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Datos Generales Nombre del Proyecto Simulaciones con problemas de N-Cuerpos. Semillero SISTEMAS DINÁMICOS Y MECÁNICA CELESTE Área del Proyecto Ciencias Exactas y de la Tierra Subárea del Matemáticas Proyecto Tipo de Proyecto Proyecto de Investigación Subtipo de Proyecto Investigación en Curso Grado 3 Programa Académico Matemáticas Email [email protected] Teléfono 3176806762 Nodo Bogotá Integrantes : [1032495886-JULIAN JIMENEZ ] Instituciones a las que pertenece : [860504759-KONRAD LORENZ FUNDACION UNIVERSITARIA] Datos Específicos del Proyecto Introducción Tomando como punto de partida el problema de Kepler, así como el problema de dos cuerpos y el problema restringido de tres cuerpos; se mostrarán los resultados de algunas simulaciones para comparar la fiabilidad de estas soluciones en la descripción de las órbitas de los planetas del sistema solar. Para esto compararemos los diferentes parámetros asociados a dichas órbitas en las tres soluciones mencionadas, con los parámetros reales obtenidos por observación. Los algoritmos que nos permitirán analizar numéricamente algunos casos particulares del problema de n-cuerpos, así como la visualización de las soluciones explicitas, serán realizados en Python. Asimismo, se usaron las mismas herramientas para implementar un software que permite simular numéricamente la interacción de partículas en presencia de un campo eléctrico (sin tener en cuenta los campos magnéticos consecuencia del movimiento de las cargas) o gravitacional. Planteamiento del Problema Tomando como punto de partida la solución al problema de Kepler, así como la solución al problema de dos cuerpos y la solución al problema restringido de tres cuerpos; se mostrarán los resultados de algunas simulaciones para comparar la fiabilidad de estas soluciones en la descripción de las órbitas de los planetas del sistema solar. Objetivo General Aplicar la solución del problema de Kepler en las orbitas de los planetas del sistema solar Objetivo Específicos Aproximar las órbitas de los planetas del sistema solar, mediante la solcuón del problema de Kepler. Desarrollar completamente la solución del problema de Kepler. Estudiar numéricamente las orbitas del problema de dos cuerpos. Referente Teórico En general el desarrollo de este trabajo está basado en las herramientas clásicas de sistemas dinámicos y algunas particulares de la mecánica celeste, y algunas técnicas de solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden por medio de métodos numéricos. Finalmente se requiere el estudio de funciones e integrales elípticas para abordar de manera analítica el problema. Metodología Investigación teórica reforzada con aplicaciones computacionales Resultados En el momento tenemos una versión final de los códigos desarrollados en Python, los cuales se encuentra en el repositorio del autor en la web. Las cuales además, serán la base de los nuevos códigos que debemos desarrollar, para atacar los siguientes problemas de nuestro interés, los cuales involucran tres y más cuerpos. Hemos establecido la precisión en la descripción de una órbita kepleriana para cada uno de los planetas del sistema solar, esto de manera analítica, lo cual está respaldado por un código en Python que permite visualizar este fenómeno. Tanto el problema original como el código, se modificaron para además de tener en cuenta la interacción gravitacional, agregar en nuestro estudio la interacción eléctrica entre los cuerpos, es decir, incluyendo en nuestro análisis la ley de Coulomb. Conclusiones A partir de la diferencia porcentual y la precisión de la solución del problema de Kepler, aplicada a la órbita de los diferentes planetas del sistema solar, hemos podido inferir que hay una relación inversa entre el factor de precisión y la masa, aunque en menor medida también influyen en la precisión de la descripción de la órbita, factores como como la distancia de los planetas al sol. En general, en promedio la precisión de la descripción de la órbita de los planetas esta alrededor de un 90%, lo cual es muy útil para varias aplicaciones. Bibliografía 1. V. Arnold, V. Kozlov, and A. Neishtadt (2006). Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics. Springer 2. Curtis, H. (2009). Orbital Mechanics for Engineering Students. United States Of America: Elsevier Ltda. 3. H. Poicare (1982-1989). Les methods nouvelles de la mécanique celeste. Gauthier-Villars.
