Download SOLUCIÓN DEL PROBLEMA “Puntos en la circunferencia” Docente
Document related concepts
Transcript
SOLUCIÓN DEL PROBLEMA “Puntos en la circunferencia” Docente Edwin Carranza Equipo de trabajo Diana carolina Rubiano Andrea torres Andrés Rodríguez Jhorman Quitian Cifuentes 1 Problemas del continuo Universidad distrital francisco José de caldas Facultad de ciencias y educación Proyecto curricular L.E.B.E.M. Bogotá D.C 2011 ABORDAJE DEL PROBLEMA Descripción: De acuerdo a la propuesta del profesor que consistía en abordar la circunferencia y ver allí a partir de puntos pertenecientes a ella, regularidades que llevarán al grupo a razonar sobre el contexto infinito que envuelve la elección que se puede realizar al elegir un punto cualquiera de la esfera, la situación fue la siguiente: Figura 1 Dada una circunferencia, dividirla en cuatro partes iguales y congeturizar sobre lo que ocurre al tomar punto medio de puntos medios o punto tercio de puntos tercios, incluso tomar dichos puntos y analizarlos de manera libre, intentando hallar regularidades en su comportamiento, el problema estaba dado de manera abierta para que cada grupo tomara el camino que deseará, algunas de las sugerencias del profesor fueron, hallar longitud de arco, la distancia entre puntos, observar el área y perímetro de la circunferencia y localizar un punto cualquiera en ella dando su posición, con respecto al cuadrante donde esté ubicado. Lo primero que hizo el grupo resoluctor fue buscar generalidades al hallar puntos de la circunferencia por medio de la partición de los arcos encatrados al dividir la circunferencia en cuatro partes iguales, este proceso se ve reflejado en la siguiente grafica, donde se pretendía hallar generalidad en los puntos encontrados. 2 De este primer acercamiento se puede concluir los siguientes aportes de cada participante: Carolina: “Se pueden construir infinitos polígonos regulares con la unión de puntos inscritos en la circunferencia obteniendo un patrón de crecimiento en el área” Esta conjetura fue seleccionada para analizarla a fondo “al final” del proceso de resolución. En el presente avance se muestra un ataque a la conjetura con el análisis recaído en los “polígonos estrellados” Figura 2 Andrés: “Es posible encontrar el arco de la circunferencia en que se encuentra cualquier punto mediante un proceso analítico. El primer acercamiento que se tuvo del problema fue la posible ubicación de puntos de manera general se planteo trabajar a partir de módulos; así pues para ubicar un punto y conocer de ante mano en cual cuadrante quedará, se divide el número dado en el numero de cuadrantes que es 4, de donde el residuo nos dice el cuadrante en el que se está ubicado el número, por ejemplo el número 1583 dividido en cuatro nos arroja un residuo de 3, este será el cuadrante donde estará ubicado 1583 dentro de la circunferencia, sin embargo esto no se cumplía para todos los números por lo tanto decidimos dejar a un lado la idea. A su vez se pensó en definir el arco en el que iba a estar inscrito determinado número para ello nos dimos cuenta que lo más cercano que podía estar era entre sus mitades; de esta manera los números pares iban a estar en el arco comprendido entre su mitad exacta y la mitad del siguiente numero a ella, por ejemplo el numero 54 estaba en el arco comprendido entre su mitad 27 y la mitad de 28 (siguiente numero par) que es 14, para el caso de los impares se iban a estar en el arco comprendido por la mitad del siguiente numero par y la mitad exacta de esta, por ejemplo el numero 43 se encontraba en el arco comprendido entre 22 (mitad de 44 siguiente numero par) y 11 que es la mitad de 22. 3 Jhorman: “Para ubicar un punto y conocer de ante mano en cual cuadrante quedará, se divide el número dado en el numero de cuadrantes que es 4, donde el residuo arroja el cuadrante en el que se está ubicado el número, por ejemplo el número 1583 dividido en cuatro nos arroja un residuo de 3, este será el cuadrante donde estará ubicado 1583 dentro de la circunferencia”. Andrea: observando el comportamiento que tienen los puntos al realizar la partición de la circunferencia en cuatro partes iguales y luego tomar puntos medios de esas particiones se presenta como regularidad que todas las potencias de dos se ubicaban en el cuarto cuadrante, pero al tratar de generalizar otras observaciones, como por ejemplo que pasa con las potencias de 5, de 7 de 6 etc. No se tiene ninguna regularidad por lo cual, se decide tomar otro camino para abordar el problema. 4 Figura 3 se decide tomar otro camino para abordar el problema, es entonces cuando se decide observar lo que ocurría al dividir la circunferencia por grados y unir puntos de la circunferencia para formar cuerdas, sabiendo además que le mediatriz de esas cuerdas pasan por el centro de la circunferencia se decide analizar el comportamiento de los triángulos formados por el centro de la circunferencia y la cuerda, como lo muestra la figura 4, para luego decir que si conocemos el diámetro de la circunferencia, trazamos una cuerda puede ser entre ángulos medios o tercios y a esa cuerda le trazamos la mediatriz, tenemos dos lados de la figura y un ángulo por lo tanto podemos hallar por teorema del coseno el lado restante que sería la media de la cuerda y de esta manera hallar el área de la figura formada como lo muestra el siguiente proceso. Figura 4 Lue go de dividir la circunferencia en grados, se trazaron las cuerdas, que nos dieron como resultado un polígono regular, del cual decidimos tomar uno de los triángulos que formaban una cuerda con el centro de la figura, para trazar la altura. Ahora el radio de la circunferencia que tomamos es 3cm y sabemos que al tomar los puntos medios de manera repetitiva por tres veces, la circunferencia se divide en 16 ángulos que miden cada uno 22, 5°, lo que nos indica que tenemos la medida de un ángulo y de dos de sus lados, nos resta hallar la media del tercer lado y la apotema para poder calcular el área del polígono que tenemos, por esta razón decidimos aplicar teorema de coseno para encontrar la medida de la cuerda o tercer lado del triangulo: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴 Al reemplazar los datos en la ecuación tenemos: 𝑎2 = 32 + 32 − 2.3.3. 𝑐𝑜𝑠22.5 Teniendo como resultado que a es igual a: 1.17 cm, esta es la medida del tercer lado del triangulo, para hallar la medida de la apotema debemos tomar uno de los triángulos que resultaron al dividir la cuerda por la bisectriz y aplicar teorema de Pitágoras para hallar la media de uno de los catetos que es finalmente el apotema del polígono. 32 = 0,6852 + 𝑥 2 La expresión nos da como resultado que la apotema mide 2,92cm, por tal razón el área del polígono se define de la siguiente manera: El área del triangulo que tomamos tiene un área de: 1,37𝑐𝑚 𝑥 2,92𝑐𝑚 2 = 2,0002 cm2 5 Y como tenemos 16 triángulos iguales multiplicamos el área de un triangulo por 16 dando como resultado el área total del polígono de la siguiente manera: 2,0002 𝑐𝑚2 x 16 = 32,0032 𝑐𝑚2 Figura 5 6 Pensando en hacer una aplicación de los hechos trigonométricos evidenciados, el equipo de trabajo piensa en la aparición de los triángulos circulares que se forman en la figura – punto centro, 22.5°, 0°- cuya área estará determinada por: 𝜋𝑟 2 𝑛, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑛 𝑠𝑒𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 360 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 De esta manera se determinará la fracción a la cuál corresponde el triángulo circular para luego restar el área del triángulo isósceles (por radios de la misma circunferencia) para obtener un nuevo concepto adquirido “Segmento circular”, pero esta sustracción sobraría si ya por trigonometría se ha encontrado la medida del cateto restante. La figura 6 supondrá que la apotema del polígono regular (octágono) formado por segmentos circulares producto de tomar como ángulo 22.5° y por el proceso trigonométrico enunciado líneas anteriores, el cateto menor del triángulo o el segmento circular equivale a 1.17 cms mientras que analógicamente la apotema equivaldrá a 2.92 cms Figura 6 El perímetro del octágono será rígido a la definición de perímetro (suma de todos sus lados) o en el caso de los regulares: Longitud de un lado multiplicado por la cantidad de lados. Es decir; el perímetro del polígono magenta es 9.36 cms Mientras tanto, se aprovecha que el polígono escogido es regular para hacer uso de la fórmula para el área para una figura rectilínea regular de más de 4 lados: 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑥 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 =𝐴 2 Es decir que el área de la figura es 9.36 𝑐𝑚𝑠 𝑥 2.92 𝑐𝑚𝑠⁄2, obteniendo 13.6656 cms2 A continuación se muestra en la figura 7 la posibilidad de construir un polígono irregular, donde la hipótesis grupal es “En comparación al caso anterior, igualmente se podría hallar el perímetro con la misma facilidad que se hizo, pero para hallar el área es sumamente necesario dividir el polígono en triángulos” En efecto se hace un análisis de la situación y se deduce que el procedimiento abordado acertó con arrojarnos nuevos conceptos y se deja a un lado la idea de hallar el área de un polígono como la figura 7 debido a que difícilmente se establecería una generalización que se aparte de tomar el conjunto de los posibles cuadrados, posibles heptágonos, etc. 7 Figura 7 Investigando acerca de los polígonos posibles internos en la circunferencia y cuyos vértices se encuentren inscritos en la circunferencia se obtiene la idea de Polígonos estrellados: Polígonos regulares estrellados. Sea la circunferencia dividida en 5 partes iguales. Si, partiendo del punto A, se unen consecutivamente los puntos divisorios de dos en dos por medio de las rectas AC, CE, EB, BD y DA, se vuelven al punto de partida A y se forma un polígono con ángulos salientes, como FAJ, y los ángulos entrantes como AFB. Este polígono se denomina polígono regular estrellado. Figura 8 Construcción de 8 polígonos regulares estrellados Si se divide la circunferencia de la figura en 8 partes iguales se unen los puntos divisorios de3 3 en 3 desde 1, se obtiene el octágono regular estrelladlo 147258361. Generalizando se puede decir que da lo mismo unir puntos de m e m de unir los de n-m en n-m; lo cual significa que basta considerar los valores de m inferiores a la mitad de n en la construcción de polígonos regulares estrellados. Situaciones: 1. Si n y m son primos entre sí, el polígono regular estrellado tiene n lados; Para n = 10 y m = 3 se obtiene un decágono regular estrellado. 2. Si n y m no son primos entre sí, el polígono regular estrellado tiene tantos lados como indique el cociente de n entre el máximo común divisor de n y m; para n =10 y m=4 , se obtiene un pentágono regular estrellado, por ser 5 el cociente de 10 entre 2, ya que dos es el m. c. d. de 10 y de 4. 3. Se pueden trazar tantos polígonos regulares estrellados de n lados como sean los números primos con n, menores que la mitad de dicho numero; si n=7, se pueden trazar dos heptágonos regulares estrellados, porque m puede ser igual a 2 y a 3. Estos polígonos inicialmente pautan la existencia de un “n” que será la cantidad de puntos inscritos en la circunferencia mientras que la m identificará “cada cuántos números uno segmentos” Por lo anterior se deja como compromiso analizar las situaciones propuestas por la bibliografía consultada gráficamente (software) y analíticamente: Además se supone que la conjetura de Carolina tendrá un acercamiento a su afirmación en la medida que se establezcan relaciones entre conjuntos de números: Si m es par y n impar viceversa Si m es triangular y n primo viceversa 9 Tres semanas después a la presentación se prosigue con las ideas alrededor de los polígonos estrellados en procura de dar respuesta y/o solución a las inquietudes que se plantearon en el transcurso del documento. Se deduce que a partir de un polígono se puede conformar un polígono estrellado, en este caso se toma como ejemplo el hexágono y al trazar todas sus diagonales posibles se obtiene el estrellado. Para obtener el total de las diagonales que tiene el hexágono y en general los polígonos se aplican la siguiente fórmula: n(n-3)/2 En este caso la aplicamos así; 6(6-3)/2=6(3)/2 =18/2=9 Esto quiere decir que el hexágono tiene 9 diagonales. En la figura se ve que desde cada vértice del polígono se puede trazar (n-3) diagonales; y como hay n vértices, todas las diagonales están repetidas dos veces, el número total de ellas es la formula anterior dicha. Luego de esto se quería hallar la relación que existe entre el hexágono y el polígono estrellado y el trabajo nos llevo a encontrar en cuantas partes divide el polígono estrellado al hexágono o a cualquier polígono se procedió de la siguiente manera: 6(6-3)/2=6(3)/2 Para este caso solo tomamos 6 x 3 y empezamos a disminuir hasta 6 x 1: 6 x 3 = 18 – 4 =14 6 x 2 = 12 – 4 = 8 6x1= 6 -4 = 2 14+ 8+ 2 = 24 ¿Por qué se resta por el cuatro? Porque 4 son las partes en las que se divide el hexágono con las diagonales del primer vértice, luego se suman los resultados y ese es el número de partes en las que se divide el hexágono. 10 Por otra parte se quería hacer una relación entre los ángulos exteriores e interiores de los polígonos; cada uno de los ángulos exteriores del polígono es suplemento de su correspondiente interior, es decir, que juntos suman 2 rectos por tanto la suma, la suma total de los ángulos interiores y exteriores es igual a 2rn, y la de los ángulos exteriores es la diferencia entre esa suma total y la de los ángulos interiores ósea: 2rn - 2r (n-2) = 2rn - 2rn + 4r = 4r En este punto se ha hecho ya un barrido de las exposiciones de los demás grupos y en procura de resolver la situación planteada acerca de saber si los conjuntos de los números inscritos en la circunferencia producto de hacer dobleces por mitades son menores, mayores o iguales a la cantidad de puntos que están fuera de la circunferencia. Para ilustrar este acontecimiento, se notan los números de la siguiente manera 21 2; donde 2 es la manera como se realiza el dobles (2 partes iguales) y 1 = cantidad de dobleces; obteniendo así la potencia que simboliza la cantidad de puntos que han aparecido. Caracterizando los elementos de la potencia se obtiene que: 22 4 23 8 24 16 25 32 2n 2n De esta notación se extrae el hecho que se conocen ya la cantidad de puntos que tiene la circunferencia si se hacen particiones por mitades: 2n Igualmente se ubican los números que no se encontrarán en la circunferencia: Evidentemente no hay cavidad para los números racionales e irracionales, puesto que no existe una potencia de 2 de este tipo. Entonces resta por determinar los números 11 naturales que no se encuentran en la circunferencia, para lo que el grupo hace el siguiente razonamiento: No se encuentra el número 1, ni el 3, ni el 5 que resultan ser primos; por lo que ningún número primo se encontrará en la circunferencia, y su razón radica en que el hecho de ser primos los hace número que no se pueden descomponer en factores. Además tampoco es posible encontrar el 10 ni el 18 que resultan ser producto de primos, llegando a la conclusión final que: Los puntos ¬p serán más grandes a los puntos p encontrados en la circunferencia 12
Related documents