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MODULO 05
Ejemplo 1: En una cierta población se definen dos variables discretas: X1= hipertensión arterial y X2=
consumo excesivo de sal, ambas con los valores 0=no y 1=sí. La fdp conjunta podría ser
X1
X2
0
1
0
0,4
0,1
1
0,3
0,2
f(0,0)=0,4 quiere decir que la probabilidad de que un individuo no sea hipertenso (X1=0) y no tenga un
consumo excesivo de sal (X2=0) es 0,4. Obsérvese que la suma de los valores de la fdp es 1.
A partir de esta fdp se puede calcular p.e. la probabilidad de que un individuo sea hipertenso como
0,1+0,2=0,3.
En general dada una fdp conjunta (para simplificar la notación consideremos sólo dos variables X e Y) se
pueden calcular las denominadas fdp marginales como
Caso discreto
Caso continuo
y simétricamente para la variable Y.
En el ejemplo anterior:
X1
X1
0
1
f1(X1)
0
0,4
0,3
0,7
1
0,1
0,2
0,3
f2(X2)
0,5
0,5
Se definen también las fdp condicionadas
que permiten calcular las respectivas probabilidades condicionadas.
En el ejemplo anterior se puede construir, p.e., la fdp de la hipertensión (X1) condicionada al consumo no
excesivo de sal (X2=0).
X1
0
0,4/0,5=0,8
1
0,1/0,5=0,2
Obsérvese que como esto es una fdp, la suma de sus valores debe ser 1.
0,8 es la probabilidad de que un individuo no sea hipertenso dado que no tiene un consumo excesivo de sal.
¿Son independientes las variables del ejemplo anterior? Como f1(0)=0,7 y f2(0)=0,5 f1(0). f2(0)=0,35 no es
igual a f(0,0)=0,4 no son independientes.
Según la definición de fdp condicionada, si X e Y son independientes
que coincide más con la idea intuitiva de independencia.
¿Cuándo diríamos que la hipertensión es independiente del consumo de sal? Cuando la probabilidad de ser
hipertenso es la misma en los consumidores de sal: f(x1|X2=1), en los no consumidores: f(x1|X2=0) y en la
población general: f1(x1).
En el ejemplo, la probabilidad de ser hipertenso en la población general f1(1)=0,3 y en los consumidores de
sal f(X1=1|X2=1)=0,2/0,5=0,4 por lo tanto tampoco son independientes desde esta perspectiva (evidentemente,
ya que ambas son equivalentes).
Ejemplo, se define la variable aleatoria: X=Número de caras del siguiente modo: X(CCC)=3;
X(CCS,CSC,SCC)=2; y X(SSC,CSS,SCS)=1, y finalmente X(SSS)=0, puesto que estamos hablando de caras
Esta función se representa gráficamente del mismo modo que la distribución de frecuencias relativas
acumuladas. Volviendo al ejemplo de las tres monedas, se tiene que
F(3)  P(X  3)  f (0)  f (1)  f (2)  f (3)  1 / 8  3 / 8  3 / 8  1 / 8  1
F(2)  P(X  2)  f (0)  f (1)  f (2)  1 / 8  3 / 8  3 / 8  7 / 8
F(1)  P(X  1)  F(0)  f (1)  1 / 8  3 / 8  4 / 8
F(0)  P(X  0)  f (0)  1 / 8
Gráficamente,
Problema. Lanzamos dos dados al aire. Nos interesa encontrar probabilidades tal como la
probabilidad de que la suma de los puntos en los dados es menor que 8. Si asumimos que todos
los resultados observados al tirar dos dados son equiprobables entonces el espacio muestral del
experimento, con treinta y seis posibles resultados es:
1 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6 1
2 2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6 2
3 3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6 3
4 4, 1 4, 2 4, 3 4, 4 4, 5 4, 6 4
5 5, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5, 6 5
Como nos interesa la suma de los puntos observados, si obtenemos el resultado (3, 5) le
asignamos el valor 8, correspondiente a la suma de 3 y 5. Podemos calcular la probabilidad de que
la suma sea igual a 8, contando todos los resultados donde la suma es ocho. El evento de que la
suma es ocho contiene 5 resultados: {(2,6), (3,5), (4,4), (5, 3), (6,2)}; por lo tanto la probabilidad
deseada es 5/36. Podemos repetir este proceso con cada uno de los resultados para obtener la
siguiente tabla:
Resultado
Probabilidad
2
1/36
3
2/36
4
3/36
5
4/36
6
5/36
7
6/36
8
5/36
9
4/36
10
3/36
11
2/36
12
1/36
Hemos encontrado la distribución de probabilidad de los valores posibles de la suma al tirar dos
dados. En general, si S es un espacio muestral con una medida de probabilidad P, definimos una
variable aleatoria como una función que asigna un número real a cada uno de los elementos de S.
Es decir X es una función cuyo dominio es el espacio muestral S y su codominio es el conjunto de
números reales
Interpretamos, por ejemplo X = 8 como el evento de que se observó el resultado 8 al tirar los dos
dados, es decir el evento { (2,6), (3,5), (4,4), (5, 3), (6,2)} ocurrió. También asignamos a X = 8 la
probabilidad de ese evento. Así vemos que P( X = 8 ) = P({ (2,6), (3,5), (4,4), (5, 3), (6,2)}) = 5/36.
Nota que a pesar de que X es una función, usualmente no se escribe el argumento de la función,
es decir, si s es un elemento del espacio muestral S, en vez de escribir X(s), sencillamente
escribimos X. Es usual denotar las variables aleatorias por letras mayúsculas y los valores que
puede asumir por letras minúsculas.
Para el ejemplo de la suma de los puntos al tirar dos dados, los valores de esta función están
dados en la Tabla, la cual se puede reescribir usando los conceptos estudiados.
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
f( x)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
La probabilidad de observar un valor particular de la variable aleatoria, digamos X = 3 está dado
por la altura de la barra sobre el 3, es decir P(X = 3) = 2/36. De igual manera, en vez de asociar la
altura de la barra con la probabilidad, podemos ver que el área de la barra sobre el 3 es 2/36 1 =
2/36, ya que la altura de la barra es 2/36 y su ancho es 1. Usar el área de las barras para
representar la probabilidad es muy útil para extender la noción de probabilidad a otras variables.
Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como P( X 4).
Vemos que P(X 4) = P(X =2 ó X =3 ó X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) , ya que los eventos
donde X = 2, X= 3 y X=4 son disjuntos. Entonces P( X 4) = 1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36, sumando
las áreas de la barras que están sobre el 4 y a su izquierda. Debemos ser muy cuidadosos con las
desigualdades, ya que P( X 4) = 6/36, mientras que P( X< 4) = 3/26.
*. Es valida esta afirmación: Una variable aleatoria es una función definida sobre un espacio
muestral a los números reales. Si ese espacio muestral especificado como dominio es numerable,
decimos que la variable es de tipo discreto, en caso contrario diremos que es de tipo continuo.
En el experimento de lanzar una moneda, una vez, definimos la variable aleatoria X: el número de
sellos obtenido.
X(c) = 0
X(s) = 1
*. Ser lanzan dos dados. Si X es la suma obtenida:
*. Función de Probabilidad f(x)=p(X=x): Es una función definida sobre una variable aleatoria a los
reales en el intervalo
que cumple con los axiomas de la teoría de la probabilidad.
Función de Distribución F(x)=p(X=x): Es la acumulada de una función de probabilidad.