Download matemáticas 5º: unidad 2

ACTIVIDADES
1.
¿Cuántos múltiplos tiene un número?, y, como mínimo ¿cuántos divisores?
2.
Escribe 4 múltiplos de 2 y 4 múltiplos de 5.
3.
Escribe 4 divisores de 100.
4.
Razona e indica si es verdadero (V) o falso (F):
a) 381
es divisible por 3 .........................
b) 1384
es divisible por 2 .........................
c) 5295
es divisible por 3 y por 5 ...........
5.
Calcula un número divisible por 50, mayor que 200 y menor que 300.
6.
El número 68a4b es divisible por 5 y por 3. Halla los valores de a y de b.
7.
Clasifica en primos y compuestos los siguientes números: 12, 3, 9, 55, 2, 115, 301, 27, 29, 101.
8.
Descompón en factores primos los siguientes números: 21, 52, 36, 231, 66, 100, 999.
9.
Calcula estos números y escribe sus divisores.
Divisores
a) 23 · 3 =
......................................................................................
b) 22 · 3 · 5
......................................................................................
c) 20 · 3 · 52
......................................................................................
10.
Los números 8 y 21 son primos entre sí. Calcula su m.c.m.
11.
Calcula los 5 primeros múltiplos de 4.
12.
¿Es el primer número que se presenta múltiplo del segundo?:
a) 35.677
78
.................
b) 11.520
45
.................
c) 35.656.365
15
.................
13.
Calcula el número más pequeño que debemos sumar al número 3.456 para obtener un múltiplo de 3,
de 9 y de 11.
14.
Descompón en factores primos los siguientes número: 52, 49, 101, 99, 600 y 1500.
15.
Descompón en factores primos los números: 144, 60, 90, 540, 657 y 78.
16.
De los 50 primeros números naturales, ¿cuáles son primos?
17.
¿Son correctas las siguientes afirmaciones? Razona la respuesta:
a) 112 es divisor de 3
...................
b) 12 es divisor de 5
...................
c) 8.888 es divisible por 8 ...................
d) 77 es divisible por 7
...................
e) 10 es divisor de 0
...................
f)
40 es múltiplo de 10
g) 2 es múltiplo de 4
...................
...................
1
18.
¿Será primo un número de dos cifras que no es divisible por 2, ni por 3, ni por 5, ni por 7?. Razona la
respuesta.
19.
Contesta a las siguientes preguntas:
a. ¿Cuántos divisores tiene un número primo?
b. ¿Cuántos divisores tiene el número 0?
c.
¿Es el número 0 divisor de algún número?
20.
Si un número tiene dos divisores distintos ¿cómo es ese número?
21.
Razona que 55 + 66 + 88 es múltiplo de 11 sin efectuar la suma?
22.
Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de las siguientes parejas de números:
a. 150 y 175
b. 78 y 128
23.
¿Qué valores puede tener el número x para que se verifique la siguiente igualdad?: m.c.m.(x, 30) = 30
24.
Calcula el m.c.d. y el m.d.m. de los siguientes grupos de números:
a. 2 y 64
b. 3 y 25
c. 4 , 6 y 12
25.
Razona la respuesta: ¿es posible encontrar dos números tales que su m.c.d. coincida con uno de
ellos? Pon ejemplos.
26.
Calcula un número sabiendo que al dividirlo por 2 y por 3 su resto es 1.
27.
Calcula un número sabiendo que al dividirlo por 2, por 3, por 4 y por 5, su resto es 1.
28.
Calcula un número sabiendo que al dividirlo por 5 y por 9 su resto es 2.
29.
Si ganara 56 euros menos al mes podría gastar: 35 euros en alquiler de una casa, 40 euros en la
manutención, 18 euros en el colegio de los niños, 59 euros en gastos en general y podría ahorrar 32
euros. ¿Cuánto gano al mes?
30.
El mayor de dos números es 9.876 y la diferencia entre ambos es 3.456. Halla el número menor.
31.
Si tuviera 35 caballos más de los que tengo tendría 216. ¿Cuántos caballos tiene mi hermano si el
número de los míos excede al número de los suyos en 89?
32.
El lunes ingreso 500 euros en el banco, el martes pago un recibo de 256 euros, el miércoles pago 96
euros de luz y el jueves ingreso 84 euros. Si presto entonces 45 euros, ¿cuánto dinero tengo?
33.
Se repartió cierto número de manzanas entre 19 personas y, después de dar 2 manzanas a cada
persona, sobraron 8 manzanas. ¿Cuántas manzanas teníamos antes del reparto?
34.
Un profesor desea hacer grupos con sus alumnos/as de dos o de tres, pero le sobra un/a alumno/a; en
cambio si los agrupo de 5 en 5 no le sobra ninguno/a. ¿Cuántos alumnos/as tiene si no hay más de
40?
35.
Disponemos de una plancha de contrachapado de forma rectangular que mide 52 cm de largo por 40
cm de ancho. Se quiere contar en cuadrados que tengan la mayor superficie posible.
a. ¿Cuáles serán las medidas?
b. ¿Cuántos cuadrados obtendremos?
36.
Eva tiene una caja de caramelos y le dice a su amiga Ana que se la regala si acierta cuántos tiene. Le
da estas pistas: “la caja tiene menos de 60 caramelos. Si los reparto entre 9 amigos no sobra ninguno,
pero si los reparto entre 11 amigos me sobra 1 caramelo”. Ayuda a Ana a conseguir los caramelos.
37.
Andrés tiene una colección de sellos que puede agrupar de 4 en 4, de 3 en 3 y de 5 en 5 sin que le
sobre ninguno. ¿Cuál es el menor número de sellos que puede tener?
2
38.
Pedro, José y Antonio disponen de trozos de alambre que miden 32 cm. 53 cm. y 74 cm. cada uno.
Quieren cortarlos en el número menor de trozos posible, de manera que a cada uno le sobren 4 cm.
de alambre.
a. ¿Cuánto medirá cada trozo?
b. ¿Cuántos trozos de alambre obtiene cada uno?
39.
En un árbol de Navidad hay bombillas de tres colores: amarillas, verdes y rojas. Las primeras se
encienden cada 15 segundos, las segundas cada 18 segundos y las terceras cada 10.
a. ¿Cada cuántos segundos coinciden las tres bombillas encendidas?
b. ¿En una hora, ¿Cuántas veces se encienden a la vez?
40.
María y Juan se turnan para ir a ver a sus padres. María va cada 5 días y Juan cada 6 días.
Coincidieron el día 24 de diciembre.
a. ¿Cuándo volverán a coincidir?
b. ¿Cuántas visitas habrá hecho cada uno?
3
II
NÚMEROS ENTEROS
II.1 Definición y operaciones
Los números enteros son el conjunto formado por los números naturales, el cero y los enteros
negativos. Se les representa por la letra Z, y son Z = { ... –3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}
Conviene tener presente que los enteros positivos dado que son los mismos números naturales, se
puede prescindir del signo para representarlos, pero esto no se puede hacer nunca con los enteros
negativos. Así pues, los enteros se pueden escribir Z = {... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
1. Propiedades de la suma
Propiedad conmutativa: El orden de sumandos no altera la suma.
 De la suma: a + b = b + a
Ej. (-3) + (-4) = (-4) + (-3)
Propiedad asociativa: Asociando los sumandos de formas diferentes no altera la suma.
 De la suma: (a + b) + c = a + (b + c)Ej. [(-3) + 2] + (-8) = (-3) + [2 + (-8)]
Elemento opuesto:
 Todo número entero tiene opuesto: op(-5) = 5; op(6) = -6
2. Propiedades del producto
Regla de los signos para la multiplicación:
+ .+= +
_ . _
= +
+ . _= _
_ .
+ = _
Propiedad conmutativa: El orden de factores no altera el producto.
 De la multiplicación: a . b = b . a
Ej. (-3) . 4 = 4 . (-3)
Propiedad asociativa: Asociando los factores de formas diferentes no altera el producto.
 De la multiplicación: (a . b) . c = a . (b . c)
Ej. [(-3) . 4] . (-5) = (-3) . [4 . (-5)]
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma:
 a . (b + c) = a . b + a . c
Ej. (-3) . [4 + (-5)] = (-3) . 4 + (-3) . (-5)
II.2 Orden y representación de los números enteros
Símbolo
Se lee
Ejemplo
>
<
=
mayor que
menor que
igual a
5>2
3 < 15
7=7

igual o mayor
que
3  1; 6  6

igual o menor
que
5  8; 7  7
4
Se representan en una recta numérica colocando los números negativos a la izquierda del cero y los
positivos a la derecha.
-3
-2
-1
0
1
2
3
Cualquier número negativo es menor que cero y cualquier número positivo es mayor que cero.
II.3 Valor absoluto:
Se llama valor absoluto de un número entero al valor que tiene prescindiendo del signo. Se representa
escribiendo el número entre barras.
Ej. – 8 = 8 ; se lee: valor absoluto de menos 8 es igual a 8
+ 5 = 5 ; valor absoluto de mas 5 es igual a 5.
5
ACTIVIDADES
1.
Una sustancia que se encuentra a 35º bajo cero pasa a 3º bajo cero. ¿Cuál es la variación de temperatura
que ha experimentado?
La temperatura de una ciudad pasa de –3º C durante la noche a 15ºC durante el día. ¿Cuál el la
variación de temperatura?
1.
2.
Calcula:
i. ( 4) + (+ 6)
ii. (+2 – 5) + (
iii. – (
3)
2+7) –(
4)
2) – [3 + 3 (
iv. 6 + (
5)]
v. 8 + ( 5 + 3)
vi. ( 12 + 15) + ( 3 + 2 + 1) + 4 +( 5 + 3)
vii. (
3) + (+2) – (
viii. (
3) + (
ix. 4 – (
5)
8)
3) + ( 2 – 7)
x. 6 – 8
xi. –2 –5
xii. – (
3) + (
xiii. – 2 + (
xiv.
6+(
6 + 4)
4 –3 +1)
8 + 5)
xv. 6 + 3 – 7
xvi. (
3.
2 + 4) – (
6 +3)
Representa en una recta los siguientes números enteros:
i. – 4, +6 , 3 , - 1 , 8
ii. Los 4 números anteriores a –90
iii. Los 4 números posteriores a –90
4.
5.
Calcula:
4 , +8 ,
7 +3
,
3+1
Responde si es verdadero (V) o falso (F) :
i. El conjunto de los números naturales tiene último elemento
.....................
ii. Todo número natural tiene opuesto natural
.....................
iii. El conjunto de los números enteros tiene primer elemento
.....................
iv. Todo número entero tiene opuesto entero
6.
Define con símbolos matemáticos los siguientes conjuntos:
i. Los números enteros comprendidos entre –15 y +15
ii. Los números enteros comprendidos entre +3 y +50
iii. Los números enteros mayores o iguales que – 8 y menores que + 40
iv. Los números enteros mayores que – 2 y menores o iguales que +10
6
7.
Siendo m =
i. m + n
2 , n =+ 5 y p =
6, calcula:
ii. m + p
iii. m – n
iv. n – p
v. m + n + p
vi. p – m
vii. p – m – n
viii. p – ( m – n)
ix. m – (p – n)
x. m – p – n
8.
Calcula:
i. ( 2) + (
ii. 6 – (
iii. – (
5 + 4) – (
8)
4 + 6) – (
iii. – (
2) + (
iv. ( 3 + 2) – (
10.
6 + 3)
5 – 2) – ( + 3 – 1)
Calcula:
i. ( + 3) (
ii. (
4 –7)
8) + (
iv. + 8 – (
9.
3 – 6)
8 + 2)
1) – ( 7 + 4)
8) + (
3 + 4)
Calcula:
i. –
2 + 5)]
ii. ( + 6
iii. (
iv.
11.
i.
Calcula:
[2+6
ii. [
(+ 8)]
iii.
iv. 4
12.
Calcula:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
4) + (
– ( + 8)
(
)]
7
13.
Calcula:
i. ( 3)
ii. + 3
14.
iii.
)
iv.
8)
Calcula:
i. (
ii. ( +4) · (
iii. (
iv. (
15.
Calcula:
i. ( + 5) · ( + 7)
ii. ( + 5) · ( 3
iii. (
iv. (
16.
Calcula:
i. (
ii. (
iii. (
iv. [(
17.
Calcula:
i. (+ 3) · (
ii. (
4)
· (+ 3)
iii. (+ 2)
+ (+ 3) · (
iv. (
18.
Calcula:
i. (
ii. (+ 3)
8+(
iii.
iv. 2
19.
Resuelve utilizando el orden de preferencia de operaciones:
i.
· [(
ii.
8)]
iii.
iv. 4 · (
20.
Calcula:
i. (
ii. ( 5
iii. (
iv. (
12) · 15 + 26 · (
2)
]
8
21.
Halla las siguientes operaciones indicando si el resultado es un número entero o un número
natural:
i. Suma 3 al opuesto de
ii. Multiplica el opuesto de 4 por el opuesto de
iii. Al opuesto de 50 réstale el producto de
iv. Suma al opuesto de
22.
23.
Calcula las siguientes potencias:
5
i. (
ii. (
2
iii. (
4
iv. (
3
Calcula expresando el resultado en forma de potencia:
i. (
10
ii. (
2
·(
·(
0
iii. (
5)6 : (
iii. [(
2]3
iv. [(
3]5
3
·(
·(
10
5
0
·(
5
2
·(
Calcula expresando el resultado en forma de potencia:
3 : (
4
i. (
ii. (
2)5 : (
2
iii.  
5
3
2
 3
iv. 

 2 
26.
·(
Calcula expresando el resultado en forma de potencia:
2
i. [(
ii. (
25.
4
·(
2
iv. (
24.
4
3
Calcula expresando el resultado en forma de potencia:
6 : (
2
i. (
(2)·(2) 3
ii.
(2) 6
iii. [(
iv. (
2]3
2