Download FÍSICA · curs (2n batxillerat) · 1ª avaluació

C
O L
·
L E G I
S
A N
A
N T O N I O
F R A N C I S C A N S
FÍSICA
·
CURS
(2N

D E
P
A D U A
C A R C A I X E N T
BATXILLERAT)
 1ª
AVALUACIÓ
CURS 2010/2011
NOMBRE:
APELLIDOS:
Cuestión 1: Momento angular. Equivalencia con las leyes de Kepler.
Se llama fuerza central a aquella que en todo momento tiene su dirección paralela al
radio de posición de la partícula sobre la que actúa.
Si situamos el Sol en el origen de referencia podemos definir los vectores de posición de
los planetas respecto del Sol, y la fuerza con que éste atrae a los planetas, que es una
fuerza central. Además como las órbitas de los planetas son elípticas (nos sirve
igualmente la aproximación de considerarlas circulares), los vectores velocidad son en
todo momento perpendiculares a la trayectoria, y por tanto al radio vector y a la fuerza.
Podemos definir el vector momento de fuerzas para este sistema como:
  
M rF


Hemos visto que r y F son paralelos, luego el ángulo que forman entre ellos es 0º, por lo
que el valor del módulo del vector momento será 0. Esto indica que existe una magnitud

que se conserva (es constante con el tiempo). Por lo tanto, si llamamos L , momento
angular, a dicha magnitud podremos definirla como:

 dL
M
dt


y para el caso de fuerzas centrales que estamos tratando M  0 y por tanto L es
 

constante con el tiempo. Se puede demostrar que L  r  mv :
Vamos a comprobar que la definición de momento angular y su constancia en el tiempo es
equivalente a las leyes de Kepler, especialmente vamos a demostrar la ley de las áreas.
Como el momento angular es un vector constante, lo será en módulo, dirección y sentido.
DIRECCIÓN CONSTANTE. Si la dirección del vector momento angular es constante la
trayectoria que describe la partícula estará contenida en un plano.
SENTIDO CONSTANTE. Implica que la partícula siempre gira en el mismo sentido.
MÓDULO CONSTANTE. El módulo del vector momento angular vendrá dado por L=


m·r·v·sen, como ya hemos dicho r y v son perpendiculares por lo que sen  = 1 por lo
que L = mrv.
Supongamos que el planeta se desplaza sobre su trayectoria en un instante pequeño.
Los vectores de posición entre los dos instantes y el arco dibujan un triángulo isósceles,
cuya área vendrá dada por dA= ½ dl ·r.
Además sabemos que v = dl/dt .
Si dividimos dA por dt : dA/dt = ½ ·r·dl/dt = ½ · r · v y multiplicando y dividiendo por m
(masa) y sustituyendo por la ecuación del módulo del momento angular:
dA /dt = ½ L/m
m y L son constantes por lo que dA/dt es constante, es decir el área que barre el radio
vector en un dt es constante. A esta magnitud se le llama velocidad areolar.
Cuestión 2: ) ¿Cuál es la velocidad mínima que es preciso comunicar a un objeto situado
a 1000 Km de altura sobre la superficie de la Tierra para que escape del campo
gravitatorio terrestre?
DATOS: RT = 6400km, MT =5,98 ·1024 kg , G=6,67·10-11SI
Será la velocidad inicial que debemos proporcionar a una partícula de masa para que
pueda escapar del campo gravitatorio terrestre en ese punto.
Como el campo gravitatorio es conservativo, se conserva la energía mecánica, una vez
fuera de la acción del campo no importa que la partícula quede sin energía cinética y su
energía potencial será cero:
E0 = E f
G·M T ·m
1
2
=0
·m·v0 
2
RT  h
Despejando la velocidad:
ve 
2·G·M T
RT  h
Sustituimos los datos del problema:
𝑣=√
2 · 6,67 · 10−11 · 5,98 · 1024
=
(6,4 · 106 + 1 · 106 )
Cuestión 3: Sabiendo que el radio de la órbita circular de la Luna alrededor de la Tierra
es 384.10 3 Km y que su período es de 27,3 días, halla la masa de la Tierra. Datos: G =
6,67.10-11 ( S.I.).
La tercera Ley de Kepler dice que los cubos de los ejes mayores (A) de las elipses que
describen los planetas en sus movimientos son directamente proporcionales al cuadrado
de su período de revolución (T) alrededor del sol.
A3
K
T2
Los cubos de las distancias medias(R) de los planetas al Sol son directamente
proporcionales al cuadrado de su período de revolución (T).
R3
K
T2
El periodo se define como el tiempo que tarda el planeta en dar una vuelta completa
alrededor del sol, en nuestro caso es la luna alrededor de la Tierra. Si consideramos una
órbita circular y un MCU, la velocidad lineal es el espacio recorrido (2πR) en un
determinado tiempo (T). Esta velocidad la llamamos velocidad orbital y como es un MCU
la segunda ley de Newton para movimientos circulares nos dice que la resultante de todas
las fuerzas es la fuerza centrífuga:
Fg=Fc=mv2 / R
Donde si sustituimos el valor de Fg (fuerza gravitatoria) y despejamos v obtenemos:
v
G·M T
r
Y como hemos dicho antes T = 2πR/v, elevando al cuadrado y sustituyendo el valor de v
obtenemos:
𝑇2 =
4𝜋2
𝐺𝑀𝑇
4𝜋 2
𝑅 3 de donde despejando la masa de la Tierra: 𝑀𝑇 = 𝐺𝑇 2 𝑅 3 y sustituyendo los
datos:
Cuestión 4: ¿Qué energía es necesaria comunicar a un satélite de masa m para situarlo
en una órbita de altura h?
La energía mecánica de cualquier móvil es la suma de la energía cinética y la potencial.
Calcularemos la energía de enlace de un satélite de masa m, como su energía mecánica.
G·M T ·m
1
2
Sobre la superficie del planeta: E0 = Ec + Ep = ·m·v0 
2
RT
A una altura h sobre el planeta: Eh = Ec + Ep =
G·M T ·m
1
·m·v 2 
2
RT  h
- Si Eh > 0 la trayectoria del satélite será una hipérbola con el centro en el centro de
fuerzas; el cuerpo puede llegar al infinito con energía cinética.
- Si Eh = 0 La trayectoria del satélite es una parábola.
- Si Eh < 0 la trayectoria es una curva cerrada, una elipse; el satélite no tiene suficiente
energía para escapar del planeta.
Llamaremos Energía de satelización a la energía (trabajo) necesaria para poner en órbita
un satélite, desde la Tierra o desde cualquier órbita como: ΔE = Ef-Ei
Por lo tanto, aplicando las fórmulas anteriores:
G·M T ·m
G·M T ·m
1
1
2
W= ( ·m·v 2 
) – ( ·m·v0 
) Si consideramos que inicialmente la
2
RT
2
RT  h
velocidad es cero (está parado en la superficie de la Tierra), y sustituyendo el valor de la
velocidad orbital a una altura h obtenemos:
1 GM T G·M T ·m G·M T ·m
1
1
= G·MT·m·(𝑅 − 2(𝑅 +ℎ))
·m·


𝑇
𝑇
2 RT  h RT  h
RT
Este trabajo si es para poner el satélite en órbita dará negativo, porque lo hemos de
aplicar al sistema, es un proceso no espontáneo.
W=
Problema 1: Se coloca un satélite metereológico de 1000kg en órbita circular a 300km
sobre la superficie de la Tierra. Determina: a) la velocidad lineal, la aceleración radial y el
periodo de la órbita. b) El trabajo necesario para poner el satélite en órbita.
DATOS: RT = 6400km, MT = 5,98 ·1024 kg , G=6,67·10-11SI
Problema 2: Se lanza desde el ecuador un satélite artificial de masa 100 kg que se sitúa
en una órbita circular geoestacionaria. Se desea saber:
a) El valor de la altura h sobre la superficie terrestre de la órbita del satélite.
b) El suplemento de energía que habría que aportar al satélite para, una vez en órbita,
sacarlo del campo gravitatorio terrestre.
Datos: g0 = 9,8 m/s2; radio de la Tierra = 6 370 km