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ANÁLISIS DEL APRENDIZAJE DEL ALGEBRA LINEAL EN EL CONTEXTO DE
UN PROGRAMA POR COMPETENCIAS
Pedro T. Ortiz y Ojeda
Departamento de Ciencias Básicas. ITTG
Patricia G. Sánchez Iturbe
Depto. de Ing. Química y Bioquímica. ITTG
Eje temático: 6
Tipo de estructura: Reporte de investigación
Palabras claves: Álgebra, espacio, competencia.
RESUMEN
El objetivo de esta investigación fue el análisis del aprendizaje del Algebra lineal
desarrollada por competencias bajo el supuesto de que en su aprendizaje produce
características que subyacen dentro de un eje conceptual de las competencias
disciplinares de matemáticas que es el concepto de medición. Las categorías de
aprendizaje fundamentales fueron identificadas por el contenido del programa por
competencias. Lo anterior se contrastó con la observación directa durante las
entrevistas coloquiales y en forma de diálogos entablados con los estudiantes y
categorizado, usando un tamiz onto-epistemológico, implementados durante el
desarrollo del curso obteniéndose la caracterización del aprendizaje de los
conceptos del Algebra lineal, como métrica, forma, espacio que por el aprendizaje
deben de conducir al concepto de medición, mediante un proceso dialéctico.
PROBLEMÁTICA DEL ESTUDIO
La naturaleza del conocimiento matemático es caracterizado de diversas maneras,
según el ontologismo matemático, los principios matemáticos no son adquiridos o
inventados, sino que son innatos y son anteriores a toda experiencia, el empirismo
matemático, considera que las matemáticas son un reflejo de la realidad y el
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proceso de apropiación del conocimiento matemático parte de la inducción y
termina con la deducción. El formalismo considera que las matemáticas son un
sistema deductivo basado en axiomas, y el intuicionismo matemático parte del
concepto que los entes matemáticos son construidos por el sujeto y por último el
“operacionalismo” dialéctico, considera que los entes matemáticos tienen validez
en el carácter operativo, teniendo como fundamentos la profundidad y la extensión
(Ortiz P. et al. 2010)
En la diversa naturaleza de las matemáticas, se encuentran: estructuras, símbolos
y relaciones que permiten una interpretación de los conceptos y el significado del
objeto matemático, los cuales afectan al proceso de aprendizaje que se realiza
como si fuera una causalidad lineal, en forma de operaciones conceptuales
pasando
por
representaciones
cualitativas,
algorítmicas,
heurísticas
y
cuantitativas.
JUSTIFICACIÓN
Es posible que el proceso de aprendizaje de las matemáticas esté definido dentro
de la capacidad de aprender los conceptos en términos de comprender la lógica
de la construcción del concepto matemático estudiado, que permitiría generalizar
los conceptos, para después ejercer la versatilidad de proponer y resolver
ejercicios, de manera que se desarrollara la experticia.
El propósito de esta investigación fue analizar cómo se construye el conocimiento
matemático de medición matemática dentro del salón de clase, mediante la
observación y entrevistas desarrolladas en la asignatura de Algebra lineal, debido
a que contiene elementos que entran en contradicción con la realidad cotidiana y
el desarrollo epistemológico del concepto.
Al realizar este tipo de investigaciones se considerar que para aprender existe un
proceso dialéctico, donde se ponen en juego los conocimientos previos con la
formalización ya establecida y pueden aparecer contradicciones conceptuales
debido al uso del sentido común al inicio del aprendizaje del concepto
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MARCO TEÓRICO
De manera general dentro del proceso de construcción del conocimiento se
encuentra implícita la ontología de las ideas desde una interpretación de la
realidad en forma desestructurada, siguiendo en la posibilidad de darle sentido y
por último el definir una visión integrada y sistémica del conocimiento, también
caracterizada por la naturaleza epistemológica del conocimiento, partiendo de que
se considera que los conceptos puros o las categorías proceden del realismo es
decir, de la experiencia sensorial en forma objetiva e independiente a través de la
observación, que se puede considerar dentro de una visión epistemológica
llamada racionalismo pasando por innanismo y apriorismo, que al ser contrastado
con una visón del positivismo conduce al empirismo del conocimiento (Hernández
G. et. al. 2003)
En relación con lo anterior, las matemáticas tienen que ver con el origen y la
representación de la medición, las relaciones del algebra lineal se comprenden
con claridad sólo al considerar los correspondientes espacios lineales: matrices y
formas algebraicas.
El planteamiento de esta investigación corresponde al análisis del aprendizaje del
álgebra lineal haciendo especial énfasis en la capacidad de desarrollar durante el
curso las competencias como: 1) Argumentar, poder seguir y evaluar argumentos
matemáticos de diferentes tipos: procedimientos intuitivos, construir y expresar
argumentos matemáticos. 2) Comunicar la capacidad de expresarse en forma oral
y escrita, entender aseveraciones sobre los temas. 3) Representar, codificar,
traducir, interpretar y distinguir entre diferentes representaciones de objetos y
situaciones matemáticas y sus interrelaciones. 4) Utilizar lenguaje y operaciones
simbólicas, formales y técnicas. 5) Modelar, traducir la “realidad” a una estructura
matemática, trabajar con un modelo matemático, validarlo, etc. 6) Plantear y
resolver problemas, empleando una variedad de métodos (Niss M. 2002). Se
consideró que dentro de las cuales se encuentran contenidas las concepciones
onto-epistemológicas de: medida, métrica, forma las cuales permiten desarrollar la
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capacidad de conceptuar el espacio matemático una características del algebra
lineal.
También
existen
otras
competencias
especificas
como
son:
1)
Utilizar
herramientas computacionales, conocer y ser capaz de utilizarlas (TIC´s), así
como comprender sus limitaciones y alcances. 2) pensar y razonar las preguntas
características (¿cuántas…hay?, ¿cómo encontrar…?.), las cuales no se
considero importantes para conceptualizar el espacio y por consiguiente construir
el concepto de medición como competencia disciplinar.
METODOLOGIA
En esta investigación, la muestra representativa se tomó de una población de
estudiantes de Ingeniería que aprendían Algebra lineal. Se dividió internamente a
los estudiantes en tres grupos significativos de la población estudiada (todos los
estudiantes inscritos), el primer grupo, formado por aquellos que en su prueba
diagnóstica obtuvieron una calificación superior a 80 y hasta 100, un segundo
grupo que tuvo una calificación menor de 80 pero mayor que cero y un tercer
grupo en el que no se encontró ninguna respuesta correcta. Para darle validez y
confiabilidad esta selección se realizó durante tres semestres consecutivos, los
datos fueron obtenidos por el uso de la triangulación asincrónica de la información
recopilada.
GRUPOS
Calificación
obtenida
1
2
3
(no. de estudiantes)
(no. de estudiantes)
(no. de estudiantes)
100-80
5
7
9
79- 0
30
27
32
4
3
1
Sin
Calificación(sin
respuesta
correcta)
Cuadro 1. Ejemplo de la relación de número de alumnos entre grupos y rangos de
calificación obtenidos
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Se usó en esta investigación la perspectiva teórica de la fenomenología, al
estudiar a los fenómenos tal como son experimentados, vividos y percibidos por el
alumno, no para describir, sino para descubrir la esencia válida y útil
científicamente hablando de un fenómeno.
Esta se desarrolló en tres etapas:
1.-Presupuestos: se establecieron, las conjeturas, los intereses, y los valores,
como punto de partida para luego establecer su posible influencia en el desarrollo
de la investigación.
2.-Descripción: Para obtener los datos, por ser una perspectiva teórica de tipo
ideográfica, se trabajó con la observación directa y participante, mediante
entrevistas coloquiales y dialógicas.
3.-Estructuración: Se pusieron en práctica las reglas de reducción fenomenológica
tendiendo a ver más de lo que hay en el objeto, las nuevas realidades que fueron
estructuradas descriptivamente usando el lenguaje técnico y científico que
corresponde.
Se considera como ejemplo alguno de los elementos que se desarrollaron
durante la observación y la entrevista en la construcción estructural de los
conceptos de medida, métrica, formas fundamentales para la formación ontoepistemológica del espacio algébrico lineal, los cuales están representados en el
siguiente cuadro descriptivo:
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Inicialmente:
RESPUESTAS Y UBICACIÓN
PRESUPUESTOS
DE DESCRIPCIÓN
ESTRUCTURACIÓN
LOS ESTUDIANTES
-Las
operaciones
adición
RESULTANTE
la La expresión anterior fue Se nota una carencia de
sustracción, expresada
por
varios una
conceptualización
multiplicación y división alumnos, que estaban en apegada a la realidad.
solo
se
realizan
con el rango de calificación,
números
con 50 puntos o más.
Posteriormente, durante el curso:
CONCEPTUALIZACION
PRESUPUESTOS
DE DESCRIPCION
LOS ESTUDIANTES
ESTRUCTURACION
RESULTANTE
-Es difícil entender que Hubo cierto desconcierto Entra
en
conflicto
la
las operaciones incluyen al establecer similitudes situación de definir un
a polinomios, matrices y y diferencias con sus número
operadores.
conocimientos
en
forma
generalizada
anteriores.
OPERATIVIDAD
PRESUPUESTOS
DE DESCRIPCION
LOS ESTUDIANTES
ESTRUCTURACION
RESULTANTE
-Se toma en cuenta los El grupo de 80 a 100 La
objetos con los que se presenta
realizan las operaciones.
falta de claridad en
explicaciones las propiedades de las
plausibles
de
las relaciones
operaciones.
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RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Resulta interesante observar la construcción del conocimiento matemático al
localizar elementos de la epistemología y la ontología, de manera que presenten
una característica ontológica de las ideas que va desde una interpretación de la
realidad en forma desestructurada, siguiendo en darle sentido y por último definir
una visión integrada y sistémica, de los conceptos que forman el espacio
epistémico del Álgebra lineal.
En forma dialéctica es posible establecer siguiente tamiz onto-epistemológico:
TAMIZ ONTO-EPISTEMOLÓGICO
MEDIDA
EPISTEMOLOGIA No
METRICA
ESPACIO
FORMA
se Incomprensión Representación Falta
percibe
lo del significado
que
es
no
Euclidiana
significado
intrínseco
posible
concebir
ONTOLOGIA
Desconexión
en
Carencia
de Apreciación
la generalización
cualitativa
No
se
establecen
interpretación
invariantes
conceptual
conceptuales
CONCLUSIONES
Según el tamiz onto-epistemológico aplicado al análisis del aprendizaje del
Álgebra lineal, puede concebirse que el conocimiento del espacio matemático es
una dualidad entre el sujeto y el objeto, la función del sujeto es aprender al objeto
y la del objeto ser aprehensible y aprendido, en una correlación no reversible,
donde al parecer el conocimiento se presenta como una transferencia de las
propiedades del objeto al sujeto.
El conocimiento es verdadero cuando existe concordancia con el objeto,
mostrándose en algunos casos como la ausencia de contradicción y en otros
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como la evidencia. Coincidiendo con Hernández G. et. al. (2003) y Cázares L.
(2009), todo fenómeno de conciencia es un proceso dialéctico entre el sujeto y el
objeto.
Así la realidad viene determinada por la epistemología identificada con el sujeto y
por lo que entiende por conocimiento matemático y por la ontológica identificada
por el objeto que determina el concepto general de la realidad, la didáctica de las
matemáticas y del Álgebra lineal se puede encausar hacia una mejor adecuación y
armonía entre las concepciones: mentales, cognitivas, ideales, convencionales y
las estructuras peculiar y particular de las matemáticas.
REFERENCIAS
Anton H. (2010). Introducción al algebra lineal. México: Ed. Limusa
Cázares L. (2009). Planeación y evaluación basadas en competencias. México:
Ed. Trillas
De la Peña A. (1999). Algebra en todas partes. México: Ed. FCE.
Hernández G. et. al. (2003). Filosofía de la experiencia y ciencia experimental.
México: Ed. FCE.
Krutitskaya N. Ch. (1987). Algebra lineal. Preguntas y problemas. Moscú: Ed. Mir
Ortega P. (2004) La enseñanza del álgebra lineal mediante sistemas informáticos
de
cálculo
algebraico.
Tesis
Doctoral.
http://eprints.ucm.es/tesis/edu/ucm-
t25694.pdf
Larson R. (2010). Fundamentos del algebra lineal. México: Ed. Cengage Learnig
Martinez M. (2006). Ciencia y arte de la metodología cualitativa. México: Ed. Trillas
Niss M. (2002) Mathematical competencies and the learning of mathematics. The
Danish Kom Project, IMFUFA, Roskilde University, Roskilde, Denmark
Ortiz P. et al. (2010). Epistemología y cognición: elementos para comprender el
proceso de aprendizaje de la matemáticas en Ingeniería En: revista PAKBAL, año
9. Abril/10. pp: 16-22
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Uzuriaga L. et. al. Algunos medios que contribuyen a mejorar el aprendizaje del
algebra lineal. http://www.utp.edu.co/php/revistas/ScientiaEtTechnica/.../21829341346.pdf
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