Download Número entero - Colegio Colombo Americano Soacha

COLOMBO AMERICAN SCHOOL
PEI: “LA LECTURA Y LA ESCRITURA, FACTORES DECISIVOS PARA LA EDUCACIÓN”
TRABAJO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICAS GRADO SÉPTIMO AÑO 2014
Resuelve las siguientes situaciones.
1) Dibuja una recta numérica y ubica en ella, los siguientes números enteros:
a) –4 b) 7
c) +2 d) 0
e) - 5 f) +4
g) 8
(Encierra con un círculo de color azul los enteros positivos y uno de color rojo para los
negativos
2) Escribe un conjunto de números enteros positivos que sean mayores que 10 y
menores que 23
3) Escribe un conjunto de números enteros negativos que sean menores que – 8 y
mayores o iguales que – 12.
4) Interpreta las siguientes situaciones, escribiendo en cada caso, el número entero:
Situación
Número entero
Avancé 4 metros.
El ascensor está en el 3° piso.
Debo $2.000
El submarino está a 40 metros de profundidad.
La temperatura en la Antártica es de 3 grados bajo cero.
El ascensor está en el primer subterráneo.
Ahorré $10.000
Giré de mi libreta de ahorros $8.000
Retrocedí 2 pasos.
Calcula las siguientes sumas:
1) -4 + -4=
3) -4 + -12=
5) 4 + -41=
7) 4 + -12=
9) -5 + 9 =
11) -3 + 4 =
13) -5 + 7 =
15) -10 + 6 =
17) -5 + 4 =
19) -5 + -6 =
2) - 14 + -4=
4) -10 + -4=
6) -12 + -4=
8) - 10 + -40=
10) -2 + 8 =
12) -4 + 10 =
14) -9 + 4 =
16) -8 + 1 =
18) -7 + 3 =
20) -3 + -4 =
21) -2 + -7 =
23) 8 + -11 =
25) 2 + -8 =
27) 8 + -4 =
29) 12 + -7 =
22) -6 + -3 =
24) 4 + -9 =
26) 7 + -1 =
28) 10 + -5 =
30) 13 + -6 =
2. Calcula las siguientes restas:
1) -4 - -4=
3) -4 - -12=
5) 4 - -41=
7) 4 - -12=
9) -5 - 9 =
11) -3 - 4 =
13) -5 - 7 =
15) -10 - 6 =
17) -5 - 4 =
19) -5 - -6 =
21) -2 - -7 =
23) 8 - -11 =
25) 2 - -8 =
27) 8 - -4 =
29) 12 - -7 =
2) - 14 - -4=
4) -10 - -4=
6) -12 - -4=
8) - 10 - -40=
10) -2 - 8 =
12) -4 - 10 =
14) -9 - 4 =
16) -8 - 1 =
18) -7 - 3 =
20) -3 - -4 =
22) -6 - -3 =
24) 4 - -9 =
26) 7 - -1 =
28) 10 - -5 =
30) 13 - -6 =
3. Resuelve las siguientes operaciones combinadas
1) +(-4 - 7) + (-3 – 4 – 5 - 8) =
2)
-(+2 – 3 + 5) + (-2 + 6 – 4 + 7) =
3)
–(+4 – 6 - 9) + (-4 + 5 - 2) =
4)
–(+3 – 2 - 1) + (-5 + 7 + 4) =
5)
+(-3 + 5 + 2 + 1) - (-8 – 4 – 9 - 5) =
6)
+(-4 + 7 + 2) + 9 - (-3 + 4 - 3) =
7)
-(–5 + 6 – 3 + 6) + 3 - (+5 – 2 + 1) =
8)
+(-8 – 3 - 9) + 4 + (-2 + 9) =
9)
–(-5 - 3) - (+4 + 7 + 2 + 3) =
10) –2 - 4 + (-8 + 4 – 6 + 7) =
11) –3 + (-5 + 4) - (-8 + 3 + 9) =
12) 4 - (-7 + 4 - 5) + (-5 + 1) =
13) 2 + (-4 + 5) - (+6 + 6) + 7 =
14) –3 - (+4 – 6 – 7 – 5 + 6) – 7 + 5 =
15) +(-3 – 5 + 6) - (-4 – 5 - 9) =
16) +(-3 – 5 + 4) - (+4 + 5 + 6) =
17) –(-4 + 5 - 6) - (+7 – 3 + 6) - 5 =
ACTIVIDAD 2: Resuelve las siguientes operaciones combinadas con números
enteros.
1) 63-84=
2) (+34) - ( -25 ) =
3) ( -48) - ( -52) =
4) ( + 75 ) - ( - 39 ) =
5) 256- ( + 256 ) =
6) ( -4 ) - ( + 12 ) =
7) 68- ( 21 - 54 ) + ( 7 - 72 ) =
8) - ( 24 - 89 + 18 ) + ( - 91 + 24 ) =
9) - ( - 417 - 78 ) - ( -518- 287 ) =
10) 14 + [ 23 - ( 34 - 57 ) ] =
11) 14 - [ 23 - ( 34 - 57 ) ] =
12) - 32 - [ 19- ( 24 - 46 ) ] =
13) ( - 3 ) ( - 6 ) ( + 4 ) =
14) ( -8 ) ( - 3 ) ( - 7 ) =
15) ( - 6 ) 8 ( - 10 ) =
16) - 14 + 3 ( - 8 ) =
17) 29 [(-10) + 1 ] =
18) 12 [ 40 + ( - 3 ) ] =
19) ( 4 - 20) 13 =
20) (- 5 ) . 7 - 9 ( - 4 ) =
21) -13 - ( - 3 ) ( - 9 ) + 5 ( - 8 ) =
22) (- 48 + 32 ) - ( 67 - 82 ) =
23) 48 - [ 15 - ( 43 - 38 ) - 27 ] =
24) - [ - 13 + ( 24 - 68 ) ] - ( - 48 + 95 )
25) (-12 ) . 7 - 13 ( - 5 ) =
26) 12 ( - 7 ) - 12 =
28) 8 · ( - 11 ) =
27) (- 13 ) · 3 =
Resuelve las siguientes sumas:
1)
7 1 1
  
8
6 8
2)
1  4 5

 
9
3
6
3)
8 2

4
9
3
4)
 2 1 7

1 
5
6
8
5)
 3 1 3

 
4
6 8
6)
3 2 6
 

4 3 12
7)
3 4

6
5
3
8)
 2 1
7

2 
3
6
8
3 1
3
9) 2 
2 
4 6
8
10)  1 
2
1
2 =
3
4
11)
 2 1 1 3
 

5
2 3 4
12)
3
5
2
 2 
1
5
4
3
Resuelve las siguientes situaciones
1. Por cada 5 libras de peso en una persona, aproximadamente 2 libras son de músculo.
Calcular cuánto pesan los músculos en un niño de 4lb, 62Lb, 85Lb.
2. El precio por galón de gasolina es de $3250. Elaborar una tabla que indique el precio
de 2, 5, 7, 10 galones.
3. Juan entrena ciclismo. La siguiente tabla registra el número de vueltas y el tiempo
empleado por vuelta. Completa la tabla
N
4
8
20
23
30
Vueltas
Tiempo
12
35
50
4. Por cada 5 libras de peso de una persona, aproximadamente dos libras son de
musculo. Calcular cuánto pesa un niño de 45 libras, 62 libras, 85 libras.
5. El precio por galón de gasolina es de $3250. Elaborar una tabla que indique el precio
de 2 galones, 3 galones, 7 galones y 12 galones
6. Juan entrena ciclismo. La siguiente tabla registra el número de vueltas y el tiempo
empleado por vuelta. Completa la tabla.
Nª DE VUELTAS
4
8
20 23
TIEMPO EMPLEADO 12
35 42
50
7. La tabla describe la relación entre el número de obrero y el número de días que tardan
en hacer un trabajo.
OBREROS 6
12
40
DIAS
30
10
a) Completar la tabla
b) ¿Cuántos obreros se necesitan, para completar la obra en 4 días?
c) ¿Cuántos días tardaran 14 obreros en hacer la misma obra?
COLOMBO AMERICAN SCHOOL
PEI: “LA LECTURA Y LA ESCRITURA, FACTORES DECISIVOS PARA LA EDUCACIÓN”
TRABAJO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICAS GRADO OCTAVO AÑO 2014
Resuelve:
1) En las siguientes expresiones algebraicas, reduce los términos semejantes y luego reemplaza en cada
caso por a = -2 y b = 7, para valorar la expresión.
a) 3ab – b + 2ab + 3b
b) 3a2b – 8 a2b – 7a2b + 3a2b
c) 2a2b –
3 2
a b–1
2
d) ab2 – b2a + 3ab2
e)
3
4
5
7
a b a b
2
5
4
10
f)  b 2 
2
1
1
b  b2  b
7
5
14
2) Calcula el valor numérico de las siguientes E. A., considera para cada caso a = 2; b = 5; c = -3; d = -1 y f = 0
a) 5a2 – 2bc – 3d
b) 7a2c – 8d3
c) 2a2 – b3 – c3 – d5
d) d4 – d3 – d2 + d – 1
e) 3(a – b) + 2(c – d)
f)
h) b  c 
i) a  b  c 
g)
3
2
1
7
a c b f
4
5
2
8
a
cd ab

2
7


( 2 a 3 d ) f
3) Encuentra el valor numérico de las siguientes fórmulas, aplicando en cada caso solo los valores asignados
para las variables respectivas.
at 2
a) d  vi ·t 
2
; si vi = 8 m/seg , t = 4 seg , a = 3 m/seg2 (d : distancia q’ recorre un móvil)
b) Ep = m·g·h
; si m = 0,8 hg , h = 15 m , g = 9,8 m/seg2 (Ep: energía potencial)
c) A 
a2 3
4
; si a = 3,2 m (A : área de triángulo equilátero)
d) R 
r1 ·r2
r1  r2
; si r1 = 4 ohm y r2 = 6 ohm (R : resistencia eléctrica total en paralelo)
q1 ·q2
r2
e) F  K ·
; si k = 9·109
Nm 2
; q1 = q2 = 4c y r=10m (F : fuerza atracción entre dos cargas)
c2
4) Evalúa la expresión x2 + x + 41 para los valores de x = 0, 1, 2, 3, 4, …, 40. ¿Qué
característica tienen los números que resultan?
Actividad: Resuelve los siguientes productos:
1) (x + 1)(x + 2) =
2) (x + 2)(x + 4) =
3) (x + 5)(x – 2) =
4) (m – 6)(m – 5) =
5) (x + 7)(x – 3) =
6) (x + 2)(x – 1) =
7) (x – 3)(x – 1) =
8) (x – 5)(x + 4) =
9) (a – 11)(a + 10) = 10) (n – 19)(n + 10) =
11) (a2 + 5)(a2 – 9) =
12) (x2 – 1)(x2 – 7) =
13) (n2 – 1)(n2 + 20) =
14) (n3 + 3)(n3 – 6) =
15) (x3 + 7)(x3 – 6) =
16) (a4 + 8)(a4 – 1) =
5
5
6
6
17) (a – 2)(a + 7) =
18) (a + 7)(a – 9) =
19) (ab + 5)(ab – 6) =
20)(xy2 – 9)(xy2 + 12)
2
2
2
2
3
3
3
3
x
x
21) (a b – 1)(a b + 7) =
22) (x y – 6)(x y + 8) = 23) (a – 3)(a + 8) =
24) (ax+1 – 6)(ax+1 – 5)
Resuelve las siguientes multiplicaciones algebraicas:


1) x 3 x 2  3x  1 


2) 2 x 2 x  5x  7 x  3 
5
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
3
2
x  44 x  6 x  x  4 
 2 x  1  3x 4  8 x3  3x 2  11x  4  
3
2
x  7x  2x  5x  x  3x  1 
 2 x  5x  x  7 x  3x  4  
2x  4x  3x  7 x  1 
 x  6 x  1 2 x  4 x  5 
 2 x  5x  x  2  x  3x  4 x  x  1 
3
5
2
4
3
2
3
2
2
2
2
2
3
2
7
5
2
Resuelve
a. (x+2)2
b. (x+2)(x+3)
f.(a2+8)(a2-7)
g. (x4+12)(x4-12)
k. (n2+2n+1)(n2+2n-1)
n. (1-4ax)2
ñ. (x4-2)(x4+5)
r. (n-19)(n+10) s. (10x3-9xy5)2
c. (1+b)3
h. (2a+x)3
l. (6n-5)3
o. (2a3-5b4)2
d. (n+3)(n+5)
e. (ab+3)(3-ab)
i. (3ab-5x2)2
j. (2m+9)(2m-9)
m. (a+b-1)(a+b+1)
p. (1-2n)3
q. (2x+3y)3
EJERCICIOS: Sobre factorización
1. 6x - 12 =
3. 24a - 12ab =
5. 14m2n + 7mn =
7. 8a3 - 6a2 =
EJERCICIOS
1.
3.
5.
7.
9.
a(x + 1) + b ( x + 1 ) =
x2( p + q ) + y2( p + q ) =
( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) =
(x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =
(a( a + b ) - b ( a + b ) =
2.
4.
6.
8.
4x - 8y =
10x - 15x2 =
4m2 -20 am =
ax + bx + cx =
2.
4.
6.
8.
10.
m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =
( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =
a(2 + x ) - ( 2 + x ) =
(a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =
(2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =
2.
4.
6.
8.
10.
ab + 3a + 2b + 6 =
2ab + 2a - b - 1 =
3x3 - 9ax2 - x + 3a =
6ab + 4a - 15b - 10 =
a3 + a2 + a + 1 =
EJERCICIOS :
1.
3.
5.
7.
9.
a2 + ab + ax + bx =
ab - 2a - 5b + 10 =
am - bm + an - bn =
3x2 - 3bx + xy - by =
3a - b2 + 2b2x - 6ax =
EJERCICIOS :
1.
3.
5.
7.
9.
a2 + ab + ax + bx =
ab - 2a - 5b + 10 =
am - bm + an - bn =
3x2 - 3bx + xy - by =
3a - b2 + 2b2x - 6ax =
2.
4.
6.
8.
10.
ab + 3a + 2b + 6 =
2ab + 2a - b - 1 =
3x3 - 9ax2 - x + 3a =
6ab + 4a - 15b - 10 =
a3 + a2 + a + 1 =
2.
4.
6.
8.
10.
12.
14.
16.
3a2 + 10ab + 7b2 =
4h2 + 5h + 1 =
7x2 - 15x + 2 =
2x2 + 5x - 12 =
6a2 + 23ab - 4b2 =
8x2 - 14x + 3 =
7p2 + 13p - 2 =
2x2 - 17xy + 15y2 =
2.
4.
6.
8.
10.
16x2 - 100 =
9p2 - 40q2 =
49x2 - 64t2 =
121 x2 - 144 k2 =
12.
14.
16.
5 - 180f2 =
3x2 - 75y2 =
2a5 - 162 a3 =
EJERCICIOS :
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
15.
5x2 + 11x + 2 =
4x2 + 7x + 3 =
5 + 7b + 2b2 =
5c2 + 11cd + 2d2 =
6x2 + 7x - 5 =
3m2 - 7m - 20 =
5x2 + 3xy - 2y2 =
6a2 - 5a - 21 =
EJERCICIOS:
1.
9a2 - 25b2 =
3.
4x2 - 1 =
5.
36m2n2 - 25 =
7.
169m2 - 196 n2 =
9 2 49 2
9.
a 
b 
25
11.
13.
15.
36
3x2 - 12 =
8y2 - 18 =
45m3n - 20mn =
1 4 9 4
x  y 
25
16
EJERCICIOS:
1.
b2 - 12b + 36 =
3.
m2 - 2m + 1 =
5. 16m2 - 40mn + 25n2 =
7. 36x2 - 84xy + 49y2 =
9. 1 + 6ª + 9a2 =
11. 25a2c2 + 20acd + 4d2 =
13. 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =
2.
25x2 + 70xy + 49y2 =
4.
x2 + 10x + 25 =
6. 49x2 - 14x + 1 =
8. 4a2 + 4a + 1 =
10. 25m2 - 70 mn + 49n2 =
12. 289a2 + 68abc + 4b2c2 =
EJERCICIOS DIVERSOS:
1. 2ab + 4a2b - 6ab2 =
3. b2 - 3b - 28 =
5. 5a + 25ab =
7. 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab =
9. 8x2 - 128 =
11. x4 - y2 =
13. (a + b )2 - ( c + d)2 =
15. 36m2 - 12mn + n2 =
2. 2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =
4. a2 + 6a + 8 =
6. bx - ab + x2 - ax =
8. ax + ay + x + y =
10. 4 - 12y + 9y2 =
12. x2 + 2x + 1 - y2 =
14. a2 + 12ab + 36b2 =
16. x16 - y16 =
17.
19.
64 – x3 =
27m3 + 6n6 =
21.
1 3 8
x 
8
27 =
18.
20.
22.
8a3b3 + 27 =
x6 – y6 =
x3 
1
64 =
Simplificar las siguientes expresiones, aplicando los criterios de factorización que corresponda:
a)
48a

72ab
b)
25a 2b
=
75ab 2
c)
96m3n 2

32m4 n 3
e)
4a  4b

5a  5b
f)
3x  6 y
=
5x  10 y
g)
x 2  xy

xy  y 2
i)
24 x  18 y

44 x  33 y
j)
x 2  16
=
x 2  8 x  16
k)
9 x 2  30 x  25

6 x  10
m)
4 y2  4 y  1

6x  3
p)
( a  b) 2  c 2

a 2  (b  c) 2
a2  9
t)

3(a  3)
n)
x 2  6x  8
=
x 2  7 x  12
q)
1  64c 6

1  4c 2
m2  n 2
v)

2n  2m
ñ)
x 2  4 x  12

x 2  8 x  12
r)
x 2  7 x  10

x 2  25
y 2  y  12
w) 2

y  2 y  15
d)
h)
3(a  b)

5(a  b)
8x  7 y

64 x 2  49 y 2
l)
x 2  25

x 2  x  20
o)
64  u 2

u 2  13u  40
s)
x2  x  2

x 2  3x  2
x 2  5x  6
x) 2

x  8 x  15
COLOMBO AMERICAN SCHOOL
PEI: “LA LECTURA Y LA ESCRITURA, FACTORES DECISIVOS PARA LA EDUCACIÓN”
TRABAJO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICAS GRADO NOVENO AÑO 2014
EJERCICIOS DE SIMPLIFICACIÓN:
1.
3.
5.
7.
12 a 2 b 7
60 a 3 b 5 c

a 2  a  20

a 2  16
x 2  6x  8
x 2  7 x  12

2.
x2 y3

2 x2 y  2 x2 y 2
4.
x 2  1 xy  3 y


3x  9 x 2 y  y
6.
x 2  7 x  10 x 2  4 x  21 x 2  3x  4



x 2  2 x  3 x 2  9 x  20 x 2  5x  14
36 x 2  60 x  25 a 2  11a  30 a  56 x  5



a 2  25
36 x 2  25 6 x  5a  6
EJERCICIOS: Resolver las siguientes ecuaciones
8.
5
7

x  3 2x  3
10.
x
5
5
3
 

x  1 8 2x  1 4
11.
12.
4
3
8


x  2 x  1 x  1x  2 
13.
14.
x 1
x3

2
x3
x 1
9.
15.
x x 1 x 1


1
2
3
4
5
4
12 x  6

 2
2x  1 x  1 2x  x  1
5
3x  8 7 6 x  1

 
2 x  3 4 x  6 9 10 x  15
2 x 2  5 x  12 3x  4 6x  2


2x  3
7
21
Actividad: Calcular
1. Si
,
a.
b.
calcular:
c.
d.
e.
f.
Realiza las gráficas de las siguientes funciones lineales
y = 2x + 2
y=x–1
y=x
y = 2x + 3
y = -x + 2
y = -1/2x + 5
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.
a) x+y=2; 2x+3y=5. b) x+y=1; 3x+2y=3 c) 2x+y=5; x+3y=5
d) 2x-y=3; 4x+3y=1 e) x+y=1; 3x-4y=7 f) 5x-y=7; 2x+3y=-4
g) 3x-2y=3; x-3y=-6 h) 5x-y=9; x-y=1 i) 2x-3y=2; x-2y=0
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por los métodos de:
a) Igualación
b) Sustitución
c) Reducción
d) Determinantes
a - 3.x - 2.y = -16
f - x/5 - y = -2
4.x + y/4 = 41
k - 3.x - 4.y = 1
2.x - 3.y = 0
p - -7.x + 4.y = 3
y=x
g - 2.x - y/2 = 9/2
l - 4.x + 3.y = 27
q- y=2
5.x + 4.y = 10
b - 4.x - y = 12
2.x + 3.y = -5
c - 3.x + y = -8
x - y/5 = 9/5
6.x + 3.y - 3 = 0
h - 4.x - 8.y = 44
2.x - 5.y = -11
m - x + y = 50
2.x + 4.y = 22
d - 4.x - 3.y = 6
i - 22.x - 3.y = 0
5.x + y = 17
4.x - y/3 = 14
2.x + 2.y -1 = 0
r - x - 2.y -1 = 0
x/y = 4
y - 2.x + 2 = 0
n- x+y=5
s- x-1=0
-x + y = -2
1-y=0
Determina el vértice, los cortes con los ejes y las gráficas de las siguientes parábolas
a. y = 2x2 -14x + 24
b. y = 5x2 - 10x + 5
c. y = 6x2 + 12
d. y = 3(x - 2)(x + 5)
e. y = 3(x - 2)2
f. y = 3(x2 + 4)
Se han medido 75 alumnos, en centímetros, obteniéndose los siguientes datos:
175
176
157
175
173
156
166
170
160
171
172
167
173
175
173
159
169
173
177
161
182
174
178
185
170
168
180
186
169
166
169
192
167
172
165
179
170
172
180
163
162
158
166
164
172
159
184
170
171
163
183
164
174
163
174
167
171
168
173
168
155
174
162
174
171
175
185
172
171
150
189
168
170
154
169
Agrupa estos resultados en 8 intervalos y confecciona una tabla de frecuencias y calcula
las medidas de tendencia central.
A los mismos alumnos anteriores se les aplico una prueba de inteligencia, estos
han sido:
87 105
89 82
104 87
114 141
127 100
88 103 114 125 108 107 118 114 129 100 106 113 105 111 94 115
141 92 132 112 97 135 101 104 130 99 114 91 145 95 101 115
108 115 103 132 110 113 102 109 124 98 140 107 93 108 122 117
116 108 102 101 118 138 99 105 112 94 96 132 118 123 108 131
91
Agrupa los datos en intervalos de amplitud 8 y confecciona una tabla de frecuencias y
calcula las medidas de tendencia central.
Realiza la gráfica de las siguientes funciones en hojas milimetradas
a. Y = 3x
e. y = log 2 x
b. y = (1/2)x
f. y = log 1/3 x
c. y = (2/3)x
g. y = log 3/2 x
d. y = (5/2)x
Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones exponenciales:
ax - a7 = 0
a2x = a8
ax+3 - a8 = 0
ax-5 = a
b7-x = b3
b3-x = b6
3x = 1
2x-1 = 1
43-x = 4
p5-x = p
qx+1 = q
m8x-5 = m5x+7
cx · cx-3 = c9
m3x = m18
a5x-3 = a14+5x · a8x+7
bx-1 · bx+1 = b8
(m5)x = m15
(ax-1)x-7 = (ax+1)x+3
(a5x+1)5 = (a7x-1)7 · (ax-6)9
1
20. ( ) x  8
4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
x
1
21.    343
7
x
1
22.    32
4
1
23. 64 x  32
2
24. 16 x  8
COLOMBO AMERICAN SCHOOL
PEI: “LA LECTURA Y LA ESCRITURA, FACTORES DECISIVOS PARA LA EDUCACIÓN”
TRABAJO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICAS GRADO DÉCIMO AÑO 2014
Cambia de radianes a grado:
a ) 1 radian
b)
17

10
2) Cambia de grados a radianes:
a) 2400
b) 2700
3) Completa la tabla a continuación:
Radianes
Grados

6

4

3
90
120
3
4
5
6

180
210
225
4
3
270
5
3
315
11
6
360
ACTIVIDAD: Ahora tu resuelve los siguientes ejercicios
1) ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las cuatro y media en punto? Y a las
10:20 hrs.?
2) Halla el radio r de una rueda que gira 300 vueltas por minuto impulsada por una
correa que se mueve a 45 m/s.
3) La rueda de un vehículo tiene un diámetro de 90 cm. ¿Cuántas vueltas da
aproximadamente por minuto cuando viaja a 120 km/h?
4) Si cos  
7
, encuentra las otras funciones. Entrega los valores simplificados y
4
racionalizados.
5) Si cos   0,2 , encuentra las otras funciones.
6) Si tan  
5
, encuentra las otras funciones.
9
7) Resolver los triángulos rectángulos para los datos dados. Usa calculadora.
a)  = 24º y c =16.
B
b) a = 32.46 y b = 25,78

c)  = 24º y a =16
c
a
d)  = 71º , c = 44
e) a = 312,7 ; c = 809
f) b = 4.218 ; c = 6.759
g)  = 81º12’ ; a = 43,6

C
b
A
Resolver los siguientes problemas
1. ¿Qué ángulo forman los rayos del sol con la horizontal en el momento que una persona
de de 1,82m de altura proyecta una sombra de 1,65 metros?
2. Calcular el perímetro y el área de un triángulo isósceles si cada uno de los ángulos
congruentes mide 27° y cada uno de los lados congruentes, 40 metros.
3. Las diagonales de un rombo miden 16cm y 10 cm .¿Cuánto miden sus ángulos?
4. Las hojas de una tijera tienen 12 cm de largo y forman un ángulo de 26 . ¿Cuál es la
separación de las hojas en las puntas?
Encuentre las partes restantes de cada uno de los triángulos. No se te olvide parar y razonar para
saber si hay un triángulo, ninguno o dos triángulos.
1)   20°,   80° y c = 7
2)   40°,   76° y a = 10
3)   49° 40´ ,   60°20´ y c = 540
4)   60°, a = 15 y b = 10
5)   112, a = 7 y b = 18
6)   81°, c = 11 y b = 12
7)   47.73°, b = 131.07 c = 97.83
8)   121.624° b = 0.283 c = 0.178
9)   53°20´, a = 140 y c = 115
10)   15° , a = 12 y c = 8
1. En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un triángulo, mientras que β y θ son
las medidas de los ángulos opuestos a esos lados, respectivamente. Resuelve el triángulo en cada caso:
a) a = 10 cm. b= 12 cm. β = 35º
b) a = 7 m.
b = 6 m.
c = 4 m.
c) c = 10 cm. β = 40º
θ = 70º
d) a = 12 cm. b = 16 cm β = 43º
e) θ = 53º
β = 75º
c = 30,5 cm.
f) β = 48º
θ = 68º
c = 47,2 mm.
2. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º y tienen longitudes de 3 y 8 cm.
Determina la longitud de la diagonal menor.
3. Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que forman un ángulo de 35º. Uno va
a 15 km/hr y el otro a 25 km/hr. Determina a qué distancia se encuentran separados después de dos horas
de viaje.
4. Determina las longitudes de las diagonales de un paralelogramo, conocidos los lados m y n, y el ángulo a
entre ellos.
5. Resolver un triángulo tal que a=4.5 cm., B=30º y C= 78º.
6. Resolver un triángulo sabiendo que a=4.5 cm. B=35º y b=10 cm.
7. Resolver el triángulo con a=2.3 m., b=160 cm. y c= 4 m.
8. Resolver el triángulo a=3 m., b=5 m. y C= 80º.
Resolver:
a) Graficar sen x, sen 2x, sen 3x; determinar los períodos en cada gráfico.
b) Graficar cos x, cos 2x, cos 3x; determinar los períodos en cada gráfico.
c) Graficar f(x) =½ cosx½
Demuestre las siguientes identidades:
a) tg   cot g  sec  cos ec
b) (tg  cos ec ) 2  (sen  sec  ) 2  1
1
1

 2 sec 2 
1  sen  1  sen 
1
1

1
d)
2
1  sen  1  cos ec 2
e) (sen   cos ec ) 2  (cos   sec  ) 2  tg 2   cot g 2  7
c)
f)
sen 4  (3  2 sen 2  )  cos 4  (3  2 cos 2  )  1
Se han medido 75 alumnos, en centímetros, obteniéndose los siguientes datos:
175 156 172 159 161 185 186 192 179 163 164 170 164 167 168 174 172 168
176 166 167 169 182 170 169 167 170 162 172 171 174 171 155 171 171 170
157 170 173 173 174 168 166 172 172 158 159 163 163 168 174 175 150 154
175 160 175 177 178 180 169 165 180 166 184 183 174 173 162 185 189 169
173 171 173
Agrupa estos resultados en 8 intervalos y confecciona una tabla de frecuencias y calcula
las medidas de tendencia central.
A los mismos alumnos anteriores se les aplico una prueba de inteligencia, estos
han sido:
87 105 88 103 114 125 108 107 118 114 129 100 106 113 105 111 94 115
89 82 141 92 132 112 97 135 101 104 130 99 114 91 145 95 101 115
104 87 108 115 103 132 110 113 102 109 124 98 140 107 93 108 122 117
114 141 116 108 102 101 118 138 99 105 112 94 96 132 118 123 108 131
127 100 91
Agrupa los datos en intervalos de amplitud 8 y confecciona una tabla de frecuencias y
calcula las medidas de tendencia central.
Ejercicios propuestos
Encuentre todas las soluciones (raíces) de las siguientes ecuaciones:
ACTIVIDAD
1. Determina el radio de las siguientes circunferencias:
a) x2 + y2 = 16
b) x2 + y2 = 12
c) 9x2 + 9y2 = 4
d) 5x2 + 5y2 = 8
2. Escribe la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen y cuyo radio
mide:
a) 6 cm.
b) 2 2 m.
c)
2
3 cm.
3
3. Escribe la ecuación de la circunferencia:
a) de centro C(6,-4) y radio 5 unidades
d) 0 m.
b) de centro C(-1, -5) y radio - 2/3
4. Determina el centro y el radio de las siguientes circunferencias:
a) (x - 5)2 + (y - 1)2 = 4
b) (x + 2/5)2 + (y - 3/4)2 = 3
c) x2 + y2 - 2x + 16y -14 = 0
d) 2x2 + 8x + 2y2 - 6y = 18.
e) [5(x + 4)]2 + 25(y - 2)2 = 625
5. Escribe en forma canónica la ecuación de la circunferencia x2 + y2 + 4x -10y + 11 = 0
6. Grafica la circunferencia de ecuación:
a) x2 + y2 = 4.
b) (x - 5)2 + (y - 1)2 = 4
COLOMBO AMERICAN SCHOOL
PEI: “LA LECTURA Y LA ESCRITURA, FACTORES DECISIVOS PARA LA EDUCACIÓN”
TRABAJO DE NIVELACIÓN DE MATEMÁTICAS GRADO UNDÉCIMO AÑO 2014

Utilizando las propiedades de las desigualdades encontrar el conjunto solución de
las siguientes ecuaciones.
1. 2x2 - x – 3 < 0
2. 3x – 8`  7x + 1
3. –4  2x – 1< 6
4.
x3
x
5.
2
1
<
x2
3x  1
>0
6. x2 + y2  1

Hallar el valor de x.
1. | x – 4 | = 7
2. | 3 x – 4 | = | 3 x + 5|
3. | 7 x | = 4 – x
Hallar el conjunto solución de la desigualdad indicada, escribir la solución en forma de
intervalo y su representación gráfica.
1. | x – 4 | < 7
2. | 3 x – 4 |  6
3. | 2 x + 2 | > 10
4. | 3 x | > | 6 – 3 x |
Halla f(g(x)) y g(f(x)) para cada par de funciones y su dominio.
EJERCICIOS Considere las siguientes funciones:
f ( x) 
x
3
3
g ( x)  x 
3x
2
h( x)  | x | t ( x)  x 2
c( x)  5
Determine (simplificando el resultado):
( f  g )( x)
(t  h)( x)
( f  t )( x )
( g  t  h)( x)
(h  g )( x)
(t  h  f )( x)
(c  g )( x)
( f  f )( x)
(t  f  h)( x)
( g  h  c)( x)
(c  c  c)( x) ( g  g  g )( x)
(t  t  t )( x)
Ejercicio:
1. Calcula el término general de cada serie:
a. 2; -2; 2; -2; .....
b. –1; 2; -3; 4; -5; ...
c. 2; -4; 6; -8; 10; ....
d. 0; 3; 8; 15; 24; ...
e. 1/2; 1; 3/2; 2; 5/2; …
f. ½; 2/3; ¾; 4/5; 5/6; …
g. √1 ; √2 ; √3 ; √4 ; ...
2. Escribe los diez primeros términos de las sucesiones que tienen por término general:
a. an = n2 + 1
n
b. an = 3 + (n −1)⋅ 5
c. an = (n −1)⋅(n − 2)
d. an = 4n2 -2n + 3
n+1
Evalué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada
paso:
1)


lim 3x 2  6 x  1
x1
2)
x 2  a  1x  a
x2  a2
4) xa


lim x 2  2 x  1
x
lim
x2  x  2
2
7) x1 x  2 x  1
8)
x 2  6x  9
lim
x2
10) x0
x 2  25
lim 2
11) x5 x  5 x
lim
x4  x2
5
13) x  x  1
lim
16)
14)
17)
x
x  
lim
x 5
lim
20)
x3  2x 2  x
lim
2
12) x  2 x  6 x
x
3
2
2x
lim
15)

x 
x2 1 1
x2  2  4
xa
lim
18)
19)


lim  x  x  x  x 
x 


lim
 3x 5  x 2
2x 2  1
lim
3 x  3
x 0
x 

x4
4
3
9) x  2 x  3x  6
1
2
x  4x  4
lim

1 
 1
lim 


x  x  2
x

2


6)
x2  x  2
2
5) x1 x  2 x  1
lim
lim
3)
lim  3x 3  x
x 
x 1  x  2
x 
lim
21)
x a
xa
x 
x
x2 1
x 1
Analizar la continuidad de las siguientes funciones
1Calcular las derivadas en los puntos que se indica:
1
en x = -5.
2
3
en x = 1.
en x = 2.
2¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación
e(t) = 2 − 3t 2 en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en
metros y el tiempo en segundos.
COLOMBO AMERICAN SCHOOL
PEI: “LA LECTURA Y LA ESCRITURA, FACTORES DECISIVOS PARA LA EDUCACIÓN”
TRABAJO DE NIVELACIÓN DE FÍSICA GRADO DÉCIMO AÑO 2014
ACTIVIDAD:
1. realizar las siguientes conversiones de medidas
1a. 108 pulg. = _____ ft
1b. 7 ft = ______ pulg.
2a. 8 yd = ______ ft
2b. 3 yd = ______ ft
3a. 8 ft = ______ pulg.
3b. 21 ft = _____ yd
4a. 2 yd = ______ ft
4b. 12 yd = ______ ft
5a. 9 yd = ______ ft
5b. 5 ft = ______ pulg.
6a. 36 pulg. = _____ ft
6b. 120 pulg. = _____ ft
ACTIVIDAD
Escribe usando notación científica
1)67,000,000,000=
2)3,800,000=
3 ) 0. 0 02 6=
4)0.0000901=
Realiza operaciones usando notación científica. Expresa el resultado en notación científica
5 ) ( 1 . 2 3 X 1 0 7 ) + (8.9 X 108 ) =
6 ) ( 4 . 0 5 X 1 0 -6 )+ (2.1 X 10-5 )=
7 ) ( 9 X 1 0 3 )–(3X102 )
8 ) ( 5 . 8 X 1 0 -4) – (1.4 X 10-5 )
9 ) ( 9 X 1 0 2) (3 X 106)
10) (8.1 X107) / (9X105)
11) ((6.4 X 108).(3.2 X 106)) / (1.6 X 104
ACTIVIDAD: Resolver los siguientes problemas
Problema n° 1) ¿A cuántos m/s equivale la velocidad de un móvil que se desplaza a 72
km/h?
Problema n° 2) Un móvil viaja en línea recta con una velocidad media de 1.200 cm/s
durante 9 s, y luego con velocidad media de 480 cm/s durante 7 s, siendo ambas
velocidades del mismo sentido:
a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?.
b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?.
Problema n° 3) Resolver el problema anterior, suponiendo que las velocidades son de
distinto sentido.
Problema n° 4) En el gráfico, se representa un movimiento rectilíneo uniforme, averigüe
gráfica y analíticamente la distancia recorrida en los primeros 4 s.
Problema n° 5) Un móvil recorre una recta con velocidad constante. En los instantes t1 =
0
s
y
t2 =
4
s,
sus
posiciones
son
x1 =
9,5
cm
y
x2 = 25,5 cm. Determinar:
a) Velocidad del móvil.
b) Su posición en t3 = 1 s.
c) Las ecuaciones de movimiento.
d) Su abscisa en el instante t4 = 2,5 s.
e) Los gráficos x = f(t) y v = f(t) del móvil.
Problema n° 6) Una partícula se mueve en la dirección del eje x y en sentido de los x > 0.
Sabiendo que la velocidad es 2 m/s, y su posición es x0 = -4 m, trazar las gráficas x = f(t)
y v = f(t).
Problema n° 7) Pasar de unidades las siguientes velocidades:
a) de 36 km/h a m/s.
b) de 10 m/s a km/h.
c) de 30 km/min a cm/s.
d) de 50 m/min a km/h.
ACTIVIDAD: Resolver los siguientes problemas:
Problema n° 1) Un cuerpo se mueve con una velocidad inicial de 4 m/s y una aceleración
constante de -1,5 m/s ², determinar:
a) ¿Cuál es la velocidad del cuerpo a los 2 s?.
b) ¿Cuál es su posición al cabo de 2 s?.
Problema n° 2) Al aplicar los frenos de un auto que viajaba 54 km/h su velocidad
disminuye uniformemente y en 8 s, se anula. ¿Cuánto vale la aceleración?, graficar V =
f(t).
Problema n° 3) ¿Puede un cuerpo tener velocidad hacia el norte y al mismo tiempo estar
acelerando hacia el sur?. Ejemplificar.
Problema n° 4) Un móvil parte del reposo con aceleración constante, recorre en el primer
segundo 80 m, determinar:
a) ¿Qué aceleración tiene?.
b) ¿Qué velocidad tendrá a los 10 s?.
Problema n° 5) Un móvil que pasa en línea recta hacia la derecha de un punto A,
animado de un M.U.V., con una velocidad de 8 m/s y una aceleración de 2 m/s ², pero en
sentido contrario. Determinar:
a) Después de cuanto tiempo se detiene.
b) ¿A qué distancia de A lo logra?
Y si regresa inmediatamente:
c) ¿Cuánto tarda en volver a pasar por A?
d) ¿en qué instante pasa por un punto situado a 15 m a la derecha de A?
e) ¿en qué instante pasa por un punto situado a 33 m a la izquierda de A?
ACTIVIDAD: Resolver los siguientes problemas:
Problema n° 1) Desde el balcón de un edificio se deja caer una manzana y llega a la
planta baja en 5 s.
a) ¿Desde qué piso se dejo caer, si cada piso mide 2,88 m?.
b) ¿Con qué velocidad llega a la planta baja?.
Problema n° 2) Si se deja caer una piedra desde la terraza de un edificio y se observa
que tarda 6 s en llegar al suelo. Calcular:
a) A qué altura estaría esa terraza.
b) Con qué velocidad llegaría la piedra al piso.
Problema n° 3) ¿De qué altura cae un cuerpo que tarda 4 s en llegar al suelo?.
Problema n° 4) Un cuerpo cae libremente desde un avión que viaja a 1,96 km de altura,
cuánto demora en llegar al suelo?.
Problema n° 5) A un cuerpo que cae libremente se le mide la velocidad al pasar por los
puntos A y B, siendo estas de 25 m/s y 40 m/s respectivamente. Determinar:
a) ¿Cuánto demoró en recorrer la distancia entre A y B ?.
b) ¿Cuál es la distancia entre A y B ?.
c) ¿Cuál será su velocidad 6 s después de pasar por B ?.
Problema n° 6) Se deja caer una piedra en un pozo y al cabo de 10 s se oye el choque
contra el fondo, si la velocidad del sonido es de 330 m/s, ¿cuál es la profundidad del
pozo?.
Problema n° 7) A un cuerpo que cae libremente se le mide la velocidad al pasar por los
puntos A y B, siendo estas de 29,42 m/s y 49,02 m/s respectivamente. Determinar:
a) ¿Cuánto demoró en recorrer la distancia entre A y B ?.
b) ¿Cuál es la distancia entre A y B ?.
Problema n° 8) ¿Desde qué altura debe caer el agua de una presa para golpear la rueda
de una turbina con velocidad de 30 m/s?.
ACTIVIDAD: Resolver los siguientes ejercicios
1.- Un proyectil es disparado con una rapidez inicial de 75.2 mIs, a un ángulo de 34.5° por
encima de la horizontal a lo largo de un campo de tiro plano. Calcule
a) La máxima altura alcanzada por el proyectil.
b) El tiempo que total que el proyectil permanece en el aire
c) La distancia horizontal total
d) La velocidad de X y Y del proyectil después de 1.5 s de haber sido disparado
2.- Una flecha se dispara con un ángulo de 50° con respecto a la horizontal y con una
velocidad de 35 m/s.
a) ¿Cuál es su posición horizontal y vertical después de 4 segundos?
b) Determine las componentes de su velocidad después de 4 segundos.
c) ¿Cuál es la velocidad en X y Y después de 4 segundos?
3- Una piedra se arroja horizontalmente a 15 m/s desde la parte más alta de un risco de
44 m de altura.
a) ¿Qué tiempo tarda la piedra en llegar a la base del risco?
b) ¿Qué tan lejos de la base del risco choca la piedra con el piso?
c) ¿Cuál su velocidad horizontal después de 1.5 segundos?
4- Una pelota de golf se golpea con un ángulo de 45° con la horizontal. Si la velocidad
inicial de la pelota es de 50 m/s:
a) ¿Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire?
b) ¿Cuál su altura máxima?
c) ¿Cuál su alcance horizontal?
5- Se lanza un proyectil con una velocidad inicial de 200 m/s y una inclinación, sobre la
horizontal, de 30°. Suponiendo despreciable la pérdida de velocidad con el aire, calcular:
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala?.
b) ¿A qué distancia del lanzamiento alcanza la altura máxima?.
c) ¿A qué distancia del lanzamiento cae el proyectil?.
6-Se dispone de un cañón que forma un ángulo de 60° con la horizontal. El objetivo se
encuentra en lo alto de una torre de 26 m de altura y a 200 m del cañón. Determinar:
a) ¿Con qué velocidad debe salir el proyectil?.
b) Con la misma velocidad inicial ¿desde que otra posición se podría haber disparado?.
7- Un chico patea una pelota contra un arco con una velocidad inicial de 13 m/s y con un
ángulo de 45° respecto del campo, el arco se encuentra a 13 m. Determinar:
a) ¿Qué tiempo transcurre desde que patea hasta que la pelota llega al arco?.
b) ¿Convierte el gol?, ¿por qué?.
c) ¿A qué distancia del arco picaría por primera vez?.
Resolver los siguientes problemas:
1) Calcular la masa de un cuerpo que al recibir una fuerza de 20 N adquiere una
aceleración de 5 m/s ².
2) ¿Qué masa tiene una persona de 65 kgf de peso en:
a) Un lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9,8 m/s ².
b) Otro lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9,7 m/s ².
3) Si la gravedad de la Luna es de 1,62 m/s ², calcular el peso de una persona en ella,
que en la Tierra es de 80 kgf. Nota un kgf es igual a 9.8N
4) ¿Qué aceleración tiene un cuerpo que pesa 40 kgf, cuando actúa sobre él una fuerza
de 50 N?.
5) Calcular la masa de un cuerpo que aumenta su velocidad en 1,8 km/h en cada
segundo cuando se le aplica una fuerza de 60 kgf.
6) Las masas A, B, C, deslizan sobre una superficie horizontal debido a la fuerza aplicada
F = 10 N. Calcular la fuerza que A ejerce sobre B y la fuerza que B ejerce sobre C.
Datos: m A =10 kg
m B = 7 kg
m C = 5 kg
Resolver.
1.-Esteban jala un trineo a través de una superficie plana de nieve con una fuerza de 225
N, mediante una cuerda que forma un ángulo de 35° con la horizontal. Si el trineo avanza
65.3 m, ¿qué trabajo realiza Esteban?
2.- Se jala un trineo de 845 N una distancia de 185 m mediante una cuerda que ejerce
una fuerza de 125 N. Si el trabajo realizado fue de 1.2 x 104 J, ¿qué ángulo forma la
cuerda con la horizontal?
3.- Una cuerda arrastra un bloque de 10 Kg una distancia de 20 m por el piso contra una
fricción constante de 30 N. La cuerda forma un ángulo de 35° con el piso y tiene una
tensión de 60 N.
a) ¿Qué trabajo realiza la fuerza de 60 N?
b) ¿Cuál es el trabajo desarrollado por la fuerza de fricción? c) ¿Qué trabajo resultante se
ha realizado?
d) ¿Cuál es el coeficiente de fricción?
4. Un rifle dispara una bala de 4.2 g con una rapidez de 965 mIs.
a) Encuentre la energía cinética de la bala.
b) ¿Cuánto trabajo se realiza sobre la bala si parte del reposo?
c) Si el trabajo se realiza sobre una distancia de 0.75 m, ¿cuál es la fuerza media sobre la
bala?
COLOMBO AMERICAN SCHOOL
PEI: “LA LECTURA Y LA ESCRITURA, FACTORES DECISIVOS PARA LA EDUCACIÓN”
TRABAJO DE NIVELACIÓN DE FÍSICA GRADO UNDÉCIMO AÑO 2014
ACTIVIDAD Responde las siguientes preguntas






El vector velocidad lineal en un MCU es siempre
Calcula la velocidad angular aproximada en radianes/segundo de un cuerpo,
cuando la rapidez de su movimiento es 1m/s y el radio es igual a 30m
Averigua el período y la frecuencia del movimiento anterior
Un automóvil recorre la circunferencia de 50 cm de radio con una frecuencia de
10hz. Determinar: el periodo, la velocidad angular y su aceleración.
cuál es la aceleración que experimenta un chico que viaja en el borde de una
calesita de 2m de radio y que da vuelta cada 8 segundos.
calcular la velocidad angular y la frecuencia con que debe girar una rueda, para
que los puntos situados a 50cm de su eje estén sometidos a una aceleración que
sea 500 veces la de la gravedad.
ACTIVIDAD Resolver los siguientes ejercicios






Un objeto en movimiento en movimiento armónico simple con frecuencia de 10Hz
tiene una velocidad máxima de 3m/s. ¿Cuál es la amplitud del movimiento?
Respuesta. A 0,048m
La frecuencia de una partícula que oscila en los extremos de un resorte es de 5Hz.
¿Cuál es la aceleración de la partícula cuando el desplazamiento es 0,15m?.
Respuesta a = -147,9
Un resorte se estira 0,05m cuando se le cuelga una partícula de 0,3kg. a) ¿Cuál es
la constante del resorte? b) ¿Cuál es la frecuencia de vibración de la partícula en
el extremo del resorte?. Respuesta a) k = 60 N/m
b) f = 2, 27Hz
Un objeto unido a un resorte describe un m.a.s. Su velocidad máxima es 3 m/s y
su amplitud 0,4m. ¿Cuál es su desplazamiento cuando v=1,5 m/s. Respuesta x =
0.35m
Un objeto en movimiento armónico simple con una amplitud de 0,5m y un periodo
de 2s tiene una velocidad de 1,11m/s. ¿Cuál es la elongación?
El extremo de una de las ramas de un diapasón ejecuta un movimiento armónico
simple de frecuencia de 1000 oscilaciones por segundo y tiene una amplitud de
0,40mm. Encontrar: a) La aceleración máxima y la velocidad máxima del extremo
del diapasón. b) La aceleración y la rapidez de un extremo cuando tiene un
desplazamiento de 0,20mm.
ACTIVIDAD Resolver los siguientes problemas





Determínese la longitud de un péndulo simple cuyo período es exactamente 1s en
un punto donde g = 9.80 m/s ².
Cierto péndulo simple tiene en la tierra un período de 2s ¿Cuál sería su período en
la superficie de la luna, donde g = 1.7 m.s-2.
Se desea construir un péndulo de período 10s. ¿Cuál es la longitud de un péndulo
simple que tenga este período?.
El tiempo de un péndulo es de 1 s, ¿qué longitud debe tener en La Plata?, g
=9,7975 m/s ².
Determinar la longitud del péndulo que bate el segundo en un lugar donde la
aceleración de la gravedad es de 9,81 m/s ².










¿Cuál será el período de un péndulo cuya longitud es de 1,2 m de largo en un
lugar donde
g = 9,82 m/s ²?.
Si un péndulo tiene un período de 1,6 s, ¿cuál es la longitud? (g = 9,8 m/s ²).
Problema n° 1) Las ruedas de una bicicleta poseen a los 4 s una velocidad
tangencial de 15 m/s, si su radio es de 30 cm, ¿cuál será la aceleración
tangencial?.
Problema n° 2) Una polea posee una velocidad angular de 20 /s, si esta animada
por un M.C.U.V. y se detiene en 4 s, ¿cuál es la aceleración angular?.
Problema n° 3) Si la aceleración angular de un volante es de 0,3 /s ², ¿cuál es la
velocidad angular alcanzada a los 3 s?.
Problema n° 4) Un punto móvil gira con un período de 2 s y a 1,2 m del centro,
calcular:
a) La velocidad tangencial.
b) La velocidad angular.
Problema n° 5) La velocidad angular de un punto móvil es de 55 /s, ¿cuál es la
velocidad tangencial si el radio de giro es de 0,15 m?.
Problema n° 6) Calcular la aceleración angular de una rueda de 0,25 m de radio,
al lograr a los 20 s, una velocidad de 40 km/h.
ACTIVIDAD: Resolver los siguientes ejercicios
1.
Calcular la longitud de onda que emite una emisora de radio si su frecuencia
de emisión es 0,50 MHz.
2.
Un pescador observa que el corcho de la caña realiza 40 oscilaciones por
minuto, debidas a unas olas cuyas crestas están separadas 60 cm. ¿Con qué
velocidad se propaga la onda?
3.
Escribe la ecuación de una onda armónica que se propaga en sentido
positivo del eje X con una velocidad d 10 m/s, amplitud de 20 cm y frecuencia de
100 Hz
4.
En la siguiente onda: Y = 0,2 cos (20t – 10x) (Sistema internacional)
Calcular: a)
Longitud de onda
b)
Velocidad de propagación
5.
La ecuación de una onda sonora plana es:
y = 6 10-6 cos (1900 t + 5,72 x) (Sistema internacional)
Calcula la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación.
6.
Representa gráficamente el siguiente movimiento ondulatorio en el instante t
= 2 s. Y = 2 cos 2p (0,2t – 0,5x )
De forma que se visualicen dos ciclos completos. Consejos. Calcula primero la
longitud de onda, tienes que representar los valores de y frente a x, hasta un valor
de x igual al doble de la longitud de onda.
Construye una tabla de valores del tipo
x
0
0,1 l
0,2 l
y
Pero obteniendo al menos 11 valores durante el primer ciclo, ten en cuenta que el
segundo ciclo será exactamente igual que el primero.
Ejercicios
La ecuación de una onda transversal que se propaga a lo largo de una cuerda viene dada
por la expresión: y= 25 sen [ (0.80t-1.25x)], donde x e y se expresan en cm y t en
segundos. Determinad la velocidad máxima de oscilación que puede tener un punto
cualquiera de la cuerda
La ecuación de una onda armónica transversal que se propaga en una cuerda viene dada
por la expresión y= 0.5 sen [(x-0.1t- 1/3). Determinad: a)La amplitud, el período y la
longitud de onda. b)La frecuencia y la velocidad angular. c)La velocidad de propagación.
d)La velocidad máxima de un punto en vibración.
Responder
1. ¿Qué es longitud de onda?
________________________________________________________________________________
____________________________________________________
2. Una onda se propaga en cierto medio con velocidad v, si la frecuencia se duplica, ¿cuál será la
velocidad?
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________
3. ¿Qué fenómenos físicos se cumplen en una onda longitudinal?
________________________________________________________________________________
____________________________________________________
4. ¿Qué nombre recibe el cambio de la curvatura de la onda que se produce cuando ésta pasa a
través de un orificio?
________________________________________________________________________________
____________________________________________________
5. ¿Cuándo se produce el fenómeno de refracción?
________________________________________________________________________________
____________________________________________________
Resolver los siguientes problemas
1. El oído humano percibe sonidos cuyas frecuencias están comprendidas entre 20 y
20000 hertz . Calcular la longitud de onda de los sonidos extremos, si el sonido se
propaga en el aire con la velocidad de 330 ms-1.
2. Un foco sonoro colocado bajo el agua tiene una frecuencia de 750 hertz y produce
ondas de 2 m. ¿Con qué velocidad se propaga el sonido en el agua?
3. ¿Cuál es el nivel de sensación sonora en decibelios correspondiente a una onda de
intensidad 10-10 Wm-2? ¿Y de intensidad 10-2 Wm-2? (Intensidad umbral 10-12 Wm-2).
4. Demostrar que si se duplica la intensidad de un sonido, el nivel de sensación sonora
aumenta en 3,0 decibelios.
5. Un tubo de órgano abierto en los dos extremos tiene dos armónicos sucesivos con
frecuencias de 240 y 280 Hz ¿Cuál es la longitud del tubo?.
6. Calcular la frecuencia de los sonidos emitidos por un tubo abierto y otro cerrado de 1 m
de longitud produciendo el sonido fundamental. (Velocidad del sonido 340 ms-1)
7. Una cuerda de un instrumento musical tiene 0,84 m de longitud y su frecuencia fundamental es de 192 hertz. ¿Cuál será dicha frecuencia si la cuerda se acorta hasta 0,62 m.
8. Una profesora de física cuando da clase produce un sonido con una intensidad de 500
veces mayor que cuando susurra. ¿Cuál es la diferencia de niveles en decibelios?
9. La intensidad debida a un número de fuentes de sonido independientes es la suma de
las intensidades individuales ¿Cuántos decibelios mayor es el nivel de intensidad cuando
cuatro niños lloran que cuando llora uno?
Resolver los siguientes problemas:
1) El año luz es una unidad que sirve como medida de longitud en astronomía. Se lo
define como la longitud recorrida por un rayo luminoso en un año. Exprese un año-luz en
km.
2) Calcular el tiempo que tarda en llegar a la Tierra la luz de una estrella situada a
36.1012 km.
3) ¿Cuál será la distancia a que se encuentra una estrella cuya luz tarda 3,5 años en
llegar a la tierra?.
4) ¿Cuánto tiempo tardará la luz del sol en llegar a la Tierra si se admite como distancia
aproximada entre ellos 15.107 km?.
5) ¿A qué distancia se encuentra una estrella cuya luz tarda un año en llegar a la Tierra?.
6) Un rayo luminoso pasa del aire a otro medio formando un ángulo de incidencia de 40° y
uno de refracción de 45 °. ¿Cuál es el índice de refracción relativo de ese medio?.
7) Calcular el ángulo de incidencia de un rayo luminoso que al pasar del aire a la parafina,
cuyo índice de refracción es 1,43, forma un ángulo de refracción de 20°.
8) Un rayo luminoso pasa del aire al alcohol, cuyo índice relativo de refracción es 1,36.
¿Cuál es el ángulo límite?.
9) Si el ángulo límite de una sustancia es de 42°, ¿cuál es el índice de refracción?