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PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA
Recordamos que la igualdad entre dos razones es una proporción. Y que se llama razón de dos
𝑚
segmentos de longitudes “m” y “n” al cociente entre estas longitudes: 𝑛
Se comparamos la relación de los segmentos “a” y “b” y los de “c” y “d” forman una proporción
𝑎
𝑐
porque 𝑏 = 𝑑 = 𝑘. Siendo el valor de “K” la constante o razón de proporcionalidad.
Teoremas de Tales.
Si dos rectas secantes son cortadas por un conjunto de rectas
paralelas, los segmentos determinados en un de ellas son
proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.
Ejercicios:
1. Calcula la longitud x del segmento de la figura.
2. Los peldaños de la grada representada en la figura son paralelos. Calcula las longitudes de la
grada representadas como x e y.
3. Halla las longitudes x e y de los siguientes ejemplos.
4. Observa la figura. ¿Puedes afirmar que las rectas a, b y c son paralelas?
Cómo dividir un segmento en partes proporcionales o iguales.
Ejercicios.
5. Divide gráficamente un segmento de longitud a=9 cm en dos partes proporcionales a los
segmentos b=4cm y c=7 cm.
6. Divide gráficamente un segmento de longitud a=15 cm en partes proporcionales a los
segmentos b=8 cm, c=6 cm y d=4 cm.
7. Divide gráficamente un segmento de longitud 18 cm en siete partes iguales.
Teorema de Pitágoras.
Hipotenusa
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos.
a2 = b2 + c2
Si despejamos a nos queda de la siguiente forma: 𝑎 = √𝑏 2 + 𝑐 2
Si despejamos b nos quedaría 𝑏 = √𝑎2 − 𝑐 2
Cateto Mayor
Cateto menor
Ejercicios.
8. El cateto de un triángulo rectángulo mide 4,3 cm y la hipotenusa 7,54 cm. ¿Cuál es la longitud
del otro cateto?
Hipotenusa
7,54 cm
Cateto
4,3 cm
9. Calcula la altura de un triángulo isósceles cuya base mide 5 cm y uno de los lados iguales es 4,5.
10. Calcula la longitud de los lados iguales de un triángulo isósceles sabiendo que su base mide 8
cm y su altura 7cm
11. Un triángulo rectángulo tiene un cateto menor cuya longitud es la mitad que la del otro cateto.
Calcula el valor de la hipotenusa sabiendo que la suma de los catetos es 15 cm.
Triángulos en posición de Tales.
Dos triángulos están en posición de Tales si tienen un ángulo en común y los lados opuestos a este
ángulo son paralelos.
Dos triángulos en posición de Tales tienen Dos triángulos en posición de Tales tienen los
los lados proporcionales.
ángulos iguales
Ejercicios.
12. Halla las longitudes de “x” e “y” sabiendo que el perímetro del triángulo mayor mide 54 cm.
13. Observa la figura dada e indica pares de triángulos en posición de Tales.
14. Hemos cortado un listón de madera en partes proporcionales a 2, 3 y 5.
Halla la razón de estos segmentos:
A) AB y CD
B) AC y BD
C) BC y AD
D) BC y BD
15. La razón de dos segmentos a y b es 5/3, y la razón de dos segmentos b y c es 2/5. Halla la razón
de los segmentos c y a.
16. Observa el siguiente tramo de carretera.
𝐴𝐶
En qué kilómetro se encuentra la casa si 𝐴𝐵 =
5
4
17. Halla las dimensiones de un rectángulo si su perímetro es 36 cm y la razón de la base y la altura
es 5/4.
18. Calcula la longitud “x” de los segmentos de las siguientes figuras.
19. Halla las longitudes de los segmentos “x” e “y” de esta figura.
20. Observa la figura y halla las longitudes de los segmentos x, y, z.
21. Las rectas “r” y “s” de cada una de las figuras siguientes son paralelas. Indica si la recta “t”
también es paralela a “r” y “s”.
22. Divide un segmento de 10 cm en partes proporcionales a 2, 3 y 4.
23. Divide un segmento de 6 cm en partes proporcionales a 2, 3 y 4.
24. Determina los valores de H1 y H2 de la figura.
25. Calcula el valor de la hipotenusa h del triángulo A sabiendo que los lados de este triángulo son
proporcionales a los del triángulo B.
26. La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 564 cm. Si la razón entre ellos es de 5,
¿cuánto mide su hipotenusa?
27. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 60 y 80 cm. ¿Cuántos metros mide la hipotenusa
de un triángulo rectángulo con los mismos ángulos pero cuyos lados miden el doble? ¿Y el
triple? ¿Y cien veces más grandes?
28. Calcula las medidas que faltan en el triángulo de esta figura.
29. Halla el perímetro del triángulo DBE sabiendo que AC=10 cm, BC=16 cm, AB= 22,7 cm y BD= 11
cm.
Problemas.
30. Un escultor debe diseñar la escultura de la derecha, formada por dos
triángulos rectángulos de lados proporcionales tales que el mayor reposa
encima de un cuadrado de área 64 m2. ¿Cuál es la altura total de la escultura
si se sabe que la hipotenusa del triángulo menor mide 10 m?
31. Un coche asciende por una rampa a una velocidad de 5 m/s. Si a los 4 s de su salida está a una
altura de 10 m, ¿a qué altura se encontrará a los 15 s?
32. En la figura puedes observar la disposición de las pistas de la terminal de un aeropuerto. A
partir de los datos que se indican, determina los palores para “x” e “y”.