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Operaciones con Números Racionales
Matemática y su enseñanza II
Operaciones con Números Racionales
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
De fracciones de Igual Denominador:
Para sumar fracciones de igual denominador se coloca el mismo
denominador y se suman los numeradores.
Este procedimiento está
fundasmentado en el siguiente ejemplo:
2 1 3
 
5 5 5
+
=
Generalizando entonces:
a c ac
 
b b
b
Para restar fracciones de igual denominador se coloca el mismo
denominador y se restan los numeradores. Este procedimiento está
fundasmentado en el siguiente ejemplo:
3 1
 
4 4
+
=
Generalizando entonces:
Queda a cargo del alumno el
cumplimiento de este apartado
 
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Matemática y su enseñanza II
De fracciones de Distinto Denominador:
1 2
 , es conveniente buscar fracciones
2 3
equivalentes con igual denominador y proceder como en el caso anterior; es decir
para nuestro ejemplo:
Si debemos sumar por ejemplo
1 2
 
2 3
3 4 7
 
6 6 6
Graficamente podemos ejemplificar este procedimiento:
+
=
+
=
Generalizando entonces:
Siendo
menor
dados.
a c a.d  c.b
 
b d
b.d
b.d
de
el multiplo comun
los denominadores
Para sumar fracciones de distinto denominador se busca un denominador
comun que es el múltiplo común menor de los denominadores dados y se
lleva las fracciones dadas a equivalentes dividiendo por el denominador y
multiplicando por el numerador.
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1 3

, es conveniente buscar fracciones
5 20
equivalentes con igual denominador y proceder como en el caso anterior; es decir
para nuestro ejemplo:
Si debemos restar por ejemplo
1 3


5 20


Graficamente podemos ejemplificar este procedimiento:
-
=
-
=
Generalizando entonces:
a c
 
b d
Queda a cargo del alumno el
cumplimiento de este apartado
Para restar fracciones de distinto denominador..............................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
.................................................................................................................................
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MULTIPLICACIÓN
De una fraccion por un número natural
Sabiendo el concepto de la operación multiplicacion como una adicion abreviada
podemos pensar el siguiente ejemplo.
1
.5 
6
1 1 1 1 1 5
    
6 6 6 6 6 6
Es decir para multiplicar una fraccion por un número natural se multiplica el
numerador por el número natural y se mantiene el denominador.
Generalizando
a
a .n
.n 
b
b
De una fraccion por otra fracción
Conociendo que una fraccion es un operador donde el numerador siempre indica
multiplicacion y el denominador division, intentemos resolver la siguiente
operación con estos conceptos.
1 3
. 
2 5
Tomemos la primera fraccion y representemosla graficamente
Luego dividamos a la misma en 5 partes y de la misma pintemos , entonces del
3
entero primitivo queda pintado
10
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Para multiplicar dos fracciones se multiplican los numeradores entre si y de
manera analoga los denominadores.
Generalizando
a c a .c
. 
b d b.d
Recuerda que se pueden simplificar siempre un numerador con un denominador.
DIVISIÓN
Si se recuerda el concepto de division de numeros naturales
A : B = C  C. B= A
es decir vemos cuantas veces el número B está contenido en A.
De manera analoga si queremos realizar la siguiente operación:
1 1
1
1
:  debemos ver cuantas veces
está contenido en
. Si lo pensamos
2 8
8
2
graficamente
½
1/8
Es decir está contenido 4 veces.
Por lo que se puede concluir en que
Para dividir dos fracciones se multiplica la primera por el inverso de la
segunda.
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Generalizando
a c a .d
: 
b d b.c
POTENCIACION Y RADICACIÓN
La potenciacion y radicacion se realiza de manera analoga a la de los números
enteros, con las propiedades y la regla de los signos de los mismos.
a n an
( )  n
b
b
a
a

b
b
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EXPRESIONES DECIMALES
Un poco de historia
¿Cómo surgió nuestra manera de escribir los decimales?
Nuestra escritura decimal es consecuencia directa de la utilización de fracciones
decimales (con denominador 10 o potencia de 10).Durante bastante tiempo se
utilizaron fundamentalmente fracciones sexagesimales ( de denominador 60). Un
defensor a ultranza de las fracciones decimales fue François Viète (1540-1603).
En 1579, en unos de sus trabajos escribe 141421'35624 como 141421. 35624. Unas
páginas más adelante escribe 314159'26535 como 314159.
y un poco más
adelante escribe este mismo número como 314159.26535, con la parte entera en
negrita. En algunas ocasiones usa un guión vertical para separar la parte entera
de la fraccionaria, es decir 314159|26535.
Sin embargo, no fue Viète, sino el flamenco Simon Stevin, quien en 1585
acometió la tarea de explicarlas con todo detalle y de una manera muy elemental,
el verdadero propagador de la utilización de fracciones decimales.
En 1616, en la traducción al inglés de una obra del escocés John Napier(15501617), las fracciones decimales aparecen tal como las escribimos hoy, con un
punto decimal para separar la parte entera de la fraccionaria. Napier propuso un
punto o una coma como signo de separación decimal: el punto decimal se
consagró en países anglosajones, pero en muchos otros países europeos como
por ejemplo España, se continúa utilizando la coma decimal.
Definición:
Las fracciones pueden expresarse como números decimales, efectuando la
división correspondiente entre el numerador y el denominador.Toda expresion
decimal posee una parte entera y una parte decimal.
Es decir:
40,2
Parte entera
Parte decimal
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Al hallar el cociente entre el numerador y denominador de una fracción pueden
ocurrir:
EXPRESIONES DECIMALES
EXACTAS
PERIÓDICAS
que corresponden a las fracciones decimales
(aquellas que su denominador es una
potencia de 10). La división es exacta
que corresponden a las fracciones cuyo
denominador es potencia de 9 ó 90. El resto
de la división se repite infinitamente.
PURAS
La parte decimal es solamente
periódica
MIXTAS
La parte decimal tiene una parte no
periódica y una parte periódica
EJEMPLOS:

Si tenemos la fraccion
2
al realizar el cociente obtenemos:
5
5
20
0
0, 4

10
10
10
10
1
OBTENEMOS UNA EXPRESION
DECIMAL EXACTA QUE SE ESCRIBE
0,4
Si tenemos la fraccion
3
3, 33
10
al realizar el cociente obtenemos:
3
OBTENEMOS UNA EXPRESION
PERIÓDICA PURA QUE SE ESCRIBE
3,33
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
470
200
200
20
Si tenemos la fraccion
47
al realizar el cociente obtenemos:
90
90
0,522
OBTENEMOS
UNA
EXPRESION
PERIÓDICA MIXTA QUE SE ESCRIBE
0, 52
Lectura de Números Decimales
Cuando leemos números decimales, a la parte entera le llamamos unidad, luego
mencionamos la coma (que separa a la parte entera de la parte decimal) y
finalmente decimos el número que sigue a la coma.
Según el cuadro anterior, podemos ver que si el número se encuentra una
posición al lado de la coma, lo llamaremos décimo; si se encuentra a dos
posiciones hablaremos de centésimo; si se encuentra a tres posiciones,
hablaremos de milésimo, y así sucesivamente. Esto, ya que si la unidad es
dividida en 10, 100 ó 1000, respectivamente, la posición en que quedará el
número corresponderá al lugar mencionado anteriormente, tal como muestra el
cuadro anterior
Algunos Ejemplos:



La lectura del número 324,7894 será 324 enteros, 7894 diez milésimos
La lectura de 0,5 será 5 décimos
La lectura de 0,000008 será 8 millonésimos
CONVERSIONES
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Cuando el decimal es exacto, la fracción se calcula colocando en el numerador el
número sin decimales y en el denominador, la unidad seguida de tantos ceros
como decimales haya; por ejemplo:
0, 25 
25
100

Número Decimal sin coma
la unidad seguida de tantos ceros como decimales haya
La fracción se calcula sumando a la parte entera una fracción cuyo numerador es
el período; y denominador está formado por tantos nueves como cifras tiene el
período.
1, 25  1 
25
99
Periódo

Parte entera
+
tantos nueves como cifras tiene el período.
124

99
La fracción se calcula sumando a la parte entera una fracción cuyo numerador es
la diferencia entre la parte decimal y la parte no periódica; y denominador está
formado por tantos nueves como cifras tiene el período y tantos ceros como cifras
tenga la parte no periódica.
1, 28  1 
106

90
28  2
90

Parte entera
+
parte decimal menos la parte no periódica
tantos nueves como cifras tiene el período y tantos ceros
como cifras tenga la parte no periódica.
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OPERACIONES CON EXPRESIONES DECIMALES
EXACTAS
Para sumar dos o más números decimales se colocan en columna haciendo
coincidir
las comas; después se suman como si fuesen números naturales y se pone en el
resultado la coma bajo la columna de las comas.
2,42 + 3,7 + 4,128 =
Para restar números decimales se colocan en columna haciendo coincidir las
comas.
Si los números no tienen el mismo número de cifras decimales, se completan con
ceros las cifras que faltan. Después, se restan como si fuesen números naturales
y se pone en el resultado la coma bajo la columna de las comas.
9,1 - 3,82=
Para multiplicar dos números decimales se efectúa la operación como si fuesen
números naturales y en el producto se separan tantas cifras decimales como
cifras decimales tengan entre los dos factores.
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DE UN NÚMERO DECIMAL POR OTRO NATURAL
Para dividir un número decimal por un número natural se hace la división como si
fuesen números naturales, pero se pone una coma en el cociente al bajar la
primera cifra decimal.
DE UN NÚMERO NATURAL POR OTRO DECIMAL
Para dividir un número natural por un número decimal se suprime la coma del
divisor y a la derecha del dividendo se ponen tantos ceros como cifras decimales
tenga el divisor. Después se hace la división como si fuesen números naturales.
DE DOS NÚMEROS DECIMALES
Para dividir dos números decimales se suprime la coma del divisor y se desplaza
la coma del dividendo tantos lugares a la derecha como cifras decimales tenga
el divisor; si es necesario, se añaden ceros.
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