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FISICA IV : ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO GUIA DE LABORATORIO: ESTUDIO DE LA CAPACIDAD Y TRANSITORIO DEL CAPACITOR OBJETIVOS DE LA EXPERIENCIA: Estudiar el efecto de los capacitores en circuitos de CC y los fenómenos transitorios asociados. METODOLOGIA: Consiste en medir la corriente y voltaje como función del tiempo durante los procesos de carga y descarga de un capacitor conectado a una fuente de alimentación CC. Con estos datos experimentales se determinará la constante de tiempo, t, del circuito. La constante de tiempo depende funcionalmente del valor de la resistencia y capacidad en el circuito, por tanto, con esta información se calculará el valor de la capacidad. FUNDAMENTOS TEÓRICOS: La combinación de dos conductores separados por un material no conductor se denomina un capacitor. A diferencia de una resistencia, el capacitor no disipa energía eléctrica en forma de calor sino que la almacena en el campo eléctrico presente entre los conductores. Este campo eléctrico es mantenido por las cargas iguales y opuestas acumuladas en los electrodos conductores que conforman el capacitor. Cuando se incrementa la carga en el capacitor, la diferencia de potencial entre sus electrodos aumenta. La relación entre la carga total en uno de sus electrodos y la ddp entre los electrodos es siempre una constante denominada capacidad del elemento. Si Q es la carga en coulombios y V la diferencia de potencial en voltios, entonces la capacidad C se expresa en faradios y esta dada por: La capacidad de un capacitor depende tanto de la geometría de los conductores que forman las placas del capacitor como del material que las separa. Cuando se cierra cualquier circuito de CC siempre toma un cierto tiempo hasta que la corriente alcanza el estado estacionario. En circuitos resistivos puros estos períodos de tiempo son muy cortos; aproximadamente el tiempo requerido por la luz para viajar por el circuito. En muchos circuitos RC este período transitorio es suficientemente largo para poder ser estudiado en el laboratorio. Utilizaremos para nuestro estudio el circuito provisto por la cátedra y que se describe en la figura 1. El mismo consta de un condensador C, que puede cargarse y descargarse a través de la resistencia R. Ambos elementos están conectados en serie y serán alimentados por una fuente de alimentación de tensión continua que suministra una diferencia de potencial constante Vo. C = Q / V [1] a) Proceso de carga: Consideremos que inicialmente el condensador está descargado (para t = 0 ; q = 0) y el interruptor abierto. Así, en el instante en que se cierra el circuito se establece una diferencia de potencial instantánea resultando: La representación gráfica de q(t) durante el proceso de carga se muestra en la fig.2. En ella se visualiza que para tiempos muy largos el valor de la carga tiende asintóticamente al valor: Q C.V f 0 V iR ab [2] [9] Fig.2 V q / C [3] bc y por lo tanto V V V V iR q / C ac 0 ab bc [4] donde Vo es constante y representa el valor de la d.d.p. de la fuente. Tanto la corriente, i, como la carga, q, dependen del tiempo; i = i(t) y q = q(t). Si consideramos que la corriente eléctrica, i , representa el pasaje de cargas eléctricas a través de una sección del conductor en la unidad de tiempo, se puede expresar matemáticamente por: i dq / dt (coul/seg=ampere) [5] Reemplazando en la ecuación [4] resulta: V0 R ( dq q ) dt C [6] Esta ecuación constituye una ecuación diferencial de primer orden, lineal e inhomogénea de coeficientes constantes que podemos reescribirla como: dq q V o dt RC R [7] Teniendo en cuenta las condiciones iniciales del proceso de carga, la solución completa de la [7] es : q V . C(1 exp( t / RC )) 0 b) Proceso de descarga: [8] En el caso en que se desee determinar la ddp entre los bornes del condensador; debe emplearse la ec. [3] entonces: V q / C V (1 exp( t / RC )) bc 0 [10] La representación gráfica de Vbc es semejante a la de q(t) salvo en un factor constante. Para tiempos infinitamente grandes la ddp sobre el condensador tiene asintóticamente el valor de la fuente Vo. El producto RC que aparece en el denominador del exponente tiene dimensiones de tiempo y recibe el nombre de constante de tiempo = R.C [11] Cuando t = la ddp sobre el condensador resulta: V V (1 exp( 1)) 0, 63V bc 0 0 [12] de modo que la constante de tiempo representa el tiempo que tarda el condensador en alcanzar el 63% de su ddp final de equilibrio. Vamos ahora a considerar el circuito de la fig. 3. En él se puentéan los bornes de conexión a los que se encontraba conectada la fuente de tensión. Bajo estas condiciones, el condensador está inicialmente cargado (para t = 0 ; q = Q donde esta carga no es necesariamente la Qf del proceso de carga). Al cerrarse el interruptor las ddp instantáneas son: V i. R [13] ab V q/C bc [14] Al no haber fuente de alimentación resulta: V V 0 ab bc [15] Reemplazando i. R q / C 0 y teniendo en cuenta la ec. [5], la ecuación anterior puede escribirse como: dq q 0 dt RC [16] cuya solución con las condiciones iniciales previamente establecidas resulta: MATERIAL A UTILIZAR: Fuente de alimentación de CC. Plaqueta con circuito RC. Voltímetro. Cables de Conexión. Cronómetro. TÉCNICA OPERATORIA: q Q exp( t / RC ) 0 [17] Con lo cual se ve que la carga decrece exponencialmente con el tiempo debiendo transcurrir un tiempo infinitamente largo para que el condensador se descargue totalmente. La fig. 4 muestra la representación gráfica de la ec.[17] : Fig. 4 La ddp en el condensador en el proceso de descarga según [14] será : t Vbc q Qo RC e C C [18] si t = = RC entonces Vbc Qo 1 Q e 0.37 o C C [19] En este caso la constante de tiempo del circuito representa el tiempo que tarda el condensador en reducir su carga (o su ddp) a un 37% de su valor inicial. De los Fundamentos Teóricos queda claro que determinando la constante de tiempo del circuito para el proceso de carga (o de descarga) y conociendo el valor de la resistencia, R, se puede determinar la capacidad, C, del condensador mediante la relación: = RC de donde C=/R [20] Como la determinación es por medio de un método indirecto, el error cometido se calcula aplicando propagación de errores a la ec. [20]. a) Proceso de carga : PRECAUCIONES: Antes de conectar el sistema pedir autorización al ayudante de cátedra. Este preparado para intervalos cortos entre lecturas. Distribuya las tareas en la comisión, lectura, registro y control de tiempo. Antes de iniciar cada proceso el condensador deberá estar completamente descargado. a1) Conecte la fuente al circuito provisto por la cátedra poniendo atención a las polaridades de los distintos elementos. a2) Compruebe, por la lectura del voltímetro, que el condensador esté completamente descargado, si no fuera así, cierre el circuito con la punta P para lograrlo (Fig.5). a3) Una vez cerrado el circuito, tome lecturas de tensión (del voltímetro) cada 10 seg. registrando los valores leídos en una tabla de datos (tabla 1). a4) Se dará por finalizado el proceso de carga cuando el voltímetro acuse el mismo valor para tres lecturas consecutivas. a5) Repita el procedimiento cuatro veces. a8) Determine de la gráfica la constante de tiempo, , ubicando la abscisa correspondiente al punto cuya ordenada es V = 0,63 Vo (con Vo el valor al que la ddp del condensador tiende asintóticamente). a10) Con el valor de obtenido determine el valor de la capacidad, C, por medio de la ec. [20]. a9) Determine el E% de la constante de tiempo, , tomando como valor teórico de la misma el obtenido empleando la ec. [11], con R y C, los valores de la resistencia y el condensador del circuito provisto. a10) Determine el E% para el cálculo de la capacidad tomando y los valores obtenidos en el ítem anterior. a6) Anote los resultados de las lecturas y complete por cálculos las demás columnas de la tabla 1 . tabla 1 : proceso de carga t(seg) V(voltios) 0 0 10 .... a7) Grafique V(t) y q(t). b) Proceso de descarga : Precaución: Q(Coul) 0 ..... Fig. 5 Antes de iniciar el proceso el condensador debe estar completamente cargado. A tal efecto conecte el capacitor en forma directa a la fuente. b1) Desconecte la fuente del circuito. b2) Una vez cerrado el circuito, tome lecturas de tensión (del voltímetro) cada 10 seg. registrando los valores leídos en una tabla de datos similar a la tabla 1. b3) Se dará por finalizado el proceso de descarga del condensador cuando la lectura del voltímetro permanezca invariable para tres observaciones seguidas. b4) Repita el proceso de descarga cuatro veces. b8) Con el valor de obtenido determine el valor de la capacidad, C, por medio de la ec. [20]. b9) Determine el E% de la constante de tiempo, , tomando como valor teórico de la misma el obtenido empleando la ec. [11], con R y C, los valores de la resistencia y el condensador del circuito provisto). b10) Determine el E% para el cálculo de la capacidad tomando y los valores obtenidos en el ítem anterior. b5) Anote las lecturas y por cálculo complete las demás columnas de la tabla 1. b6) Grafique V(t) y q(t). b7) Determine de la gráfica la constante de tiempo, , ubicando la abscisa correspondiente al punto cuya ordenada es V = 0,37 Vi (con Vi el valor de la ddp inicial). Fig.6 ANÁLISIS DE DATOS: c) Empleo Del Utilitario Origin: Este utilitario se emplea para realizar el ajuste de datos experimentales permitiendo ingresar la función de regresión deseada. Para el caso particular de esta experiencia, mediante manipuleo matemático es posible linealizar la ec.[18], graficar los datos experimentales y aplicar una regrasión lineal a la curva resultante. Tomando el logaritmo natural de la ec.[18] se tiene: ln(V) = ln(Vmax) – t / RC [21] o bien, expresando en forma lineal Y = A.t + B [22] Con A = -1/RC = -1 / yB = ln(Vmax) Dado que la ec.[21] representa la ecuación de una recta, graficando ln(V) en función del tiempo, expresado en segundos, y luego realizando una regresión lineal mediante un utili- tario de PC, puede obtenerse la pendiente de la misma en forma sencilla. Técnica operatoria: En la ventana de trabajo Física IV, ejecute el programa seleccionando el icono Ingrese en la hoja electrónica los datos correspondientes al proceso de descarga. Selecciona la columna B(Y) llevando el cursor al encabezado de la misma y presionando el botón izquierdo del ratón. Seleccione “Plot” en el menú principal y luego la opción “Line” en la lista desplegable. Como resultado se abrirá una nueva ventana con el gráfico de los datos ingresados en la tabla. Para cambiar los títulos de los ejes, simplemente haga doble clic sobre los mismos e ingrese el texto deseado en la nueva ventana de dialogo. Seleccione “Analysis” en el menú principal y luego la opción “Fit Linear” en la lista desplegable. Seguidamente se abrirá una nueva ventana con los resultados de la regresión lineal realizada. Estos datos pueden ser copiados y pegados en las gráfica procediendo de la misma manera que bajo cualquier aplicación de Windows. Active la ventana del gráfico (seleccionándola con el ratón en el barra superior) e imprímala. Con el valor de la pendiente calcule y luego la capacidad C. Determine el E%. Compare el valor de C obtenido con los valores determinados en los ítems a) y b). CUESTIONARIO: 1) Usando la ley de Ohm, calcule el voltaje inicial y final sobre la resistencia. Que relación guarda esta con el voltaje sobre el capacitor? 2) Como están relacionados los voltajes sobre el capacitor y la resistencia con el voltaje de la fuente? Explique. 3) En el instante inicial del proceso de carga, cual es la resistencia efectiva del capacitor y cuanto vale esta cuando el capacitor esta totalmente cargado? 4) Basado en las observaciones experimentales realizadas, explique como un capacitor conduce corriente cuando se lo conecta a una fuente de alterna (AC). 5) Demuestre que el producto RC tiene unidades de tiempo. 6) Cuales son las causas de error a tener en cuenta en cada uno de los métodos. BIBLIOGRAFÍA: "Fundamentos de electricidad y magnetismo", A. Kip. "Electricidad y magnetismo", Sears. “University Physics”, Sears, Zemansky, Young. Física IV Hoja de datos ESTUDIO DE LA CAPACIDAD Y TRANSITORIO DEL CAPACITOR Nombre:.............................................................. Fecha: ......./......./........ Grupo: ............................................................... Comisión Nro.:............ DATOS: Elemento Voltaje Fuente R C (RC) Valor a) y b) Procesos de carga y descarga: Escala del voltímetro = ...................... T (seg) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 Proceso de carga ensayo 1 2 Proceso de carga ensayo C(calc) 1 2 3 4 promedio 3 4 Proceso de descarga ensayo T (seg) 1 2 3 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 Proceso de descarga ensayo C(calc) 1 2 3 4 promedio 4 c) Regresión lineal: Pendiente A (-1/ RC) (seg) C(calc)