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RESPUESTA FORZADA A EXCITACIÓN SINUSOIDAL
Ecuación diferencial general para circuitos lineales de orden n
d n X (t )
dt
n

n 1

k 1
ak
d k X (t )
dt
k
 bX (t )  cX f (t ) , donde X f (t ) es la excitación
o una de sus derivadas (dependiendo de la variable circuital).
Si X f (t )  K1 cos  t   K 2 sen  t  , como X (t )  X h (t )  X p (t )
entonces se postula X p (t )  A cos  t   B sen  t  , ya que:
d k cos t  
(1) m  2m cos t , si k  2m

m 2m 1

sen t , si k  2m  1
dt k
(1) 
d k sen t  
(1) m  2m sen t , si k  2m

m 1 2m 1


cos t , si k  2m  1
dt k
(1)
La respuesta forzada de un circuito lineal de cualquier orden ante una
excitación definida como un seno, un coseno, o una combinación lineal de
senos y cosenos de la misma frecuencia, es una combinación lineal de
senos y cosenos con la misma frecuencia de la excitación.
Ejemplo
v(t )  R i (t )  L di (t ) dt
i p (t )  10 V
v(t )  10 V cos( t )
EC2272 / Tema 2
R 2   2 L2
i p (t )  7,17 cos( t )  4,5 sen( t ) mA
f=1 kHz, =6,28 krad/s
R=1 k, L=0,1 H
R cos( t )  L sen( t )
v R (t )  7,17 cos( t )  4,5 sen( t ) V
v L (t )  2,83 cos( t )  4,5 sen( t ) V
Prof. Orlando Sucre
Enero 2008
Formas de onda de los voltajes del ejemplo
10
v(t ) : Rojo
5
v R (t ) : Azul
0
v L (t ) : Verde
-5
Escala de tiempo:
-10
0,2 ms/div
Formas adicionales de postular la respuesta forzada a sinusoides
 Con función coseno desfasada
X p (t )  C cos( t   ) ,  = ángulo de desfasaje (en grados)
C cos( t   )  C cos( t ) cos  C sen( t ) sen   A cos  t   B sen  t 
   tan 1 B A
C  A2  B 2
Para el ejemplo anterior, se tendría:
i p (t )  8,4674 cos( t  32,1418 ) mA
v R (t )  8,4674 cos( t  32,1418 ) V
v L (t )  5,3159 cos( t  57,8347 ) V
 Con función exponencial compleja


C cos( t   )  Re C e j ( t  ) (por identidad de Euler)
Se excita con X f (t )  X f e j t , donde X f  X f e j es complejo
Se postula entonces X p (t )  X e j t , donde X  X e j es complejo
Una vez determinada X p (t ) , se obtiene X p (t ) :




X p (t )  Re X p (t )  Re X e j t  X cos( t   )
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Detalles sobre la obtención de X p (t ) (excitación con exponencial compleja)
Al sustituir X p (t )  X e j t y X f (t )  X f e j t en la ecuación
d n X (t )
dt
n

n 1

k 1
d k X (t )
ak
dt
k
 bX (t )  cX f (t ) ,
se obtiene:
 j 
n
Xe
j t

n 1
 ak  j k X e j t  bX e j t  c X f
e j t
k 1
Cada derivada
d k X (t )
dt k
queda remplazada por  j k X e j t
Factorizando:
n 1


n
k
j t
 c X f e j t
 j    ak  j   b X e


k 1
La ecuación diferencial queda remplazada por un polinomio en  j 
cuyos coeficientes son los coeficientes de la ecuación diferencial,
multiplicado por la solución.
Dicho polinomio es el polinomio característico asociado a la ecuación
diferencial homogénea, evaluado en s   j  , donde  es constante.
Despejando:
cXf
X
 j 
n

n 1
 ak  j k  b
k 1
Al postular la solución como una exponencial compleja, se puede obtener
la solución mediante operaciones algebraicas con números complejos.
Además, puede obtenerse la solución prescindiendo del factor e j t .
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Análisis de circuitos en régimen sinusoidal permanente (RSP)
Se define como Régimen sinusoidal permanente a la respuesta forzada de un
circuito lineal ante una excitación sinusoidal, con condiciones iniciales nulas.
Dado que puede obtenerse dicha respuesta prescindiendo del factor e j t , se
utiliza la siguiente estrategia de análisis:
1. Modelaje en el dominio fasorial: Se modela a cada fuente de voltaje o
corriente mediante un fasor, y a cada elemento pasivo por una inmitancia.
2. Solución en el dominio fasorial: Se resuelve el circuito utilizando las
mismas técnicas de análisis utilizadas para circuitos de corriente continua
(análisis algebraico), obteniéndose los fasores de voltaje y/o corriente
correspondientes a las variables circuitales que se desea conocer.
3. Transformación al dominio temporal: Pueden obtenerse las soluciones en
el dominio del tiempo aplicando la transformación


X (t )  Re X e j t  X cos  t  arg( X) 
Concepto de fasor
Sean v(t )  V cos  t  v  e i (t )  I cos  t  i  cualquier voltaje o
corriente de un circuito en RSP. Entonces:

 


 

v(t )  Re V e j  t v   Re V e j t ,
i(t )  Re I e j  t i   Re I e j t ,
donde V  V e jv
donde I  V e ji
Los números complejos V e I se denominan fasores, contienen la
información de amplitud y fase inicial de v(t ) e i(t ) (respectivamente), y
representan a éstos en el dominio fasorial.
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Representación gráfica de los fasores en el plano complejo
Voltaje V  V e jv
Corriente I  V e ji
Los números complejos V e j t e I e j t son fasores que giran en sentido
antihorario en el plano complejo, con velocidad angular  y período
2/. El ángulo que forman los fasores giratorios con el eje real en cada
instante de tiempo es la fase instantánea del voltaje (o la corriente). A la
diferencia de fase (ángulo) entre dos fasores distintos cualesquiera de un
circuito se le llama desfasaje.
La proyección de los fasores giratorios V e j t e I e j t sobre el eje real
son el voltaje instantáneo v(t ) y la corriente instantánea i(t ) .
Leyes de Kirchoff en el dominio fasorial
Ley de los voltajes de malla

0   vk (t )   Re Vk e j t
k

Diagrama fasorial
k



 Re  Vk  e j t    Vk  0

 k

k

Ley de las corrientes de nodo

0   ik (t )   Re I k e j t
k

Diagrama fasorial
k



 Re  I k  e j t    I k  0

 k

k

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Definición de inmitancia
La inmitancia de un elemento circuital (o combinación de elementos) es la
relación entre el fasor de la corriente que entra a sus terminales y el fasor
de voltaje entre los terminales. El concepto de inmitancia agrupa a los
conceptos de impedancia y de admitancia:
Impedancia
Z
Admitancia
V
()
I
Y
I
(ó Siemens ó “mho”)
V
Inmitancias de los elementos pasivos básicos
Resistencia
Z  R (Resistencia)
v(t )  R i(t )  V  R I   R
1
YR  R  G (Conductancia)
Inductor
v(t )  L
Z L  j L  jX L (Reactancia inductiva)
di(t )
 V  j L I  
1
dt
YL   j L    jBL (Suceptancia inductiva)
Condensador

dv(t )
Z L   j C -1   jX C (Reactancia capacitiva )
i(t )  C
 I  j C V  
dt

YL  j C  jBC (Suceptancia capacitiva )
Combinación de inmitancias en serie y en paralelo
Serie
Paralelo
Veq   V   Z I  I  Z  I Z eq
I eq   I   Y V  V  Y  V Yeq
Z eq   Z ; Yeq 
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1
1


Z eq  Z 1 Y
Yeq   Y ; Z eq 
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1
1


Yeq Y 1 Z
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