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Ecuaciones
Introducción:
Una expresión algebraica es una combinación de números y símbolos (que representan
números). Por ejemplo: 5x2 + 3x3y3z.
Un término es una combinación de números y símbolos (que representan números)
unidos por operaciones de multiplicación o división. Por ejemplo: 5x2, 3x3y3z son los
términos de la expresión algebraica 5x2 + 3x3y3z.
Un factor es cada uno de los componentes de un término. Por ejemplo: 5 y x2, son los
factores del término 5x2 de la expresión algebraica 5x2 + 3x3y3z .
Elegido un factor, un coeficiente, es lo queda del término. Por ejemplo: 3 es el
coeficiente de x3y3z, x3 es el coeficiente de 3y3z, z es el coeficiente de 3x3y3 y así
sucesivamente. Si el coeficiente es un número se le llama coeficiente numérico.
Dos términos se dice que son similares cuando sólo se diferencian en el coeficiente
numérico.
El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo: el
grado del término 3x3y3z es 7. El grado de una constante es cero.
Las ecuaciones son igualdades. Nunca debemos olvidar esto.
Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son iguales
para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la
expresión es una identidad. Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados
valores de la expresión es una ecuación.
Por ejemplo: 2x2 + 5x2 + x2 = 8x2 es una identidad y 2x2 + 3x = 5 es una ecuación.
Clasificación
Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas:
a) Por el número de incógnitas.
Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x + 4 = 10,
sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene dos y 5xy - 3x2 + z = 8 tiene tres
incógnitas.
b) Por el grado de la incógnita.
Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la incógnita (el
grado es el exponente más alto de la incógnita).
Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las fórmulas
son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que 2).
¿Cómo se resuelven las ecuaciones?
Ecuaciones de primer grado y una incógnita
Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver, basta con despejar
la x. Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual. Para pasar un
número, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:
-Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando. En nuestro caso
quedaría ax = -b
-Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando. En
nuestro caso x = -b/a.
Ecuaciones de segundo grado y una incógnita
Ecuación completa
Las ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0, también son muy sencillas de resolver.
Basta aplicar la siguiente fórmula:
 b  b 2  4ac
x
2a
Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a -b la raíz y lo dividimos por 2a, y
otra solución cuando restamos a -b la raíz y lo dividimos por 2a.
Ecuaciones incompletas:
0
 x2  0  x  0  0
a
c
b) ax2 + c = 0  ax 2  c  x 2 
x
a
a) ax2 = 0  x 2 
c) ax2 + bx = 0
x(ax + b) = 0
c
a
x = 0 ó ax + b = 0
x
b
a
Propiedad:
b2 – 4ac =  tenemos varias posibilidades
Si llamamos a
a)  0 dos soluciones
b) 0
ninguna solución ( es raíz par negativa)
c)   0 una solución, ya que quedaría la raíz cero
Ecuaciones bicuadradas:
Son aquellas de la forma ax4 + bx2 + c = 0, se resuelven simplemente sustituyendo la x2
por la letra t, de tal forma que quedaría la ecuación at2 + bt + c = 0 hallándola como una
ecuación de 2º grado normal. Al llegar a las soluciones solamente hay que extraer la raíz
cuadrada de la t, para conseguir los valores de x.
Ecuaciones irracionales:
Son aquellas ecuaciones en las que alguna de las incógnitas se encuentran bajo el signo
del radical.
Se resuelven aislando una por una todas las raíces en el término en el que queden en
positivo y elevando al cuadrado los dos términos para así poder eliminarlas (aislar,
operar y elevar). Se repite este proceso todas las veces necesarias hasta que no quede
ninguna raíz. Posteriormente se resuelve la ecuación resultante.
4 x  1  3x  2  1
2
4 x  1  (1  3 x  2 ) 2
2
4 x  1  12  3 x  2  2.1. 3 x  2
4 x  1  1  3x  2  2 3x  2
4 x  1  1  3x  2  2 3x  2
( x  2) 2  ( 2 3 x  2 ) 2
x 2  4  4 x  4(3 x  2)
x 2  8 x  12  0
Sistemas de ecuaciones lineales
Definición
Un sistema de ecuaciones lineales son dos o más ecuaciones lineales que se tienen que
cumplir simultáneamente.
Sea el sistema de ecuaciones lineales:
ax + by = c
kx + gy = h
Siendo x e y las incógnitas y las demás letras los coeficientes, a las letras c y h se les
llama términos independientes.
Métodos de resolución (igual número de ecuaciones que incógnitas)
Método de eliminación por substitución
2x - 3y = 5
x- y=2
Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra.
x=2+y
2(2 + y) = 5.
Resolviendo esta ecuación obtenemos y = -1 y sustituyendo este valor en
cualquiera de las ecuaciones obtenemos el valor de la otra incógnita.
Método de eliminación por igualación
2x - 3y = 5
x- y=2
Despejando x en la primera ecuación x = (5 + 3y)/2 y en la segunda x = 2 + y
Igualando (5 + 3y)/2 = 2 + y. Resolviendo la ecuación obtenemos y = -1 y sustituyendo
este valor en cualquiera de las ecuaciones obtenemos x = 1.
Método de eliminación por reducción
2x - 3y = 5
x- y=2
Multiplicando la segunda ecuación por -2, queda:
2x - 3y = 5
-2x + 2y = -4
Sumando las dos ecuaciones obtenemos -y = 1. Luego y = 1 y sustituyendo este valor en
cualquiera de las ecuaciones tenemos que x = 1.