Download FORMACIÓN INTEGRADA DE ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA

UN APORTE DE LA GEOMETRÍA PARA MEJORAR
LA CALIDAD DE LOS APRENDIZAJES
DE ÁLGEBRA LINEAL EN INGENIERÍA
(PROYECTO FONDECYT N° 1030117).
Carlos Caamaño Espinoza y María Aravena Díaz.
Instituto de Ciencias Básicas, Universidad Católica del Maule, Talca, Chile.
Resumen
El problema central de esta investigación, de carácter cualitativo, fue favorecer el estudio del álgebra
lineal y la geometría, como proceso integrador, con el objeto de mejorar el logro de los aprendizajes en la
asignatura de Álgebra Lineal de la Carrera de Ingeniería en Construcción de la Universidad Católica del
Maule (Talca - Chile). Para esto nos propusimos verificar la viabilidad, desde el punto de vista didáctico y
matemático de este proceso, considerando la complementariedad del pensamiento analítico con el visual,
para algunos contenidos específicos de dicha asignatura, como objeto matemático.
Este trabajo, se basó en el enfoque actual de la Didáctica de la Matemática centrado el mejoramiento de la
calidad de los aprendizajes matemáticos de los estudiantes de los distintos niveles del sistema educativo.
En particular, hace aportes al desarrollo de una nueva línea de investigación focalizada en los problemas
relacionados con el aprendizaje matemático en estudiantes universitarios de carreras no matemáticas, en
las asignaturas de Álgebra.
Específicamente, se trabajó con alumnos y alumnas de Primer Año de la Carrera de Ingeniería en
Construcción, que cursaban la asignatura de Álgebra Lineal, para el logro de la siguiente secuencia de
objetivos específicos:
1.
Reconocer los elementos que justifican la conveniencia de vivir contenidos matemáticos en la
formación de no matemáticos, a partir del uso de diversos ostensivos mediante situaciones de
contextualización en ingeniería e identificar las características curriculares que se institucionalizan
habitualmente, reconociendo algunos indicadores específicos de la realidad chilena.
2.
Identificar los elementos y contenidos geométricos que se requieren movilizar, tanto desde un
pensamiento analítico como visual, en el aprendizaje matemático de los contenidos de la asignatura
de Álgebra Lineal en estudiantes de Ingeniería en Construcción.
3.
Verificar la implicancia de la aplicación de un proceso de formación integrada entre álgebra y
geometría en el logro de los aprendizajes matemáticos requeridos en la asignatura de Álgebra Lineal
para Ingeniería en Construcción.
4.
Reconocer progresos en los estudiantes a partir de sus concepciones previas e identificar
características positivas del desarrollo didáctico que se inducen a partir de la implementación
realizada.
En primer lugar, a partir de una reflexión contextual, tanto de los Programas de Estudio
de la asignatura de Álgebra Lineal recopilados, que están vigentes en las escuelas de
ingeniería de diferentes universidades chilenas, como de los textos más usados para esta
asignatura en dichas universidades, se logró identificar algunas características
curriculares que se han ido institucionalizando, en general, en la formación matemática
del área de la ingeniería. Esto nos permitió establecer algunos elementos preliminares,
que permiten justificar la conveniencia de que los estudiantes puedan relacionar
contenidos de álgebra lineal, tanto con contextos reales del ámbito profesional como de
los contextos matemáticos e interdisciplinarios de estas carreras.
A continuación, partiendo con la objetivación del contenido, realizamos un análisis
histórico epistemológico del contenido matemático considerado en este estudio,
determinando así el valor que le otorgaríamos, teniendo en cuenta además nuestra
concepción de la geometría, la explicitación de habilidades y procesos relevantes que
debían ser aprendidos, los tipos principales de problemas que serían abordados y las
estrategias generales para el trabajo de campo. Para esto, utilizamos la Geometría como
método para visualizar conceptos y procesos matemáticos, ya que uno de los procesos
que ha caracterizado al conocimiento geométrico es el de la visualización. Este se
entiende como dar “forma” mental o física a determinados conceptos y procedimientos
matemáticos, no necesariamente “figurados”. Esto es, el asociar una imagen figurada de
un concepto o procedimiento. Por lo tanto, consideramos aquí a la geometría como un
método que permite visualizar no sólo formas y figuras, sino también, y lo que es aún
más relevante en la enseñanza universitaria, como un método para visualizar conceptos
y procesos sistemáticos.
El segundo elemento clave lo constituye la construcción, reconstrucción y situación del
conocimiento matemático. Aquí, los objetos geométricos se interpretan como
conocimiento situado, en la medida que permiten visualizar contenidos algebraicos y
reconocer el valor de la interpretación de fenómenos reales, teniendo presente las
siguientes categorías de objetivos de visualización del objeto matemático según
Zimmermmann (1991): a) Básicos; b) Funcionales; c) Generales; y d) Relacionados
específicamente con el cálculo. En este proceso de construcción del conocimiento, se
debe considerar también la forma en que éste se ha institucionalizado, reconociendo los
elementos que deben ser superados. En nuestro caso, realizamos un trabajo que permitió
optimizar las relaciones entre el contenido algebraico y geométrico con alumnos de
primer año de Ingeniería en Construcción de la UCM, partiendo del reconocimiento de
“lagunas” y elementos olvidados, hasta llegar a la construcción, reconstrucción y
situación del conocimiento matemático.
Al mismo tiempo, verificamos que los contextos y la vida cotidiana desempeñan un
papel fundamental en cada una de las fases del aprendizaje y la enseñanza de la
matemática. Existe consenso hoy día, que en que la enseñanza y el aprendizaje de la
matemática, en cualquier nivel del sistema educativo debe ser contextual, es decir, debe
partir de contextos que revistan interés y que tengan pertinencia con el mundo real. En
particular, planteamos que en la enseñanza superior, la matemática para no matemáticos
(por ejemplo, en ingeniería) debe basarse en la introducción del objeto matemático
aplicado, pero sin “desperfilar” la propia matemática como disciplina científica.
El tercer componente lo hemos denominado elementos curriculares, que consta de dos
aspectos básicos:
1) Los principios de Dubinsky (1996): a) Enseñanza investigativa; b) Enseñanza cíclica
y; c) Aprendizaje cooperativo, que relacionamos con los niveles de razonamiento o
conocimiento matemático, definidos en el modelo pedagógico de los Van Hiele.
2) Bases para la selección de contenidos y actividades, que considera los elementos
facilitadores en imágenes (Presmeg, 1999) y otros aspectos que pueden facilitar el
pensamiento visual.
Por último, el cuarto componente que completa las bases para una formación integrada
de Álgebra y Geometría, descritas por Caamaño (2001), en su tesis doctoral para el caso
específico de las cuádricas como objeto matemático para estudiantes de Ingeniería en
Construcción de la UCM, corresponde a los elementos semiótico-comunicativos. Este
componente está focalizado en la
necesidad de utilizar multiplicidad de
representaciones para la comprensión de un concepto matemático. Los tipos de
representaciones que utilizamos fueron los siguientes:
1) Lingüísticas: a) Verbales (nombres, definiciones y otras) y b) Simbólicas
(algebraicas y computacionales).
2) Figurativas: a) Modelos a escala (objetos del mundo real e imágenes en perspectiva)
y b) Gráficos (convencionales y computacionales).
De esta forma se estableció la relación entre los objetos matemáticos seleccionados y
sus significados para la investigación, de acuerdo a los siguientes aspectos clave:
a) Pedagógico- contextual, que explica las características que sustentan el proceso de
planificación de tareas para producir la construcción de significados requerida;
b) Semiótico, que orienta el reconocimiento de los elementos que facilitan la puesta en
relación de los significados personales sobre los contenidos matemáticos;
c) Histórico-epistemológico, que se focaliza en los procesos de construcción del objeto
matemático.
Por otra parte, de acuerdo a nuestro posicionamiento teórico, diseñamos una matriz de
contrastes reguladores para definir los aspectos cognitivos, metacognitivos y
actitudinales, que permitirá el control de las diferentes actividades y el análisis del
progreso real del grupo estudio de caso y de cada uno de sus integrantes. En esta matriz
consideramos las siguientes categorías:
(1) Desarrollo de aprendizaje, que considera los aspectos interlocutivos del discurso,
las transacciones y oportunidades de aprendizaje, notificaciones y clarificaciones de
errores y aspectos generales del discurso y
(2) Balance de beneficios, que considera beneficios cognitivos, metacognitivos y
actitudinales–emotivos.
Por último, se realizó la planificación y elaboración de las siguientes unidades de
aprendizaje seleccionadas como proceso de estudio: 1) “Vectores y Geometría Analítica
en el espacio (R2 y R3)” y 2) “Aplicaciones del Álgebra Lineal. Cónicas y Cuádricas”.
Para este trabajo, diseñamos un esquema organizativo de cada unidad, en el que, a partir
de una secuencia conceptual a priori, en la que definimos las relaciones que
pretendíamos establecer, considerando las actividades que se realizarían en cada una de
las sesiones, en función de los contenidos y objetivos, relacionándolas con sus
respectivas dinámicas interactivas y el material a utilizar.
Dichas unidades fueron sometidas a juicio de expertos en esta área del conocimiento, de
distintas universidades del país y que imparten docencia en ingeniería. Sus opiniones
nos permitieron establecer la validez de contenido y la bondad de las unidades
didácticas.
Antes de poner en práctica las unidades didácticas, tal como estaba previsto, se aplicó
un pre-test con el objeto de determinar: a) los conocimientos geométricos que tenían los
estudiantes y la posible relación que pudieran establecer con algunos conceptos
algebraicos estudiados anteriormente,
b) el tipo de pensamiento matemático
predominante en los estudiantes, y c) los niveles de razonamiento matemático que eran
capaces de alcanzar.
El análisis cualitativo de los resultados obtenidos en este trabajo de campo, nos permitió
verificar la implicancia de la aplicación de un proceso de formación integrada entre
álgebra y geometría en la calidad del logro de los aprendizajes matemáticos requeridos
en la asignatura de Álgebra Lineal para Ingeniería en Construcción.
Con relación al desarrollo de las unidades de aprendizaje, los logros cualitativos de los
alumnos y alumnas se podrían resumir en: a) Un alto nivel de motivación ante el
conocimiento y aplicación del objeto matemático en estudio; b) La realización de un
trabajo matemático de calidad, lo que en algunos grupos permitió replicar en aula,
guardando las proporciones, un trabajo semejante al desarrollado por ciertos
matemáticos que contribuyeron a la creación del conocimiento y; c) Una actitud positiva
permanente, expresada la participación activa en la clase, en el desarrollo de actividades
voluntarias adicionales al aula, el fortalecimiento de los hábitos de estudio y las
consultas frecuentes al profesor en horario destinado especialmente por éste para tal
efecto.
En particular, logramos verificar que la visualización:
-
Se centra en el análisis que hace el sujeto sobre las relaciones entre los ostensivos
y el concepto en juego, que ya había sido descrito por Presmeg en 1986.
-
Permite el reconocimiento de un nivel de abstracción respecto de la construcción
del contenido, cuestión planteada inicialmente por Kruteskii en 1976.
-
Se distingue de la habilidad de interpretar información figural, de forma semejante
a lo señalado por Bishop en 1979.
-
Permite el reconocimiento del paso de un ostensivo a la formación de la imagen.
-
Utiliza el análisis de estas relaciones para solucionar determinados problemas.
-
Se corresponde con un cierto nivel de razonamiento.
-
Desarrolla la habilidad para generar imágenes análogas a otras que pueden ser
construidas para resolver un problema.
-
Juega un papel relevante en el trabajo de grupo.
-
Permite el progreso conceptual-procedimental (pre-test/ post-test).
-
Le otorga un mayor valor a la formalización (prueba final).
En resumen, desde el punto de vista cualitativo, los estudiantes reconocen que pueden
aprender matemática y, un análisis cuantitativo de los resultados de la evaluación del
trabajo de los estudiantes, nos confirmó una significativa mejora en sus rendimientos en
la asignatura.
Asimismo, hemos realizado un análisis pormenorizado de un fragmento de un proceso
de estudio, desde el punto de vista del análisis antropológico de Chevalard (1999), que
ha demostrado la consistencia de la propuesta presentada.
Fue posible reconocer el progreso en los alumnos y alumnas a partir de sus
concepciones previas e identificar características positivas del desarrollo didáctico que
se inducen a partir de la implementación realizada. Por ejemplo: a) De la ciclicidad a la
generalización (paso de R2 a R3 ); b) Reconocimiento del valor de los elementos
algebraicos “duros” y de la importancia del método matemático en la historia, entre
otros.
Por último, observamos además que los estudiantes encontraron “dificultades” y
“obstáculos epistemológicos” en la construcción del contenido, como los que aparecen
en la historia de la matemática reciente y que comentamos con ellos. También hicimos
algunas comparaciones entre este tipo de trabajo matemático, con sus propias
intuiciones e ideas que desarrollaron para resolver un problema. Además, en este
estudio se hace una breve – pero importante – reflexión sobre el método matemático y
su implicación docente.
Al mismo tiempo, se logró establecer el paralelismo entre la construcción del
conocimiento matemático en la historia y en el aula. En efecto, los estudiantes pudieron
reconocer en forma especial cómo la aparición de la idea de lugar geométrico en el
Renacimiento permitió un trabajo distinto, pero complementario, con las curvas en el
plano y en particular con las cónicas y lograron identificar a la geometría analítica,
como uno de los importantes aportes de Descartes (1637) al desarrollo de la
matemática, que nos permite no sólo visualizar la perfecta armonía entre expresiones
analíticas y figuras geométricas, sino también, poder traducir hechos geométricos en
fórmulas analíticas.
Ahora, con relación a las aportaciones de nuestra propuesta para el aula, hemos
confirmado la potencia de la metodología de trabajo grupal en la construcción del
contenido matemático por parte de los estudiantes. Esto permitió poner en práctica en la
sala de clase el contacto y la relación entre el elemento algebraico con el elemento
geométrico necesario para que el alumnado pudiera comprender la dimensión práctica
del Álgebra Lineal, lo que se refleja en los elementos de progreso detectados en el Test
Final.
También, como complemento importante de esta estrategia metodológica de trabajo
grupal, que habíamos utilizado en años anteriores, pudimos reconocer más fácilmente
los progresos en los estudiantes a partir de sus concepciones previas, cuando revisamos
sus trabajos y los diálogos producidos en la interacción grupal. Al mismo tiempo, los
estudiantes pudieron reconocer que podían aprender matemáticas, cuando eran capaces
de identificar, en forma individual o grupal, la no existencia de alguna propiedad que
caracterizaba a aquellos objetos o elementos matemáticos que se estaban estudiando.
Esto permitió que los estudiantes experimentaran el hecho de “vivir contenidos
matemáticos”, a partir del uso de diversos ostensivos mediante las situaciones de
contextualización planteadas en la unidad, especialmente en los momentos “clave” que
hemos comentado anteriormente.
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