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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA MECÁNICA
MÓDULO # 9: MÁQUINAS SIMPLES
Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
1
Arquímedes: “Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”
Imagen tomada de este link
Temas
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Introducción
Definiciones básicas
Las palancas
Las poleas
El aparejo diferencial
El plano inclinado
El torno
Introducción
Desde el punto de vista de teoría de sistemas una máquina simple se puede definir como un dispositivo que
transforma una fuerza a su entrada (fuerza aplicada, F) en una fuerza a su salida (fuerza de carga o
resistencia, Q) con una dirección y/o magnitud diferente (s). La denominada fuerza de carga es empleada
para desplazar cuerpos.
Un riguroso análisis del funcionamiento de las máquinas debe hacerse bajo los conceptos de trabajo y de
conservación de la energía (temas que se abordarán más adelante en este curso). Estos conceptos llevan a
concluir que si la máquina “aumenta la magnitud de la fuerza o mejor si Q>F, debe disminuir su
desplazamiento en la misma proporción”, por ejemplo si Q=2F, para que Q desplace un cuerpo en una
cantidad x, F se debe desplazar una cantidad 2x; "si se gana en magnitud de fuerza, se pierde en la misma
proporción en magnitud del desplazamiento".
El análisis mecánico de una máquina se puede hacer a través de las ecuaciones de equilibrio expresadas en
las leyes de Newton (ley de inercia de traslación y ley de inercia de rotación) o empleando los conceptos de
trabajo y energía.
Entre las máquinas simples están:




Las palancas.
Las poleas: fija, móvil, polipastos y aparejos.
El plano inclinado.
El torno.
Definiciones básicas
Ventaja mecánica
2
A la relación entre la magnitud de la fuerza de salida Q (resistencia o carga) y la fuerza de entrada F
(fuerza aplicada) se le denomina ventaja mecánica (VM) de la máquina:
VM=
Q
F
[1]
El valor de la VM puede ser mayor, menor o igual a uno. Si VM >1, con el uso de la máquina se obtienen a la
salida fuerzas más grandes pero desplazamientos más pequeños. Al revés sucedería si la VM <1.
Eficiencia
Cuando se considera que no hay pérdidas de energía en forma de calor o equivalentemente cuando se
desprecian los efectos de rozamiento, se dice que la máquina es 100 % eficiente. De esta forma, una
máquina cuya VM sea igual a 2, para una fuerza de entrada igual a 10 kgf se obtiene una fuerza a la salida
de 20 kgf. Pero en el caso práctico esto no es cierto ya que parte de la fuerza de entrada se debe emplear
para vencer las fuerzas de rozamiento, por lo que se obtendrá una fuerza menor a la salida. Supóngase que
la fuerza a la salida en el ejemplo propuesto sea igual a 15 kgf, obteniéndose una VM igual a:
VM =
15kgf
= 1,5
10kgf
A la ventaja mecánica calculada teniendo en cuenta los efectos de fricción, se le denomina ventaja
mecánica real (VMR). A la calculada sin efectos de fricción se le denomina ventaja mecánica ideal (VMI). En
el ejemplo, VMR=1,5 y la VMI=2.
A la relación entre VMI y VMR se le denomina eficiencia e de la máquina:
e=
VMR
VMI
[2]
Obviamente la eficiencia e debe ser menor que 1 debido a que nunca será posible que VMR sea mayor
que VMI. En el caso del ejemplo, la eficiencia es igual a 0,75 o si se quiere en porcentaje es 75%. La
ecuación (2) es el resultado de una regla de tres simple y directa: "...si para que la máquina tenga una
eficiencia igual a 1 (o 100%), la ventaja mecánica debe ser igual a la ideal (VMI) ¿Cuál será su eficiencia si
su ventaja mecánica es la real (VMR)...? ".
A continuación se analizan algunas máquinas simples.
Las palancas
Desde muy pequeños la experiencia enseña que para desplazar un objeto muy pesado se puede usar el
mecanismo de la Figura 1 (izquierda: una barra con un punto de apoyo O, denominado también fulcro). Con
este mecanismo (denominado palanca) es necesario solo hacer una pequeña fuerza F para levantar una gran
carga Q. A la sección de la barra que hay entre el punto de apoyo y la carga Q, se le denomina brazo de la
resistencia (q) y a la otra sección, se le denomina brazo de la fuerza aplicada (f). En la Figura 1 (derecha)
se ilustra el diagrama de fuerzas sobre la barra (palanca) en posición horizontal y en donde se ha
despreciado el peso de ésta (en la práctica F y Q son mucho mayores que este peso, aunque tenerlo en
cuenta tampoco complicaría los respectivos cálculos). Aquí N es la fuerza normal que ejerce el apoyo sobre
la palanca, Q es la fuerza que ejerce la carga sobre la palanca (que en situación de equilibrio será igual al
peso de la carga) y F es la fuerza aplicada que la ejerce el señor sobre la barra.
Figura 1: Palanca (izquierda). Diagrama de fuerzas para la palanca (derecha)
Aplicando la condición de equilibrio para rotación respecto al fulcro:
τ
o
= 0  Q q - F f = 0
De esta ecuación se deduce que la ventaja mecánica ideal para la palanca es igual a:
VMI =
Q
f
=
F
q
[3]
Se debe aclarar que las palancas no necesariamente se usan para “amplificar” la fuerza (F <Q) y por lo tanto
f>q); también podrá ser lo contario en cuyo caso “amplificará” el desplazamiento (es decir F>Q pero Q se
desplazara más que F, f<q). En el primer caso VMI>1 y en el segundo VMI<1.
Las palancas se clasifican con base en la posición del fulcro O respecto a la “resistencia Q” y a la “fuerza
aplicada F” (ver Figura 2):



Q-O-F (primer genero)
O-Q-F (segundo género)
O-F-Q (tercer género)
3
Figura 2: Ejemplos de palancas de diferente género
Las poleas
Una polea es básicamente una especie de palanca que puede usarse para cambiar la dirección de una fuerza.
Si se usa adecuadamente, una polea o un sistema de poleas puede también “multiplicar” la fuerza.
La polea fija
La polea simple de la Figura 3, se comporta como una palanca de primer género. El eje de la polea hace de
punto de apoyo (punto O) y los brazos de la palanca (que corresponden al radio de la polea, r ) son iguales,
por lo que esta polea no “multiplica la fuerza”: simplemente cambia la dirección de la fuerza. La ventaja
mecánica es igual a 1; observar que los desplazamientos (en magnitud) a ambos extremos de la cuerda son
iguales: si la carga sube 1 m, la mano debe bajar 1 m.
Figura 3: Polea fija
En la Figura 4 (izquierda) se ilustra el diagrama de fuerzas para la polea con un pedazo de cuerda (se ha
despreciado la fricción con el eje): F es la fuerza que ejerce la mano, T es la fuerza que se ejerce sobre el
extremo izquierdo del pedazo de cuerda, P es el peso de la polea (en muchas aplicaciones se puede
despreciar) y R la fuerza que ejerce el eje sobre la polea (tiene componentes Rx y Ry). La polea tiene radio
r.
Figura 4: Diagramas de fuerza: polea (izquierda), carga (derecha).
4
Aplicando las condiciones de equilibrio para la rotación de la polea se obtiene:
τ
o
=0  T r -Fr = 0 T = F
En la Figura 4 (derecha) se ilustra el diagrama de fuerzas para la carga con un pedazo de cuerda: el peso
de la carga es Q y la fuerza sobre el pedazo de cuerda es T’ (que sería la fuerza de reacción a T, es decir,
T=T’ ).
Aplicando la condición de equilibrio de traslación para la carga se obtiene:
F
y
= 0  T' - Q = 0  Q = T'
Combinando las dos ecuaciones anteriores se obtiene,
Q=F
y por lo tanto la ventaja mecánica ideal para la polea fija es igual a:
VMI =
Q
=1
F
[4]
La polea móvil
La polea simple de la Figura 5 (izquierda) funciona como una palanca de segundo género. Un razonamiento
cuidadoso mostrará que en este caso el punto de apoyo está en el extremo izquierdo de la "palanca", donde
la cuerda entra en contacto con la polea (punto O). En la Figura 5 (derecha) se ilustra un subsistema de la
máquina que facilita su análisis mecánico. La fuerza Q corresponde a la carga (suma del peso de la polea con
el peso del cuerpo que se quiere desplazar, es decir, es el peso del subsistema considerado: en muchas
aplicaciones se desprecia el peso de la polea). La fuerza F es la ejercida por la mano, y T es la tensión en la
cuerda (fuerza ejercida sobre ese trozo de cuerda). La polea tiene radio r.
Figura 5: Polea móvil (izquierda). Diagrama de fuerzas sobre el subsistema polea-carga (derecha)
Aplicando la condición de equilibrio de rotación sobre el subsistema se obtiene:
5
τ
o
= 0  F2 r  - Q r = 0  Q = 2 F
De esta ecuación se deduce que la ventaja mecánica ideal para la polea móvil es igual a:
VMI =
Q
=2
F
[5]
6
Polea fija más móvil
En la Figura 6 se ilustran diferentes configuraciones de poleas fijas con móviles. Estos sistemas reciben el
nombre de polipastos.
Tarea: Ejercicio 1
Mostrar que la VMI de la máquina simple de la Figura 6 A es igual a 2.
Tarea: Ejercicio 2
Mostrar que la VMI de la máquina simple de la Figura 6 B es igual a 2.
Figura 6: Diferentes polipastos
Tarea: Ejercicio 3
Mostrar que la VMI de la máquina simple de la Figura 6 C es igual a 4.
Tarea: Ejercicio 4
Mostrar que la VMI de la máquina simple de la Figura 6 D es igual a 3.
Tarea: Ejercicio 5
7
Mostrar que la VMI de la máquina simple de la Figura 6 E es igual a 8.
Tarea: Ejercicio 6
Mostrar que la VMI de la máquina simple de la Figura 6 F es igual a 8.
Aparejo diferencial
En la Figura 7 se ilustra un aparejo diferencial. En él se emplea una cadena y ruedas dentadas que no dejan
deslizar la cadena. La polea diferencial tiene como radios r y R (r<R).
En la Figura 7 (centro) se ilustra el diagrama de fuerzas sobre el subsistema polea inferior-carga-trozos
de cadena: aquí T’1 y T’2 son las fuerza ejercidas sobre los trozos de cadena, Q es el peso de la carga con la
polea (despreciando el peso de la cadena). En la Figura 7 (derecha) se ilustra el diagrama de fuerzas sobre
el subsistema polea superior: aquí P es el peso de la polea superior, T1 y T2 son las fuerzas de reacción a T’1
y T’2 respectivamente (T1= T’1 y T2= T’2), N la fuerza que ejerce el eje de la polea a la polea (se desprecia el
rozamiento entre ambos), F la fuerza que ejerce la mano. La polea inferior tiene radio r’ y las superiores r
y R.
Figura 7: Aparejo diferencial (izquierda). Diagramas de fuerza de dos subsistemas (centro y derecha)
Aplicando la ley de inercia de traslación al subsistema de la Figura 7 (centro) se obtiene:
 F =0  T + T - Q = 0
y
1
2
Aplicando la ley de inercia de rotación para el mismo subsistema respecto al centro de la polea (O):
τ
o
= 0    T1 r +  T2   r = 0  T1 = T2
y por lo tanto,
T1 = T2 = T1 = T2 = T
8
es decir,
Q = 2T
Aplicando la ley de inercia de rotación para el subsistema de la Figura 7 (derecha) respecto al centro O’
de la polea,
τ
o
= 0   T  R  -  T  r  -  F R  = 0
Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene,
VMI =
Q
2R
=
F
R-r
[6]
Se observa que entre más cerca estén los radios de las poleas superiores (es decir, menor sea la
DIFERENCIA entre ellos), mayor será la ventaja mecánica del aparejo.
El plano inclinado
En la Figura 8 se ilustra un ejemplo del uso del plano inclinado como maquina simple: un bloque es empujado
para llevarlo hasta un lugar alto. Para esto se utilizó una rampa y se hace que el objeto se deslice por ella,
de esta forma se requiere de menor esfuerzo (“amplificación de fuerza”) a costa de recorrer una
distancia mayor.
Figura 8: Plano inclinado (izquierda). Diagrama de fuerzas sobre la carga (derecha)
El diagrama de fuerzas sobre la carga se ilustra en la Figura 8 (derecha). Aquí N corresponde a la fuerza
normal que ejerce el plano sobre la carga (para efectos de calcular la ventaja mecánica ideal se está
despreciando el rozamiento), Q corresponde al peso de la carga y F la fuerza aplicada por una persona.
Tarea: Ejercicio 7
Mostrar que la VMI del plano inclinado es igual a:
9
VMI =
Q
L
=
F
H
[7]
Es interesante decir que se basan en el principio del plano inclinado como máquina los tornillos (plano
inclinado enroscado alrededor de un cilindro o cono), las carreteras (una especie de tornillo construido
sobre una montaña), los cuchillos y las hachas, Figura 9.
Figura 9: Ejemplos de aplicación del plano inclinado como máquina simple
El torno
En la Figura 10 (izquierda) se ilustra una máquina simple denominada TORNO. Ella es muy utilizada para
elevar baldes con agua en los pozos. En la Figura 10 (derecha) se ilustra el diagrama de fuerzas sobre el
torno que facilitará su análisis mecánico. La fuerza F la ejerce una persona para hacer rotar el manubrio,
la fuerza N la ejerce el eje, la fuerza P es el peso del torno y la fuerza Q es el peso de la carga. Aquí se
ha despreciado la fricción con el eje (esto para efectos de calcular la ventaja mecánica ideal).
Figura 10: Torno (izquierda). Diagrama de fuerzas que facilita el análisis mecánico del torno
Para analizar ésta máquina basta emplear la ley de inercia de rotación:
τ
o
= 0   Q r  -  F R  = 0
en donde O es el centro del torno y es por donde pasa el eje de rotación. Por lo tanto la ventaja mecánica
ideal es,
VMI =
Q
R
=
F
r
[8]
10
FIN.