Download EQUIVALENTE SERIE y DIVISIÓN DE VOLTAJE

03 - SUBCIRCUITOS EQUIVALENTES
Una de las estrategias para realizar el análisis de circuitos
es la simplificación. Ésta consiste en reemplazar o dividir el
circuito original en subcircuitos más sencillos que contengan
algunos elementos sin alterar la corriente o voltaje que
salen de esa región. Un subcircuito es una parte del circuito
original a la que se accede por dos terminales, el cual es
analizado y los resultados que se obtengan se aplican al
circuito original. Dichos resultados pueden ser utilizados en
el circuito original únicamente si los circuitos son
equivalentes. Esta equivalencia se dá en términos de la ley
terminal que es una función que relaciona el voltaje y la
corriente ( v  f (i ) ó i  f (v) ). Es decir, si la relación
entre el voltaje y la corriente en los terminales de ambos
circuitos son iguales entonces los circuitos son
equivalentes.
Dos tipos de circuitos que suelen presentarse en el análisis
son los circuitos serie y paralelo. A continuación se describe
el comportamiento de cada uno de ellos.
EQUIVALENTE SERIE y DIVISIÓN DE VOLTAJE
Dos elementos contiguos se dice que están conectados en
serie si en su parte de nodo común no existen conexiones
que permitan el flujo de otras corrientes a través de él.
Elementos no contiguos están en serie si cada uno de ellos
está en serie con el mismo elemento.
El elemento A está en serie con el elemento B, el elemento
B está en serie con el elemento C y el elemento A está en
serie con el elemento C. Vamos a observar cómo puede
simplificarse un circuito serie, tomaremos como ejemplo el
circuito de la figura 1. El objetivo de la simplificación es
convertirlo en el circuito de la figura 2
Para que estos circuitos sean equivalentes deben tener la
misma ley Terminal, vamos a encontrarlas y a compararlas.
Vamos a analizar el circuito de la figura 1: Aplicando LCK en
el nodo A tenemos:
i f  i1 , en el nodo C tenemos: i1  i2 ,
por lo tanto podemos definir una corriente i en todo el
circuito donde se cumple que:
aplicando LVK tenemos:
v2 en
i f  i1  i2  i .
V  v1  v2
Ahora
reemplazando
v1
como
i f  i1  i2  i
entonces: V  R1i  R2 i y factorizando V  ( R1  R2 )i
que es la ley terminal del circuito de la figura 1.
Ahora vamos a analizar el circuito de la figura 2:
Aplicando LVK tenemos: V  v reemplazando
en
términos de la corriente por medio de la ley de ohm
v
tenemos: V
 Req i
N
la resistencia equivalente es: Req   Ri
i 1
En la anterior ecuación se puede notar que cuando se
conectan N resistencias en serie, la resistencia total
aumenta.
DIVISIÓN DE VOLTAJE: El voltaje a través de resistencias
conectadas en serie es dividido en proporción directa a sus
valores. Por esta razón un circuito serie es llamado divisor
de voltaje.
Las fuentes de voltaje en serie se suman, las fuentes de
corriente en serie deben tener el mismo valor y dirección, de
lo contrario el circuito no se puede analizar porque viola las
leyes de Kirchhoff, por lo tanto genera inconsistencias
matemáticas.
EQUIVALENTE PARALELO y DIVISIÓN DE CORRIENTE
Dos elementos están conectados en paralelo si forman una
malla sin contener otros elementos, es decir si sus dos
terminales están conectadas a los mismos dos nodos.
Los elementos D y E están conectados en paralelo, ya que
tienen en común los dos nodos a los cuales están
conectados, los cables azules de la figura indican que estos
elemento están conectados por medio de ellos a otros
elementos.
Vamos a observar cómo puede simplificarse un circuito
paralelo, tomaremos como ejemplo el circuito de la figura 3:
El objetivo es convertirlo en el circuito de la figura 2. Vamos
a analizar el circuito de la figura 3:
Aplicando LVK en las mallas podemos concluir:
V  v1  v2 .
i f  i1  i2 ,
que es la ley terminal del circuito de la
figura 2. Comparando las leyes terminales de ambos
circuitos podemos concluir que para que sean equivalentes
Req  R1  R2
A partir del análisis anterior, se puede observar una
característica importante de los circuitos serie, esta
Aplicando LCK en el nodo A tenemos:
reemplazando
las
corrientes
de
las
resistencias en términos de voltaje por medio de la ley de
ohm tenemos:
y
términos de la corriente por medio de la ley de ohm
tenemos: V  R1i1  R2 i2 pero
característica es que a través de elementos conectados en
serie fluye la misma corriente, lo cual es consecuencia
directa de la LCK. Para N resistencias conectadas en serie,
if 
if 
v1 v2

R1 R2
y como
V
V

R1 R2
V  v1  v2


y factorizando: i f   1  1 V
R R 
2 
 1
Teniendo en cuenta que para que los dos circuitos sean
equivalentes las corrientes totales de ambos circuitos deben
ser iguales, y que la corriente total es la corriente de la
fuente, entonces se puede reemplazar i f por i y tenemos:
entonces:
 1
1 
i    V que es la ley terminal del circuito de la fig 3.
R
R
2 
 1
En el análisis del circuito serie ya habíamos encontrado que
la ley terminal del circuito de la figura 2 era V  Req i para
poder compararla con la del circuito paralelo, debemos
reescribirla despejando i , entonces: i 
V
, por lo tanto la
Req
condición que se debe cumplir para que ambos circuitos
sean equivalentes es: 1  1  1
Req
R1
R2
A partir de este análisis se puede observar que la
característica de un circuito paralelo es que todos los
elementos conectado en paralelo tienen el mismo voltaje, lo
cual es consecuencia directa de la LVK.
Para N resistencias conectadas en paralelo la resistencia
equivalente es:
N
1
1

Req i 1 Ri
ó también se puede calcular
N
la conductancia equivalente como:
Geq   Gi , donde:
i 1
Req 
R1 R2
1
, para N=2 tenemos: Req 
, esta
R1  R2
Geq
ecuación se cumple únicamente para dos elementos
conectados en paralelo, para N>2 se debe usar la ecuación
general.
En las anteriores ecuaciones se puede notar que cuando se
conectan resistencias en paralelo, la resistencia total
disminuye. Si se conectan N resistencias del mismo valor la
resistencia disminuye N veces: Req 
t


t
dv
1
d   Cv dv  Cv 2 (t )

d
2
El capacitor es un elemento pasivo pero a diferencia de la
resistencia, el capacitor no disipa la energía sino que la
almacena y ésta se puede recuperar en su totalidad.
Capacitancias en serie:
N
1
1

C s n1 Cn
Capacitancias en paralelo: C p 
N
C
n 1
DIVISIÓN DE CORRIENTE: La corriente que fluye a través
de resistencias conectadas en paralelo se divide en
proporción directa a su conductancia. Por esta razón un
circuito paralelo es llamado divisor de corriente.
Las fuentes de corriente en paralelo se suman, las fuentes
de voltaje en paralelo deben tener el mismo valor y
polaridad.
04 - EL CAPACITOR Y EL INDUCTOR
El capacitor y el inductor generan ecuaciones integro
diferenciales. Estos elementos se conocen como dinámicos
porque almacenan energía que posteriormente puede ser
recuperada. También se les llama elementos de
almacenamiento.
CAPACITOR: Es un dispositivo de dos terminales que
consiste de dos cuerpos conductores separados por un
material no conductor. Este material no conductor se
conoce como aislante o dieléctrico. Debido al dieléctrico las
cargas deben moverse entre los conductores por medio de
un circuito externo. En los capacitores la relación carga-
voltaje es lineal: q  Cv . C se conoce como la
capacitancia del dispositivo y se mide en Coulombs por
voltio o Faradios (F). Un capacitor de 1F separará una carga
de 1C por cada voltio de diferencia de potencial entre sus
placas. La carga neta dentro del capacitor siempre es
dv
dt
Si v es constante entonces i es cero. Un capacitor actúa
como un circuito abierto ante un voltaje dc. El capacitor
no permite cambios abruptos de voltaje. La corriente puede
ser discontínua aunque el voltaje sea contínuo.
ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA EN EL CAPACITOR
Las cargas almacenadas en el capacitor tienen una fuerza
eléctrica asociada. Por lo tanto, la energía se almacena en
un campo eléctrico.
n
INDUCTOR
Un inductor es un dispositivo de dos terminales que consiste
de un alambre conductor embobinado alrededor de un
núcleo. La corriente que fluye a través de él produce un flujo
magnético  que forma trayectorias cerradas que pasan por
  N
las espiras. El flujo total por N espiras es:
.
Para inductores lineales la relación de flujo es directamente
  Li
proporcional a la corriente
.
La inductancia se mide en Webers por Amperio o Henrios
(H). El incremento de flujo induce un voltaje en la bobina. La
ley de inducción electromagnética es:
R
N
cero. La ley terminal de un capacitor es: i  C
t
wc (t )   vi d   v C
v
La ley terminal de un inductor es: v  L
d
.
dt
di
. Si la corriente es
dt
constante entonces el voltaje es cero. Un inductor se
comporta como un corto circuito ante una corriente dc. La
corriente en un inductor no puede cambiar abruptamente.
Almacenamiento de energía en el inductor
Del mismo modo que se realizó trabajo al mover cargas
entre las placas en un capacitor, el circuito externo debe
realizar un trabajo para establecer el flujo magnético. Esta
energía se almacena en el campo magnético y puede
recuperarse.
t
t


wL (t )   vi d   L
t
di
1
i d   Li di  Li 2 (t )

d
2
Al igual que el capacitor, el inductor no disipa energía sino
que la almacena.
N
Inductancias en serie:
Ls   Ln
n 1
N
Inductancias en paralelo: 1   1
L p n 1 Ln
CAPACITORES E INDUCTORES PRÁCTICOS
Los capacitores están disponibles en varios tipos, valores y
regímenes de voltaje, y como elementos discretos o en CI.
El tipo de capacitor se clasifica generalmente por la clase de
dieléctrico que utiliza. La capacitancia se determina por el
tipo de dieléctrico y la geometría. El régimen de voltaje es el
máximo voltaje al cual puede ser sometido el capacitor.
Estos capacitores reales disipan pequeñas cantidades de
energía, debido a fugas producidas en el dieléctrico que no
tiene conductancia nula. Los capacitores de valor alto tienen
polaridad.
Los inductores prácticos solo están disponibles como
elementos discretos. Disipan una pequeña cantidad de
energía debido a la resistencia del cable.