15m antes de detenerse. Las marcas de derrape del auto en la
escena del accidente miden 72m. Suponga que la desaceleración es constante y calcule
la velocidad con la que viajaba antes del accidente.
7. Los frenos de un automóvil se accionan cuando éste se mueve a 60 millas/hora
(exactamente 88 pies/segundo). Los frenos proporcionan una desaceleración constante
de 40 pies/segundo2. ¿Qué distancia recorre el auto antes de detenerse?
Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA): Caída Libre
8. Cuando se arroja una piedra hacia arriba, desde el suelo, con una cauchera, la piedra
alcanza una altura máxima de 400 pies. ¿Cuál era la velocidad inicial de la piedra?
(Aceleración de la gravedad: g=32pies/segundo)
9. Se arroja una pelota de béisbol hacia arriba, desde la parte superior de un edificio alto. La
velocidad inicial de la pelota es 25 pies/segundo y golpea el suelo con una velocidad de
153 pies/segundo. ¿Qué altura tiene el edificio?
Sustitución o cambio de variable
10. Calcule la integral usando sustitución
a)
1
5
y(1lny) dy
b)
e1 / t
 t 2 dt
e)
e
f)
xcsc
xdx
 cot
x
1exdx
i)
et
 4  e t dt
m)

2
3x
j)
6
4xx
2
c)
g)
x
3
)dx
xcos(
3

4
1
sen
x
1x
2
dx
dx
x5
dx
4
k)
(x1)
n)
 42x9x dx
x
d)
(3x2) dx
h)
 
sen 
 x
 x2 dx
l)
3x2
3x2 1dx
4

6
1
dx
2
Integración por partes
11. Calcule la integral usando integración por partes
a)
 xe dx
b)
 x cos xdx
c)
 xsenxdx
d)
e cosxdx
e)
tan 4xdx
f)
sen xdx
g)
 x csc
i)
x e
j)
(12x)senxdx
x
x
2
 3x
p)
ln2x dx
s)
 x ln x  dx
3
2
xdx
m)


2
x3ex
dx
h)  2
2
x 1
 5 x 2  x ln xdx
2
1

1
etanx
k)
1x 
n)
 5 x cos(3x)dx
q)
lnxdx
sen
2 3/2
dx
1
3 2x
dx
x3
l)

o)

r)
 x tan
dx
x2 25
ln2x
dx
x2
1
xdx
12. Calcule la integral:
x
a.

e.

i.
x
x3 1dx

1
m.
q.
sen
23x
dx
x
3xx2
5
dx
dx
x(1x)
1
ydy
b.
dx
 9x2  6x  5
f.

j.
2
3
6xx2
63x
dx
dx
c.
3dx
 x2 x2
d.

g.
e
h.

k.
(lnx)2
 x dx
l.
sec 2tdt, t  2
p.
dy
3(sec
y1
)
t
1e2t dt
n.
xe2 x
 (2 x  1) 2 dx
o.
cot2 z
 cscz dz
r.
(x 1)e dx
s.
z1

z)dz
ln(
2
x
x2dx
49
36
x2
1 t dt
1
1
2
13. Un automóvil viaja por una carretera recta muy larga. Su aceleración es:
a) a(t) 2
t se mide en segundos y t  0
0m/ s y su posición x es 0 m
Donde
v
es
m
s2
0.1
t
(t)3
e
b) a
m
s2

0.2t
(t)5
e
c) a
m
s2
es el instante en el que inicia su recorrido cuando su velocidad
I.
II.
Determine la función velocidad v del automovil
Determine una función para la posición x del automóvil
III.
Aceleración, velocidad y posición del automóvil para
t  10 s
14. Una partícula entra a un campo magnético como se muestra en la figura con una
v 1m/ s
velocidad horizontal x
. El campo magnético afecta su movimiento,
t t
proporcionándole una velocidad vertical v y    cos  (en m/s); t es el tiempo en
4 4
segundos. Determine a que distancia del borde inferior del campo magnético sale la
partícula.
15. En cierto experimento, una partícula ubicada en un tubo de 5m se mueve de forma
horizontal, manteniendo una velocidad en m/s: vt   2tsen3t ,(t en segundos) durante 3
segundos.
Si la partícula al iniciar el experimento se encuentra a 2m del extremo izquierdo.
Determine la posición de la partícula un segundo después.
16. La aceleración de un objeto que se mueve en determinado sistema de referencia,
3
a t  
 e  4t
t 1
usando las unidades del sistema internacional, está dada por:
, para
0  t  5 . Considerando que su posición para t=1s es el origen (S(1)=0), y su velocidad
para t=0s es v0  0m / s determinar:
a) función velocidad
b) función posición
c) aceleración, velocidad y posición para t=5s.