Download Clase 1.- Ecuación de Chezy

Flujo de agua en canales y la Ecuación de Chezy
Introducción: Para comprender el flujo de agua a través de un canal trapecial es
necesario conocer en forma detallada su geometría y las fuerzas que intervienen en
el flujo.
Figura 1. Características geométricas de la sección de conducción o transversal de un canal
trapecial, donde: si m = 0, el canal es rectangular, si b = 0 el canal es triangular.
Problema 1-1. Si y es el centro geométrico de la superficie del trapecio medido de la
superficie del agua al fondo del canal demuestre que: yA  my3 /3  by2 /2 .
Problema 1-1-1. Demuestre que al derivar: dA/dy el resultado es el ancho superficial T.
Figura 2. Figura de cuerpo libre de las Fuerzas en el eje x que intervienen en el movimiento del
bloque de agua entre las secciones 1 y 2 en un canal.
1
Nomenclatura
z = altura del fondo del canal con respecto a una horizontal o nivel de referencia.
L12 = Distancia del fondo del canal entre el punto 1 y 2.
Ar = Área donde el agua roza las paredes del canal y es igual a: Ar = P·L12. Ver el
Anexo 2 para una mejor comprensión de esta variable.
θ = Ángulo de inclinación del fondo del canal
So = sin(θ) = (z1 – z2)/ L12 es la pendiente del fondo del canal
Q = El flujo o gasto o caudal de la corriente de agua en m3/s. Que es constante a lo
largo del canal (L12 ).
V = velocidad media del flujo de agua := Q/A (ecuación del gasto) y es variable según
sea el valor de la profundidad y.
a = aceleración del flujo de agua al cambiar su velocidad de V1 a V2.
W = peso del bloque de Agua = γ·A·L12. Ver el Anexo 2 para una mejor comprensión
de esta variable.
W·sin(θ) = peso del bloque de Agua paralelo al fondo del canal.
m = masa del bloque de agua = W/g, donde g = gravedad = 9.81 m/s2.
Fp = Fuerza de presión hidrostática = γyA
(ver Anexo 1)
Ff = fuerza de fricción que según Chezy es igual a: Ff = ε1·Ar·Vm2, o sea, depende de
que tan grande sea el área de rozamiento y la velocidad V m la cual es una media de (V1
+ V2)/2 y finalmente de ε1 que es una constante que depende de que tan rugosas sean
las paredes.
dv
. Sugerencia: la aceledx
ración se define como: a = dv/dt y la velocidad como: v = dx/dt.
Problema 1-2. Demuestre que la aceleración a es igual: a  v
dv
, expresado como diferencias finitas
dx
se reduce a lo siguiente: si v es la velocidad se asume que: v = (V2 + V1)/2, dv es el
incremento de velocidades y la definición de incremento es, dv = (V2 – V1) y dx es la
distancia del punto 1 a 2, o sea, dx = L12, entonces:
Ejercicio 1-1: Para el caso de la figura 2, a  v
dv V2  V1  V2  V1  1 V22  V12
av


dx
2
L12
2 L12
Problema 1-3: Si a lo largo de la longitud L12 del canal de la figura 2 la profundidad en
el canal es constante, esto es: y1 = y2, el fondo del canal b, la pendiente de talud m y
el gasto Q también son constantes, entonces:
3.1) El área de conducción A de la figura 1 a lo largo de L12 es:
a) Mayor, b) Diferente, c) Igual, d) Menor.
3.2) La velocidad V1 con respecto a V2 (ver figura 2) son:
2
a) Constante, b) Mayor, c) Diferente, d) Menor.
3.3) La Fuerza Hidrostática Fp de la figura 2 a lo largo de L12 es:
a) Mayor, b) Igual, c) Menor, d) Diferente
1) FLUJO UNIFORME
Si un gasto constante Q fluye por un canal de longitud L12 que tiene:
 El mismo ancho de fondo b.
 La misma pendiente de talud m.
 Esta excavado o revestido en el mismo tipo de material ε1.
y si la profundidad de la lámina de agua y es constante (y1 = y2) a lo largo de la longitud
se dice que: que el FLUJO ES UNIFORME.
El problema 2.0 describe las propiedades de este flujo a lo largo de la longitud L 12 que
son:
 La velocidad es constante ( no hay aceleración; a = 0 m/s2)
 El área de conducción A es constante
 Las fuerzas hidrostáticas de presión son constantes.
El análisis de fuerzas sobre el eje x del bloque de agua de la figura 2 es el siguiente:
Fp1  Wsin  θ   Ff  Fp2  ma
(1.1)
Si el Flujo es Uniforme la ec. (1.1) según los resultados del problema 3, se reduce a:
Wsin  θ   Ff  0
(1.2)
Esto significa que el peso del agua Wsin(θ) es compensado por las fuerzas de fricción.
Problema 1-4.) Si la fuerza de fricción es: Ff = ε1·Ar·V2, el área de rozamiento es, Ar
= P·L12 y el peso del agua es, W = γ·A·L12 (ver Anexo 2 para estas formulas),
demuestre a través de la ecuación (1.2) que el valor de la velocidad V en el canal es:
V
γ A
sin θ 
ε1 P
(1.3)
1.1) La Ecuación de Chezy
La formula (1.3) con los siguientes cambios: 1) C = (γ/ε1)1/2 = constante de Chezy, 2) R=
A/P = Radio Hidráulico, So = sin(θ), es la ecuación de Chezy para flujo uniforme.
V  C R  So
(1.4)
3
Problema 1-5. Un canal rectangular con paredes revestidas de concreto con una
constante de Chezy de; C = 65 m1/2/s y una pendiente de fondo So = 2/1000, conduce
un gasto Q = V·A, determine el valor de Q si:
1) El canal tiene un ancho b = 2.0 m y una profundidad y = 1.0 m.
2) El canal tiene un ancho b = 5.0 m y una profundidad y = 0.4 m.
Nota: El problema 5 tiene el objetivo de mostrar que si el área A es constante la
velocidad disminuye cuando el perímetro P aumenta. Expresar la formula de Chezy en
términos del Radio Hidráulico = R que no tiene significado físico es un error ya que se
pierde el significado físico del Perímetro Mojado = P que es la causa más importante
de la fricción.
1.2) El razonamiento de Chezy sobre la fuerza de fricción que genera una
corriente de agua en un canal.
El razonamiento de Chezy se enfoca a determinar cuál es el valor de la fuerza de la
fuerza de fricción = Ff y propone que esta depende:
1) De la rugosidad del material de excavación o de revestimiento de las paredes
del canal. Este supuesto es correcto para materiales muy rugosos y radio
hidráulico R de pequeños a medianos.
2) Del área de rozamiento = Ar. Este supuesto es correcto.
3) Del cuadrado de la velocidad = V de la corriente de agua. Este supuesto es la
gran incógnita de la formula.
A pesar de que esta ecuación no es totalmente exacta, ofrece resultados razonablemente exactos y es la base del cálculo de Canales en el 2011.
1.2) La Formula de Manning.
La constante C de la formula de Chezy fue expresada por Manning como: C = R1/6/n y
con este cambio la formula (1.4) resulta:
1
n
V  R 2/3  So1/2
(1.5)
Donde n = numero de Manning y sus unidades; s/m1/3 y depende del tipo de material
de excavación o de revestimiento de las paredes. En el Anexo 3, se detalla el cambio
propuesto por Manning y algunos valores de n para diferentes materiales.
1.2.1) La Formula de Manning para el FLUJO GRADUALMENTE VARIADO.
El planteamiento original de Chezy fue obtener una formula solo para el Flujo
Uniforme, esto es, para; y1 = y2 y V1 = V2 y por lo tanto So solo depende de la
pendiente del fondo del canal; So = (z1 – z2)/L12 = sin(θ).
4
Sin embargo, cuando y1 ≠ y2 y V1 ≠ V2 se presenta un flujo que se define como: FLUJO
GRADUALMENTE VARIADO y se genera un nuevo tipo de pendiente S que es la
siguiente:
 z1  y1cos(θ)  V12 /2g    z 2  y2cos(θ)  V22 /2g 
 

S 
(1.6)
L12
donde S = se define como la pendiente hidráulica y la ecuación (1.5) resulta ser:
1
n
V  R 2/3  S1/2
(1.7)
Ejercicios y problemas:
E1.2) Un canal trapecial excavado en tierra suelta con n = 0.025 s/m1/3, conduce un
gasto de 6 m3/s, con una pendiente de talud m = 1.5, un ancho de fondo b = 2.0 m y
una pendiente de fondo So = 1/1000. Si el flujo es uniforme obtenga la profundidad
constante o profundidad normal del canal.
Resolución: la profundidad normal o constante de un canal se obtiene de la formula
de Manning (1.5), donde al multiplicar por el área de conducción A se obtiene el gasto
Q, y considerando que el radio hidráulico se define como; R = A/P.
1 A5/3 1/ 2
 1 2/3 1/ 2 
VA  Q   R So  A 
So
n P 2/3
n

Expresando en forma canoníca la ecuación anterior
3/5
 nQ 
A   1/2 
 So 
P2/5  0 , formula para el cálculo de la profundidad normal (1.8)
Sustituyendo el área de conducción A y el perímetro mojado P para la figura de un
trapecio en (1.8) se obtiene:
 by  my 2    nQ 

  So1/2 
3/5
(b  Cm  y)2/5  0 ,
(1.9)
donde, Cm = 2(1 + m2)1/2 = 2(1 + 1.52)1/2 = 3.606 y el Factor de Sección = (nQ/So1/2)3/5 =
(0.025·6/0.0011/2)3/5 = 2.545, sustituyendo valores;
 2y  1.5y 2   2.545(2  3.606y)2/5  0
Obteniendo la solución por el método de Newton o la secante: y = 1.364 m.
5
Problema 1.6) Un canal rectangular revestido de concreto con n = 0.016 s/m1/3,
conduce un gasto de 4 m3/s, un ancho de fondo b = 1.5 m y una pendiente de fondo So
= 3/1000. Si el flujo es uniforme obtenga la profundidad constante o profundidad
normal del canal.
Seleccione la respuesta correcta: a) 1.08 m, b) 1.18 m, c) 1.28 m, d) 1.38 m.
Problema 1.7) Un canal trapecial excavado en arcilla con n = 0.025 s/m1/3, conduce un
gasto de 2 m3/s, un ancho de fondo b = 1.0 m y una pendiente de fondo So = 1/1000. Si
el flujo es uniforme obtenga la profundidad constante o profundidad normal del
canal.
Seleccione la respuesta correcta: a) 0.9 m, b) 1.10 m, c) 1.0 m, d) 1.2 m.
Ejercicio 1.3) Un canal trapecial excavado en tierra compactada con n = 0.022 s/m1/3 y
pendiente de talud m = 2, conduce un gasto de 3.0 m3/s a una velocidad permisible Vp
= 1.2 m/s (para evitar que las paredes se erosionen), la escala Eb entre el ancho del
fondo b y la profundidad y debe ser Eb = b/y = 1.5. Con estos datos diseñe el canal,
esto es, determine: y, b la pendiente So y el Numero de Froude = Fr.
Procedimiento de Calculo si la relación de ancho Eb = b/y es conocida:
De la ecuación del gasto; Q = Vp·A se obtiene el área de conducción A.
A = Q/Vp = 3 m3/s/1.2 m/s = 2.5 m2
A = by + my2, y como se conoce la escala Eb: entonces, b = Eb·y, al sustituir en la
ecuación del área A se obtiene:
A = Eb·y2 + my2 = (Eb + m)·y2
y
A
2.5m 2

 0.845m , b = Eb·y = 1.5·0.845m = 1.268m
Eb  m
1.5  2
P = b + Cm·y = 1.268m + [2(1 + 22)1/2]·0.845m = 5.47m
R = A/P = 2.5m2/5.47m = 0.495m
De la ecuación de Manning (1.5)
2
2
1.78m
 nV 
 0.022·1.2 
So   2/3   
 0.00178 
2/3 
1000m
R 
 0.495 
El número de Froude se obtiene de la formula A4.1.
T = b + 2m·y = 1.268 + 2·2·0.845 = 4.648m
Fr 
3.02 4.648
 0.522 sin unidades
9.81 2.53
6
En el diseño por Flujo Uniforme el Número de Froude debe ser < 1 ya que de lo
contrario la profundidad normal yn que se calcula es menor a la profundidad crítica yc
y el canal se rebosa. De preferencia Fr < 0.85 para evitar ondulaciones en la superficie
del agua, según recomendaciones del Cuerpo de Ingenieros del Ejercito de EUA.
Comprobación del resultado: Con la formula de Manning para Q, usando A, R y So, el
valor del gasto Q debe ser: 3.0 m3/s.
Q = 1/n·A·R2/3·So1/2 = (1/0.022)·2.5·0.4952/3·0.001781/2 = 3.0 m3/s.
Ejercicio 1.5) Calcule la profundidad o tirante critico para el ejercicio 1.4.
Resolución: El tirante critico se obtiene del Número de Froude cuando este vale 1, esto
es Fr2 = 1 y la formula parra yc (A4.3.2) se obtuvo en el Anexo A4.
1/3
 Q2 
 byc  myc   

 g 
2
(b  2m  yc)1/3  0
(A4.3-2)
Sustituyendo datos; b = 1.268m, m = 2, Q = 3.0 m3/s, g = 9.81 m/s2, se obtiene:
1/3
 32 
1/3
1.268yc  2yc   
 (1.268  4  yc)  0
9.81


Obteniendo la solución por el método de Newton o la secante: yc = 0.605 m.
2
Problema 1.8) Un canal revestido de concreto con n = 0.016 s/m1/3 y pendiente de
talud m = 1, conduce un gasto de 4.0 m3/s a una velocidad permisible Vp = 2.5 m/s, la
escala Eb entre el ancho del fondo b y la profundidad y debe ser Eb = b/y = 1.5. Con
estos datos diseñe el canal, esto es, determine: y, b la pendiente So, el Numero de
Froude = Fr y la profundidad critica. Sugerencia: use el procedimiento del Ejercicio 1.4.
Respuesta: y = 0.86 m, b = 1.29m, So = 3.07/1000, Fr = 0.88, yc = 0.80m.
Nota: en este diseño el Número de Froude > 0.86 y por lo tanto es conveniente reducir
la velocidad de diseño Vp a 2.45 o 2.40 m/s.
Problema 1.9) Un canal excavado en marga arenosa con n = 0.022 s/m1/3 y pendiente
de talud m = 2, conduce un gasto de 4.0 m3/s a una velocidad permisible Vp = 0.9 m/s,
la escala Eb entre el ancho del fondo b y la profundidad y debe ser Eb = b/y = 1.0 Con
estos datos diseñe el canal, esto es, determine: y, b la pendiente So, el Numero de
Froude = Fr y la profundidad critica. Sugerencia: use el procedimiento del Ejercicio 1.4.
Problema 1.10) Un canal excavado en tierra con n = 0.025 s/m1/3 y pendiente de talud
m = 1, conduce un gasto de 50.0 m3/s a una velocidad permisible Vp = 1.2 m/s. Por lo
7
grande del gasto se propone una profundidad de y = 2.5m. Con estos datos diseñe el
canal, esto es, determine: b, la escala Eb, pendiente So, el Numero de Froude = Fr y la
profundidad critica.
Procedimiento de Calculo si la profundidad y es conocida:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Calcule el área, A = Q/Vp;
Obtenga el ancho de fondo b de la ecuación del área del trapecio;
Calcule la relación de profundidad Eb = b/y;
Obtenga So de la formula de Manning;
Obtenga el Número de Froude para verificar que Fr ≤ 0.86;
Obtenga la profundidad critica con la formula A4.3-2;
Respuesta: b = 14.4m, Eb = 5.65, So = 0.366/1000, Fr = 0.26, yc = 1.045m.
Problema 1.11) Un canal revestido de concreto con n = 0.016 s/m1/3 y pendiente de
talud m = 1, conduce un gasto de 300.0 m3/s a una velocidad permisible Vp = 4.0 m/s.
Por lo grande del gasto se propone una profundidad de y = 4.0m. Con estos datos
diseñe el canal, esto es, determine: b, la escala Eb, pendiente So, el Numero de Froude
= Fr y la profundidad critica.
Respuesta: b = 14.73m, Eb = 3.68, So = 1/1000, Fr = 0.7, yc = 3.23m.
Problema 1.12) Un canal excavado en tierra suelta con n = 0.025 s/m1/3 y pendiente
de talud m = 2, conduce un gasto de 500.0 m3/s a una velocidad permisible Vp = 1.2
m/s. Por lo grande del gasto se propone una profundidad de y = 2.0 m. Con estos
datos diseñe el canal, esto es, determine: b, la escala Eb, pendiente So, el Numero de
Froude = Fr y la profundidad critica.
Problema 1.13) Si el área de conducción A y el perímetro mojado P son conocidos
demuestre que la profundidad y se obtiene de la siguiente formula.
y
1 
P  P 2  4kA  , donde k = Cm  m

2k 
(1.10)
Sugerencia: el valor de y se obtiene al resolver el siguiente sistema de 2 ecuaciones,
con dos incógnitas; b y.
A = b·y + my2
P = b + Cm·y
Problema 1.14) Un canal excavado en tierra con n = 0.025 s/m1/3 y pendiente de talud
m = 1, conduce un gasto de 50.0 m3/s a una velocidad permisible Vp = 1.2 m/s y se
propone que la pendiente del canal sea: So = 1/1000. Con estos datos diseñe el canal,
esto es, determine: las 2 profundidades de y y b, la escala Eb, el Numero de Froude = Fr
y la profundidad critica yc.
8
Procedimiento de Calculo si la pendiente So es conocida:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Calcule Cm y k;
Calcule el área, A = Q/Vp;
Con la formula de Manning calcule el radio hidráulico R;
Calcule el perímetro mojado, P = A/R
Obtenga los dos posibles valores de y con la ecuación (1.10);
Obtenga los dos posibles valores de b, b = P – Cm·y con la ecuación;
Calcule la relación de profundidad Eb = b/y;
Obtenga el Número de Froude para verificar que Fr ≤ 0.86;
Obtenga la profundidad critica con la formula A4.3-2;
Problema 1.15) Un canal excavado en tierra compactada y limpia con n = 0.022 s/m1/3
y pendiente de talud m = 1, conduce un gasto de 0.5 m3/s a una velocidad permisible
Vp = 1.5 m/s y se propone que la pendiente del canal sea: So = 1/1000. Con estos
datos diseñe el canal, esto es, determine: las 2 profundidades de y y b, la escala Eb, el
Numero de Froude = Fr y la profundidad critica yc.
Respuesta: Matemáticamente no tiene solución por el motivo que el término: (4·k·A =
2.81m2) > (P2 = 0.067 m2) y el radical de la ec. (1.10) resulta ser negativo. Físicamente
el problema radica en que para tener una velocidad Vp = 1.5 m/s se requiere de una
pendiente de fondo So más grande.
Problema 1.16) Un canal excavado en tierra compactada y limpia con n = 0.022 s/m1/3
y pendiente de talud m = 1, conduce un gasto de 0.5 m3/s a una velocidad permisible
Vp = 1.5 m/s y se propone una escala de ancho/profundidad; E b = b/y = 1.5. Con estos
datos diseñe el canal, esto es, determine: las 2 profundidades de y y b, So, el Numero
de Froude = Fr y la profundidad critica yc.
Nota: El canal tiene un Número de Froude de 0.94 y sobrepasa la especificación
recomendable de que: Fr < 0.86, una de las soluciones radica en reducir la velocidad
Vp a 1.4 o 1.3 m/s.
Problema 1.17) Un canal excavado en tierra suelta con n = 0.025 s/m1/3 y pendiente
de talud m = 2, conduce un gasto de 500.0 m3/s a una velocidad permisible Vp = 1.2
m/s. Se propone una pendiente So = 1.5/1000. Con estos datos diseñe el canal, esto
es, determine: b, la escala Eb, pendiente So, el Numero de Froude = Fr y la profundidad
critica.
9
Anexo 1: Fuerza de Presión Hidrostática.
La presión sobre la pared y la compuerta de la Figura A1, aumenta de la superficie
libre al fondo de acuerdo a la formula:
p = paire + γ·y
donde γ = peso especifico del agua y
es una constante que aproximadamente vale 1,000 Kg/m3.
La presión del aire en la atmosfera se
considera de 0 kg/m2.
donde y se mide de la superficie al fondo.
Como la presión cambia sobre la superficie o área de la compuerta, el cálculo de la
Fuerza Hidrostática o Fuerza de Presión del Agua sobre el área se debe de calcular por
segmentos de área muy pequeños (diferenciales de área = dA) de la forma dF = p·dA y
la fuerza total con la siguiente integral.
F   pdA   (paire  γy)dA
Si la superficie es plana y vertical a la superficie del agua (90o )
F  paire  A  γyA
(A1.1)
Donde y es el centroide de la superficie del compuerta (sección BC) medido con
respecto a la superficie del agua (punto A) y A = área de la compuerta.
El valor de la fuerza que ejerce la presión del agua (fuerza hidrostática) se comprende
de mejor manera al colocar la figura 1 en el eje horizontal y presentarla en tres
dimensiones como si fuera una placa empotrada en el punto A tal como se presenta en
la figura A2.
10
El centroide y del Área BC está a 2.75 m del punto A, esto es, y = 2.75m, el área del
rectángulo de la compuerta es; A = 1.2m x 1.5m = 1.8 m2, por lo tanto la fuerza F que
se calcula con la formula A.1 es:
F = 1,000 Kg/m3 x 2.75m x 1.8 m2 = 4,950 Kg.
La fuerza F es normal (90o) y entrante a la superficie.
Para determinar dónde está colocada la fuerza F requiere de aplicar el momento de
inercia de la placa BC y del Teorema de los Ejes Paralelos, temas que se imparten en el
curso de Estática.
Problema A1-1) Al final de un canal de riego de sección trapecial se coloca una pared
de mampostería como se indica en la figura A1.3. Determine la Fuerza Hidrostática = F
generada por la presión del agua sobre la pared.
Sugerencia: Use la fórmula obtenida en el problema P1-1. Respuesta: F = 8.67 Ton.
11
Anexo 2. Área de rozamiento y el peso del agua en el canal
Es el área donde el agua moja a las paredes y de acuerdo a la figura son dos paredes
inclinadas o de talud y la superficie del fondo.
El volumen del trapecio = Vol es el área de conducción = A multiplicada por la L12, si
este volumen se multiplica por el peso especifico del agua (γ = 1000 Kg/m 3) se obtiene
el peso = W del agua en el canal entre la sección 1 y 2.
Figura A2.1: Perspectiva de un canal trapecial.
12
Anexo 3. Método de la Secante
Es una variante del método del Newton-Raphson para el cálculo de raíces que tiene la
siguiente desventaja y ventajas.


Desventaja: se tiene que hacer uso de una computadora, por los dígitos de
precisión que requiere este método.
Ventajas: La escritura del programa es muy simple por lo siguiente:
o No se necesita calcular la Derivada de la función canónica F(x) = 0.
o La función F(x) se escribe solo una vez.
o Se ahorra el trabajo de efectuar docenas de operaciones aritméticas y
de exponentes con una calculadora.
o Y lo mejor; se obtiene el resultado sin errores de dedo.
Usando F(y) en vez de F(x) el método de Newton establece que:
yi+1  yi 
F(yi)
F'(yi)
(A3.1)
La derivada F’(yi) se expresa como la definición de una pendiente
F(yi  Δy)  F(yi)
Δy
Sustituyendo en (A3.1)
F'(yi) 
yi+1  yi 
F(yi) y
F(yi  y)  F(yi)
(A3.2)
Donde Δy = 10-6 una cantidad muy pequeña y es por esto que se necesitan más de 9
dígitos de precisión para obtener un resultado correcto.
13
Anexo 4. Número de Froude y la Energía Mínima
Historia: De 1770 a 1900 la ecuación de Chezy fue la única base para el diseño de
canales (diseño es = calcular y, b y So), sin embargo, faltaba una Ley Física más, la de
Energía Mínima y el Número de Froude que fue introducida en forma ordenada por
Bakhmeteff y que trata de lo siguiente:
El número de Froude = Fr2 se define como la relación porcentual entre las fuerza de
inercia = m·a =W/g·a de la corriente de agua entre el peso del agua = W por lo tanto
Fr 2 
ma  W/g  a a


W
W
g
Interpretación de a = aceleración en una corriente de agua:
La corriente de agua se mueve con mayor velocidad en la superficie y en el fondo se
mueve con velocidad cero, este cambio de la velocidad con respecto a la profundidad y
se conoce como aceleración normal = an = V2/y, la profundidad y solo es constante
para el caso de un canal rectangular y si no es constante como es el caso de un canal
trapecial esta se sustituye por la profundidad media D = A/T y an = V2/D o bien la
formula resulta: an = V2·T/A, si se considera que la velocidad media es; V = Q/A se
obtiene an = Q2·T/A3, al sustituir la aceleración a por a = an en la formula de Fr2 se
obtiene el siguiente resultado:
Fr 2 
Q2 T
, Numero de Froude.
g A3
(A4.1)
Energía Mínima: la Energía Especifica (Energía = Trabajo) del agua por cada Kg. de
agua W en el canal se define como:
V2
E  y
, Energia especifica
2g
(A4.2)
14
Problema A4-1. Demuestre que: si la energía específica es mínima el número de
Froude es 1:
Q2 T
1
g A3
(A4.3)
,
Sugerencias: Si la energía E es mínima entonces; dE/dy = 0. Además, de la fórmula del
gasto; V = Q/A y según problema 1-1-1; dA/dy = T.
Observación: La formula A4.3 de la Energía Mínima es la fórmula del Número de
Froude para el caso que Fr2 = 1.


Si Fr2 < 1 se dice que la corriente o flujo de agua es lento o subcrítico.
Si Fr2 > 1 se dice que la corriente o flujo de agua es rápido o supercrítico.
En forma canoníca la ecuación (A4.3) queda de la siguiente forma:
1/3
 Q2 
A 
 g 
T1/3  0 , Formula de la energía específica mínima
(A4.3-1)
La ecuación A4.3-1 sirve para calcular la profundidad crítica yc que es el tirante
cuando la Energía es Mínima.
Si el canal es de sección trapecial la ecuación A4.3-1 queda de la siguiente forma:
1/3
 2
 byc  myc   Q 

  g 


2
(b  2m  yc)1/3  0
(A4.3-2)
Ejercicio A4.1: Un canal de sección
rectangular se une con uno de sección trapecial como se indica en la
figura. El gasto es 3.0 m3/s m = 0.5,
b = 2.0m, y1 = 1.0m.
Si la Energía Especifica (A4.2) es
igual en la sección 1 que en la
sección 2 (E1 = E2) obtenga la
profundidad o tirante y2.
Resolución: la velocidad V1 en el canal rectangular (sección 1) se obtiene de la
ecuación del gasto que es Q = V·A;
V1 
Q
Q
3


 1.5m/s
A1 by1 2 1
15
Y la energía E1 se obtiene de la ecuación (A4.2);
V12
1.52
E1  y1 
 1
 1.115m
2g
19.62
Como la energía E1 = E2 entonces;
1.115m  y2 
V22
2g
La velocidad V2 se obtiene de la ecuación del gasto, Q = V2·A2 y como el área en la sección e la de un trapecio: V2 = Q/(by2 + m·y22) = 3/(2·y2 + 0.5·y22) por lo tanto al
sustituir V2 en la última ecuación se obtiene;
2

 1
V2
3
1.115m  y2  2  y 2  
2 
2g
 2y 2 +0.5y 2  19.62
1.115m  y2 
0.46
4y  2y32  0.25y 24
2
2
La última ecuación resulta ser un polinomio de 5º orden cuya solución se obtiene en
forma práctica con el solver de una calculadora programable o con una Hoja
Matemática. La solución usando la hoja MathCad es la siguiente:
Si el Número de
Froude en la sección
1 es: Fr12 < 1 la profundidad es 1.05m de
lo contrario 0.357m.
Problema A4.2: Un canal de sección
rectangular con ancho b1 = 2.0m se
une con otro también rectangular
con ancho b2 = 3.0m como se indica
en la figura. El gasto es 3.0 m3/s y la
profundidad y1 = 1.0m.
Si la Energía Especifica (A4.2) es igual
en la sección 1 que en la sección 2
(E1 = E2) obtenga la profundidad o
tirante y2.
Indique las respuestas correctas:
a) 1.04, b) 1.07, c)1.09, d) 0.242m
16
Problema A4.3) Una pila de un
puente es colocada a la mitad de
un canal rectangular como se
indica en la figura del lado
derecho, sí; Q = 9 m3/s y V1 =
1.0m/s obtenga la profundidad
en y2.
Respuesta:
y2 = 2.953m, o, 0.5886m
Problema A4.4) Si una corriente de agua fluye por un canal de sección rectangular (con
pendiente de talud m = 0) demuestre que la profundidad critica (ver ecuación A4.3-2)
se reduce a la siguiente formula.
1/ 3
 1 Q2 
yc  
2 
g b 
1/ 3
 q2 
 
g
, donde q  Q/b
(A4.4)
Problema A4.5) Un canal rectangular
con dos pendientes de fondo So, con
m = 0, b = 3.5m, trasporta un gasto de
16 m3/s, en los puntos 1 y 3 se alcanza
la profundidad normal yn y en la 2 el
tirante critico. Determine las profundidades en estos 3 puntos y su número
de Froude.
Respuesta: y1 = 1.778, y2 =1.287, y3 =
0.391 m, Fr1 = 0.615, Fr2 = 1, Fr3 =
5.967.
Problema A4.6) Con los resultados del problema A4.5 obtenga para las secciones 1, 2 y
3: el área A, la velocidad V y la energía especifica, E = y + V2/2g.
Ejercicio A4.2) Demuestre que la energía especifica mínima en un canal se reduce a la
siguiente expresión: Eminima = yc + Ac/(2·Tc). Donde Ac yTc son el área de conducción
y el ancho de la superficie en la sección donde se presenta el tirante critico yc.
Resolución: de la ecuación A4.3 donde el Número de Froude = 1 y la energía es mínima
se despeja de la siguiente forma:
2
Q2 T
1 Q
A
2
1
, se despeja V 2 /g = Q/A /g y resulta,   
3
g A
g A
T
17
Considerando que: A = Ac y T = Tc y dividiendo entre 2 se obtiene;
2
1 Q
Ac Vc2


2g  Ac 
2Tc
2g
Como la energía especifica se define como: E = y + V2/2g, se obtiene;
Emin  yc 
Ac
, con lo cual queda demostrado.
2Tc
Si el canal es de sección rectangular entonces: Ac = b·yc y Tc = b, al sustituir en la
expresión anterior se obtiene;
3
(A4.5)
Emin  yc
2
Ejercicio A4.3: Un gasto unitario q = Q/b es descargado a través de un vertedor rectangular de pared gruesa, si la energía específica en la sección 1 es; E1 = H’ y se alcanza
el tirante crítico yc en la sección 2 donde la energía especifica es 3/2yc como se indica
en la ecuación (A4.5) demuestre que el valor del gasto unitario q es;
3/2
Q
2
 q  0.577 2g   H'
b
3
Figura A4.1) Croquis de una corriente de agua de magnitud Q a través de un vertedor de pared
gruesa.
Resolución: Asumiendo que la energía especifica en la sección 2 y 1 son iguales se
tiene que H’ = 3/2yc, para un canal rectangular el valor de yc se obtiene con la
ecuación (A4.4): yc = (q2/g)1/3 por lo tanto.
1/ 3
3
3  q2 
H'  = yc   
2
2 g 
Al despejar q y considerando que (2/3)3/2·(g)1/2 = 2/3·0.577·(2g)1/2 se obtiene la
ecuación propuesta.
18
Anexo 5. Pendientes de talud o lateral, número de Manning y Velocidad
permisible Vp para no generar erosión.
19