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CAPÍTULO I
CALCULO II
VECTORES
Competencia
Conoce las características y operaciones principales posibles en espacios vectoriales y los abstrae
para aplicarlos en la resolución de problemas con funciones vectoriales.
1.1
INTRODUCCIÓN
Los vectores son un auxiliar utilísimo para la geometría del espacio. En esta unidad partiendo de lo que ya
se sabe de vectores en el plano, se contemplan las herramientas necesarias para la geometría
tridimensional.
Primero se estudian los vectores geométricamente, y a través de sus operaciones, también de forma
geométrica, se llegan a conceptos fundamentales del Álgebra como son los de dependencia lineal y
combinación lineal.
1.2
CONCEPTOS Y DEFINICIONES FUNDAMENTALES
En matemáticas, y por lo tanto en la física y la ingeniería, se manejan dos tipos diferentes de cantidades.
Éstas son escalares y vectores.
En este capítulo estudiaremos los vectores y su álgebra.
Un escalar es una cantidad que solo tiene una magnitud.
Un vector es una cantidad que tiene dos características: magnitud y dirección.
Ejemplos:
Escalares: masa, temperatura, área, longitud, dinero.
Vectores: fuerza, desplazamiento, velocidad, aceleración, campo eléctrico.
1.2.1
DEFINICIÓN DE VECTOR EN TÉRMINOS DE SUS COMPONENTES
Algebraicamente se puede especificar un vector como un par ordenado <a,b>.
Los elementos del par ordenado se llaman componentes del vector.
Ejemplos:
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1
= < 4, 2 >
1.2.2
= < 2, 4 >
VECTORES EN EL PLANO Y EL ESPACIO:
Se denomina vector a cada elemento de V.
Vectores en R 2
En el conjunto de todos los pares ordenados de números reales:
R2 = {(a1,a2):a1Є R Є a2Є R}
Vectores en R 3
En el conjunto de todos los tríos ordenados de números reales:
R3 = {(a1,a2,a3):a1Є R Є a2Є R Є a3Є R}
( a 1 , a 2 , a 3 ) perteneciente a él es un vector.
Vectores en R n
El conjunto de todas las n - tuplas de números reales:
( a i ) n = ( a 1 , a 2 , ..... , a n )
Se llama el n - espacio real, o simplemente n – espacio y se simboliza por R n :
R n = { ( a i ) n = ( a 1 , a 2 , ..... , a n ) : i ( a i Є R ) }
EL conjunto de todos los vectores, determinados por un número dado de los números reales con ciertas
operaciones básicas, definidas sobre estos vectores, se llama ESPACIO VECTORIAL: V.
1.3
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA
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Para representar un vector, es costumbre utilizar una flecha o segmento orientado.
Donde:
C, A es el origen
B, D es el extremo del vector
OP es la longitud que representa el modulo.
La longitud de la flecha es proporcional a la magnitud del vector y la orientación de la flecha indica la
dirección del vector.
Notación:
Para distinguir un vector de un escalar se denota a un vector con símbolos
como:
, ,
, etc.
1.4
IGUALDAD DE VECTORES
Definición:
Dos vectores
dirección.
y
son iguales,
= , si tienen la misma magnitud y la misma
Ejemplo:
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3
=
1.5
MÓDULO DE UN VECTOR
El modulo de un vector
es la longitud del segmento orientado.
Sea A un vector de n dimensiones, A = {a1, a2, a3, . . . an} llamamos módulo, norma o simplemente longitud
del vector al valor numérico (escalar) determinado por:
1.6
ÁLGEBRA VECTORIAL
Se denomina álgebra vectorial al estudio de las operaciones básicas definidas sobre los vectores.
1.6.1
ADICIÓN DE VECTORES
La suma de vectores se define mediante la ley del paralelogramo, que se ilustra enseguida.
Vectores originales
Vectores desplazados
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Vectores y su suma
Aunque hemos ilustrado a los vectores en un plano, ahora definiremos a los vectores y sus operaciones en el
espacio tridimensional.
En general, un vector
reales,
en el espacio tridimensional es cualquier tríada de números
= <a1, a2, a3>
en donde los números a1, a2, a3 se llaman componentes del vector .
Ejemplo:
= {4, 2, 3}
En términos de componentes, la suma de vectores se define como sigue:
Sean
+
= <x1, y1, z1> y = <x2, y2, z2>, la suma de
= <x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2>
y
se define como:
Ejemplo:
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5
= { 3, 2, 3}
=
1.6.2
+
= {2, 2, 0}
= {5, 4, 3}
LA SUSTRACCIÓN O RESTA DE VECTORES
Se define la resta de vectores como:
- =
+ (- )
Y la igualdad entre vectores se define entonces de la siguiente manera:
Sean = <a1, a2, a3> y = <b1, b2, b3>, entonces
= si y sólo si A1 = b1, a2 = b2, a3 = b3
1.6.3
PRODUCTO POR UN ESCALAR
Ahora definiremos otra operación, la multiplicación de un vector por un escalar.
Sea
= <a1, a2, a3> y k un escalar, entonces definimos la multiplicación por un
escalar como sigue:
k = <k a1, k a2, k a3>
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Ejemplo:
= {4, 3, 2} k = 1 / 4
=k
= {1, 3 / 4, 1 / 2}
Obsérvese que k es un
vector con la misma dirección que si k > 0 y con dirección contraria si k < 0.
La magnitud de k es |k| | | .
En virtud de lo anterior, el negativo de es
- = (-1)
1.7
PROPIEDADES DE LOS VECTORES
Con la definición de vector en términos de componentes y con las propiedades de los números reales, puede
demostrarse el siguiente teorema.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
A + B = C (al sumar dos vectores se obtiene otro vector - ley de composición interna)
a. A = a (x1 , x2) = (a x1 , a x2) (para a Î R) [el producto de un vector y un escalar da otro vector]
(- 1) . A = - A (opuesto) A- 1 = 1 / A (inverso)
A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
A + B = B + A (propiedad conmutativa)
a . (A + B) = a . A + a . B (para a Є R) (propiedad distributiva)
A (a + b) = A . a + A . b (para a Є R, b Є R)
A + 0 = 0 + A = A [0 representa el vector nulo (0, 0) que es neutro en suma]
A + (- A) = 0
1 . A = A (1 es neutro en producto)
0 . A = 0 (0 es absorvente en el producto)
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1.8
PRODUCTO ESCALAR
El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma
sesquilineal, hermítica y definida positiva, se denota de la siguiente forma:
También podemos obtener un producto punto si:
Dado dos vectores A y B llamaremos producto escalar de A y B al número real determinado por:
A . B = | A | . | B | . cos
Siendo  el ángulo entre ambos vectores.
Si tenemos dos vectores A = {a1, a2, . . ., an} y B = {b1, b2, . . ., bn} el producto escalar entre ambos puede
hallarse mediante la
sumatoria del producto de cada una de sus
coordenadas.
A . B = a 1b 1+ a 2 b 2 + . . . + a n b n
1.8.1
1.
2.
3.
4.
5.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR
A.B=B.A
A . (B + C) = A . B + A . C
(a . A) . B = A . (a. B)
A.A>0
| A . B| < | A | . | B |
(para a Є R)
(para A > 0)
(desigualdad de Cauchy - Schwarz)
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6. Si A > 0, B >0 y 
ya que el cos 90º = 0.)
1.9
(El producto escalar de vectores ortogonales es nulo
LOS VECTORES UNITARIOS
El versor o vector unitario es un vector cuyo módulo es 1.
Una base ortogonal de los vectores del plano es un vector ortogonal es unitario. i es el versor de dirección
horizontal (eje x) mientras que j es de dirección vertical (eje y). El vector k representa la tercera dimensión
(eje z).
Así si R = (2, 3, 5) puede escribirse como
R = 2 i + 3 j + 5 k.
1.9.1
TEOREMA CÓSENOS DIRECTORES
Los cósenos directores de un vector diferente de cero, determinan tres ángulos con los tres ejes
coordenados. Se representan de la siguiente forma.
1.9.2
PROYECCIÓN ORTOGONAL
Geométricamente lo que queremos es determinar el vector que se obtiene al proyectar ortogonalmente el
vector
sobre el vector
Si denotamos a este vector con
.
entonces, de acuerdo con la figura, se debe cumplir que
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y finalmente
1.10
PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
El producto cruz entre dos vectores de
, conocido también como producto externo de vectores ya que su
resultado es un vector y se define de la siguiente manera:
Recordemos que
, entonces también podríamos escribir
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Esta fórmula se puede escribir en la forma de un determinante como sigue
El producto cruz
es un vector que es tanto perpendicular a
como a
.
En general, con las propiedades que vamos a establecer para este producto cruz, solamente sería posible
definirlo en
y
. El vector
se puede ver como la dirección de una recta que sirve de eje de
rotación única, perpendicular a y a . En dos dimensiones no existe una tal dirección perpendicular a
y a . En cuatro o más dimensiones, esta dirección es ambigua. Una generalización, en cierto sentido,
del producto cruz a dimensiones es el producto exterior del álgebra multilínea. El producto exterior
tiene magnitud
pero no es un vector ni un escalar, es una área dirigida o
"bivector". Este producto también comparte la propiedad
Ejemplo
Sean
y
entonces
b) Triple producto vectorial: También llamado triple producto externo, su resultado es un vector.
El triple producto vectorial de tres vectores A, B y C, se define como
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(AxB)xC = (AoC)B – (BoC)A
AxB
B
A
C
(AxB)xC
Propiedades


A x (B x C) = (AoC) B - (AoB) C
A x (B x C) ≠ (A x B) x C
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