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Evaluación probabilista de la estabilidad del frente de túneles construidos en
roca sana a ligeramente fracturada
Probabilistic evaluation of face stability of tunnel built in sound to lightly fractured rock masses
Roberto RIVAS1 y Juan Manuel MAYORAL2
1Ex-estudiante,
2Investigador,
Posgrado en Ingeniería, UNAM
Instituto de Ingeniería, UNAM
RESUMEN: En este trabajo se desarrolla un marco de análisis numérico novedoso enfocado a la búsqueda de la
probabilidad de falla del frente de túneles construidos dentro de rocas sanas a ligeramente fracturadas, unificando la
revisión de los estados límite de falla y servicio. Iniciando con la caracterización de los parámetros de la roca, y una
optimización de las ecuaciones de Hoek y Brown para reducir el problema de multivariables aleatorias a un problema de
dos variables aleatorias extremas de resistencia (cohesión, c, y fricción, ) ligadas al parámetro de deformación, Em, y
así poder aplicar el método de estimación puntual de dos variables, BPEM, junto con modelos tridimensionales de
diferencias finitas para obtener distribuciones espaciales del factor de seguridad, probabilidades de falla, índices de
confiabilidad y movimientos del terreno alrededor del frente del túnel, simultáneamente. Esta metodología es presentada
a través del análisis de un túnel típico de 8.7 m de diámetro, soportado con dovelas de concreto reforzado de 0.35 m de
espesor y 1.5 m de ancho, ubicado en una zona de rocas andesítico-dacíticas prevalecientes al noroeste de la Ciudad de
México. Los modelos tridimensionales de diferencias finitas se desarrollan con el programa FLAC 3D.
ABSTRACT: In this paper is developed a novel framework of numerical analysis focused on finding the probability of
failure of the front of tunnels built in fractured rocks, unifying review of the limit states of failure and service. Starting with
the characterization parameters of the rock and optimization equations of Hoek and Brown to reduce the problem
multivariate to a problem of two random variables extreme of resistance (cohesion, c, and friction angle, ) coupled with
the modulus of deformability, Em, and can to apply the method of bivariate point estimate method, BPEM, coupled with
three-dimensional finite difference models for obtain spatial distributions of the safety factor, probability of failure, reliability
index and ground movement around the tunnel face, simultaneously. This methodology is presented through the analysis
of a typical tunnel of 8.7 m diameter, supported with reinforced concrete segments of 0.35 and 1.5 m of thick and wide,
respectively, located in the andesitic - dacitic rocks prevailing northwest of the city of Mexico. Three-dimensional finite
difference models are developed with the program FLAC3D.
1 INTRODUCCIÓN
Tal y como establece la Asociación Internacional de
Túneles (ITA, por sus siglas en inglés), la práctica de
la ingeniería moderna enfocada a túneles, requiere
de una valoración adecuada del riesgo en las etapas
de diseño y construcción. Esto es especialmente
necesario cuando se manejan las incertidumbres
asociadas a los parámetros mecánicos de la roca,
que no son solo función de la génesis de los
fragmentos intactos (Hoek y Brown, 1980a, b, Hoek,
et. al., 2002), sino también de las características del
macizo rocoso, tales como el grado de
fracturamiento y características de las juntas (Hoek y
Brown, 1997) incluyendo la orientación, el
espaciamiento y el material que las rellena. En
consecuencia, un análisis determinista para obtener
factores de seguridad del frente, hastiales y corona
del túnel es limitado, e ignora la necesidad de
evaluar los movimientos del terreno asociados a
bajos valores del factor de seguridad para evitar
daños en estructuras circundantes.
Este documento presenta la aplicación de un
enfoque novedoso propuesto por Mayoral (2014),
mejorado para aplicarse en el diseño de túneles
construidos en roca sana a ligeramente fracturada.
Inicialmente, los parámetros de resistencia y
deformación son establecidos con base en el criterio
de falla de Hoek y Brown (Hoek, et. al., 2002), que
se expresa en términos de un conjunto de
ecuaciones no lineales que se encuentran en
función de las características de las discontinuidades
del macizo rocoso y de sus fragmentos intactos.
Esto requiere resolver un problema de optimización
para obtener el conjunto superior e inferior de los
valores de resistencia al esfuerzo cortante. Se
realizó un análisis de sensibilidad para evaluar la
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
2
Evaluación probabilista de la estabilidad del frente de túneles construidos en roca
influencia de cada uno de los parámetros del macizo
en el conjunto final de propiedades (cohesión, c,
ángulo de fricción interna, , y el módulo de Young,
Em). Después, se aplica el método de estimación
puntual de dos variables, BPEM, acoplado con
varios modelos tridimensionales de diferencias
finitas, para calcular factores de seguridad,
probabilidades de falla, índices de confiabilidad y
movimientos del terreno. La metodología es
presentada a través del análisis de un caso de
estudio, que consiste de un túnel, con una sección
circular típica de 8.7 m de diámetro, asumiendo que
será construido en una formación andesítico-dacitica
localizada al Noroeste de la ciudad de México.
2 METODOLOGÍA DE ANÁLISIS
El diseño de túneles en macizos rocosos requiere
de caracterizar sus parámetros de resistencia y
deformación, mismos que son función de las
propiedades de la roca intacta (e. g. resistencia en
compresión simple, qu, módulo de Young de la roca
intacta, Ei, parámetro mi), así como de las
características del macizo rocoso (Geological
Strength Index, GSI, Rock Mass Rating, RMR).
Además, en principio, en el diseño basado en el
desempeño se revisa simultáneamente estados
límite de falla (ELF) y de servicio (ELS), tal y como
propone Mayoral (2014), no puede aplicarse
directamente a rocas, considerando que el método
se fundamenta en el BPEM para realizar el análisis
de riesgo, método que restringe su aplicación al
empleo a dos variables aleatorias. Algunos métodos
pueden ser considerados para superar esta
limitación, incluyendo el uso del método de
estimación puntual multivariable (Connor y
Diederichs) o simulaciones de Montecarlo (Felling,
et., al. 2003), para considerar las variables aleatorias
adicionales. En este trabajo se opta por hacer una
redefinición de las variables, basada en el
comportamiento físico de cada parámetro, para
transformar el problema de multivariables aleatorias
en un problema de dos variables. Las relaciones
propuestas por Hoek y Brown para linealizar el
problema en términos de dos parámetros de
resistencia (cohesión, c, y ángulo de fricción interna,
) para la roca, son usados para pasar de un
problema multivariable, GSI, qu y mi, a uno de dos
variables, c y . Además, estos dos parámetros
pueden relacionarse con el módulo de elasticidad
del macizo rocoso a través del GSI (Hoek y
Diederich, 2005). El problema de optimización es
resuelto para estas ecuaciones con el fin de obtener
los valores extremos de c y , y su correspondiente
Em, para ser usados en el BPEM junto con modelos
tridimensionales de diferencias finitas del túnel,
mismos que se desarrollan con el programa FLAC3D,
para obtener factores de seguridad para diferentes
combinaciones de c,  y Em. De los resultados de los
modelos
se
obtiene,
simultáneamente,
la
probabilidad de falla del frente, corona y hastiales
del túnel, además de movimientos del terreno
asociados a cada combinación de parámetros.
Inicialmente, las condiciones medias, con respecto a
las propiedades de resistencia y deformación, son
modeladas buscando establecer un factor de
seguridad determinista, y la deformación asociada.
Cuando se realiza el análisis de confiabilidad el
factor de seguridad, FS, se asume como
normalmente distribuido. Aunque FS es función solo
de los parámetros de resistencia (c y ), de acuerdo
con la definición geotécnica típica de este factor (i. e.
capacidad sobre demanda), es relacionado
directamente con la deformabilidad del macizo
rocoso. Con este enfoque es posible determinar la
probabilidad de falla (i. e. probabilidad de que el
factor de seguridad sea menor igual a uno) y la
probabilidad de un apropiado comportamiento del
túnel, esto respecto a condiciones de servicio,
estableciendo los desplazamientos del terreno
correspondientes.
2.1 Caracterización de los parámetros de diseño
Hoek y Brown (1980a, b) desarrollaron un criterio de
falla para evaluar la cohesión, c, y el ángulo de
fricción interna, , de un macizo rocoso para el
diseño de una excavación. Este criterio fue
modificado posteriormente por Hoek, y la última
versión fue presentada en 2002 (Hoek, et. al., 2002),
buscando incluir en el método el grado de
fracturamiento. Este criterio es expresado a través
de las expresiones siguientes:
𝑐=
′ ](𝑠+𝑚 𝜎 ′ )
𝑞𝑢[(1+2𝑎)𝑠+(1−𝑎)𝑚𝑏 𝜎3𝑛
𝑏 3𝑛
6𝑎𝑚𝑏 (𝑠+𝑚𝑏 𝜎′3𝑛 )
(1+𝑎)(2+𝑎)√1+
(1+𝑎)(2+𝑎)
𝑎−1
(1)
𝑎−1
𝑎−1
𝜙 = 𝑠𝑖𝑛−1 [
′ )
6𝑎𝑚𝑏 (𝑠+𝑚𝑏 𝜎3𝑛
′ )
2(1+𝑎)(2+𝑎)+6𝑎𝑚𝑏 (𝑠+𝑚𝑏 𝜎3𝑛
𝑎−1
]
(2)
donde:
𝐺𝑆𝐼−100
𝑚𝑏 = 𝑚𝑖 𝑒 28−14𝐷
𝑠=𝑒
(3)
𝐺𝑆𝐼−100
9−3𝐷
1
1
2
6
(4)
𝐺𝑆𝐼
20
𝑎 = + (𝑒 − 15 − 𝑒 − 3 )
′
𝜎3𝑛
=
𝜎3′ 𝑚𝑎𝑥
𝑞𝑢
(5)
(6)
Donde qu es la resistencia en compresión simple de
cilindros de roca intacta, ´3 max es el máximo valor
del esfuerzo de confinamiento, GSI es el Índice de
Resistencia Geológico, mi es una constante de la
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
Rivas, R. de J., et al.
roca y D es un factor donde se considera la
alteración que sufre el macizo rocoso a causa del
proceso constructivo. El módulo de elasticidad del
macizo rocoso se estimó a partir de la expresión 7,
propuesta por Hoek y Diederichs (2005) en términos
de los parámetros D y GSI.
𝑬𝒎 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 (
𝑫
𝟐
𝟕𝟓+𝟐𝟓𝑫−𝑮𝑺𝑰
𝟏𝟏
𝟏+𝒆
𝟏−
)
(7)
Donde Em es el módulo de elasticidad del macizo rocoso, [MPa].
Las expresiones 1 a 6 son un conjunto de ecuaciones no lineales que pueden ser expresadas como S
(c, , Em) = f (qu, GSI, mi, D, ´3 max). Resolviendo el
problema de optimización para un valor dado de D y
´3 max, los valores de resistencia extremos, así como
el módulo de deformación correspondiente pueden
ser obtenidos. ´3 max depende de la distancia existente entre la corona del túnel y el nivel de terreno
natural, distancia usualmente conocida como cobertura (H).
2.2 Análisis de confiabilidad
Siguiendo el método de estimación puntual de dos
variables, BPEM, (Harr, 1996; Rosenblueth, 1975a,
b, 1985) y asumiendo una distribución normal del
factor de seguridad, la probabilidad de falla y el
índice de confiabilidad del sistema pueden ser
obtenidos. El BPEM es un método aproximado
donde la distribución de probabilidad se supone
como una carga vertical distribuida sobre una zapata
rígida apoyada en cuatro puntos: p++, p+-, p-+, p--. El
valor esperado del factor de seguridad es obtenido
de
un
promedio
ponderado,
donde
las
contribuciones relativas son calculadas como sigue:
El Mn momento de la relación funcional, FS=FS(c,),
es: [FS] = p++FS++ + p+-FS+ -+ p-+FS-+ + p--FS—,
donde: [FS] es el valor esperado de FS, FS++ =
FS( [c] + σ [c], [] + σ[]), FS-- = FS([c] – σ
[c],[] – σ []), FS+- = FS+-/-+ = FS (  [c] ± σ [c],
[] ± σ []), p++ = p-- = (1+ρc,)/4, p+- = p-+ = (1-ρc,)/4,
ρc, es el coeficiente de correlación entre c y . Para
estudiar el efecto que tiene este coeficiente sobre
los índices de confiabilidad () y probabilidades de
falla (pf) se toman dos valores para el análisis, 0 y 1.
2.3 Determinación del factor de seguridad
Los factores de seguridad, FS, para el frente del
túnel son obtenidos como la relación de la capacidad
sobre la demanda, expresado como cap/act, en
donde cap=c+σocttan y σoct es el esfuerzo octaédrico
definido como (σ1+σ2+σ3)/3, y act=1/3((σ1-σ2)2+(σ2σ3)2+(σ1-σ3)2)0.5, donde σ1, σ2 y σ3 son los esfuerzos
principales. Este enfoque permite definir las zonas
3
sobrecargadas dentro del macizo rocoso, con lo que
se puede definir un estado de falla cuando los
esfuerzos locales son iguales o mayores que la
capacidad local (Mayoral, 2014).
3 CASO DE ESTUDIO
Se seleccionó como caso de estudio un túnel típico
de sección circular, con un diámetro de excavación
de 8.7 m, que se asume será construido dentro una
formación
andesítica–dacítica,
localizada
al
Noroeste de la ciudad de México. Esta zona se
encuentra densamente poblada. En la figura 1 se
muestra la localización del sitio de estudio con
respecto a la configuración geológica encontrada en
el área. El macizo rocoso se considera de sano a
ligeramente fracturado. El diámetro interno es de 7.8
m. La cobertura del túnel se asume de 38.0 m. El
anillo que integra el revestimiento primario del túnel
se compone de siete dovelas prefabricadas de 0.35
m de espesor, más una dovela que cierra el anillo
(dovela llave). Se asume que el túnel se construirá
con una máquina tuneleadora (TBM, por sus siglas
en inglés) de frente abierto. El espacio inter–anular
máximo será de 0.1 m. Como especificación
constructiva, inyecciones de mortero serán aplicadas
para rellenar el espacio inter-anular inmediatamente
después de colocar el anillo, esto para conseguir
compatibilidad de deformaciones entre la roca
circundante y el sistema de soporte.
3.1 Parámetros del macizo rocoso
Por definición, un macizo rocoso está integrado por
fragmentos de roca intacta, cuyo comportamiento se
define a través de las características de los
fragmentos y aquellas asociadas a su contacto. Así,
para predecir el comportamiento del macizo rocoso,
es necesario determinar las características
mecánicas de los fragmentos intactos y del contacto
entre ellos (discontinuidades).
Como ocurre típicamente en la práctica, la
información geotécnica y geológica disponible es
limitada. Es posible obtener valores del peso
volumétrico, , resistencia en compresión simple, qu,
y RQD, para roca de muy buena calidad este último
parámetro tiene valores de entre 90 y 100 % (Deere
y Deere, 1988).
En la figura 2 se muestran los datos obtenidos de
investigaciones realizadas en el sitio, en ella se
aprecia la gran variación que tienen los valores de
qu, respecto a su valor medio, aspecto que en el
caso de  no es tan notorio. Esta variación es
susceptible de ser considerada en función del valor
medio y desviación estándar de la variable en
estudio, en la tabla 1 se presentan los valores
correspondientes a qu y .
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Evaluación probabilista de la estabilidad del frente de túneles construidos en roca
4
3.2 Determinación del GSI
Hoek y Brown (1997) presentan dos gráficos para la
determinación del GSI, en función de las características estructurales y de aquellas observadas en la
superficie del macizo rocoso. También este parámetro se ha obtenido por medio de correlaciones, relacionándolo con los valores de calidad obtenidos de
la aplicación de técnicas de clasificación geomecánica (i.e. RMR y Q) considerando en ello la variación
de las propiedades de los fragmentos intactos y de
las discontinuidades (Rivas, 2014). Para fines de este trabajo y considerando que el túnel se construye
dentro de roca sana a ligeramente fracturada se
asumen valores de GSI entre 80 y 100.
70
 [qu]
[]
qu [MPa]
[kN/m3]
60
qu y 
50
40
30
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Muestra
3.3 Determinación de los parámetros de
resistencia
Figura 2. Información disponible del macizo rocoso
Tabla 1. Parámetros estadísticos
parámetros del macizo rocoso.
qu [MPa]
γ [kN/m3]
E [X]
σ [X]
C.O.V. [%]
47.10
23.30
13.13
1.19
27.88
5.11
de
los
El criterio de Hoek y Brown (2002) establece que se
requieren tres variables aleatorias para determinar
los parámetros de resistencia del macizo rocoso,
ellas son qu y mi, que se definen mediante pruebas
sobre fragmentos intactos (Hoek, et. al., 2002) y el
Índice de Resistencia Geológico, GSI, que se
relaciona con las características físicas del macizo
rocoso (Hoek y Brown, 1997), incluyendo el grado de
fracturamiento, espaciamiento, tipo de material de
relleno, entre otros.
Sección de análisis
?
TUNNEL
?
?
?
?
Figura 1. Perfil estratigráfico a lo largo del eje del túnel y sección de análisis
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Rivas, R. de J., et al.
7000
 [mi] = 25, q u = 34
 [mi] = 25, q u = 60
 [qu] = 47, mi = 30
 [qu] = 47, mi = 20
6000
5000
Cohesion, c [kPa]
Los parámetros de resistencia son comúnmente
expresados a través del criterio de Mohr-Coulomb,
en términos de la cohesión, c, y el ángulo de fricción
interna, . Parámetros de deformación se establecen
en función del módulo de Young, E, y de la relación
de Poisson, . Por tanto, en sentido estricto el
Método de Estimación Puntual Multivariable, MEPM,
debe utilizarse para llevar a cabo un análisis de
riesgos, en lugar del BPEM. El MEPM requiere de un
mayor número de tiempo de cómputo debido a que
el número de modelos tridimensionales para evaluar
la variación del factor de seguridad aumenta, ya que
se requieren 2n modelos, siendo n el número de
variables.
5
4000
3000
2000
1000
En una segunda fase, el valor máximo de qu se
asoció con el valor máximo de mi, haciendo algo
similar con los valores mínimos de ambas variables,
con lo que se obtienen combinaciones de los valores
extremos de qu y mi. Los parámetros de resistencia
resultantes, en función de GSI, se presentan en las
figuras 5 y 6. Establecer en la práctica un valor
apropiado de la variable D es complicado, por esta
razón tres valores son considerados (i.e. D=0, D=0.5
y D=1). En las figuras 7 y 8 se presenta las fronteras
superior e inferior para diferentes valores de D. Es
estas figuras es claro que los parámetros de
resistencia son inversamente proporcionales a los
valores del factor de alteración, D, y que La frontera
máxima y mínima de ambos parámetros de
resistencia, se asocian a una combinación de los
valores máximos y mínimos de qu y mi.
80
85
90
95
100
105
GSI
Figura 3. Variación de la cohesión, c, para fase 1.
Considerando D=0.
68
67
Angulo de friccion interna,  [°]
Inicialmente el valor de qu se mantiene constante e
igual a su valor esperado, (qu), pero mi y GSI se
varían. En las figuras 3 y 4 se presenta la variación
de los parámetros de resistencia para una primera
fase del análisis, considerando un factor de
alteración, D, igual a cero. En ellas se puede
apreciar que el valor de mi tiene mayor efecto sobre
la cohesión, ya que genera una variación mayor en
sus valores, ocurre lo contrario con el ángulo de
fricción interna. Los valores de qu se comportan
recíprocamente a mi, pero ambas variables son
directamente proporcionales a los valores de
resistencia.
75
66
65
64
63
 [mi] = 25, qu = 34
 [mi] = 25, qu = 60
 [qu] = 47, mi = 20
 [qu] = 47, mi = 30
62
61
75
80
85
90
95
100
105
GSI
Figura 4. Variación del ángulo de fricción interna, , para
fase 1. Considerando D=0.
8000
qu = 60, mi = 30
qu = 60, mi = 25
qu = 60, mi = 20
qu = 47, mi = 30
qu = 47, mi = 25
qu = 47, mi = 20
qu = 34, mi = 30
qu = 34, mi = 25
qu = 34, mi = 20
7000
6000
Cohesion, c [kPa]
Para eliminar esta limitación se llevó a cabo una
optimización de las ecuaciones 1 a 5 por medio de
un análisis de sensibilidad, variando en un rango,
físicamente admisible, los valores de qu, mi y GSI,
encontrando con ello las fronteras superior e inferior
de los parámetros c y . El proceso de maximización
y minimización de la función de resistencia, [Sr (c,)
= f(mi, qu, GSI, D, σ´3 max)] que se define como una
relación no lineal dada por las ecuaciones 1 a 5, se
realizó en dos pasos, esto en el ánimo de considerar
todas las combinaciones posibles de los valores de
mi, qu y GSI, para un valores dados del factor de
alteración, D, y de cobertura del túnel (i.e. 38 m).
5000
4000
3000
2000
1000
75
80
85
90
95
100
105
GSI
Figura 5. Variación de la cohesión, c, para fase 2.
Considerando D=0.
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Evaluación probabilista de la estabilidad del frente de túneles construidos en roca
6
68
qu = 60, mi = 30
qu = 60, mi = 25
qu = 60, mi = 20
Angulo de friccion interna,  [°]
67
66
65
4 MODELO NUMÉRICO
Para el estudio de la respuesta del túnel se desarrollaron modelos tridimensionales de diferencias finitas, empleando el programa FLAC3D, se desarrolló
un modelo para cada combinación de parámetros
que se consigna en la Tabla 3.
64
Tabla 3. Parámetros estadísticos de los parámetros del
macizo rocoso.
63
Combinación GSI
qu = 47, mi = 30
62
qu = 47, mi = 25
qu = 47, mi = 20
qu = 34, mi = 30
61
75
80
qu = 34, mi = 25
qu = 34, mi = 20
85
90
95
100
105
01/06
02/07
03/08
04/09
05/10
qu
[MPa]
80
34
80
60
100
34
100
60
90
47
mi
20
30
20
30
25
D=0
c [kPa]
1269
1833
4404
6439
2900
φ [°]
63
68
61
66
65
D = 1.0
E [kPa] c [kPa]
60010
818
60010 1178
88937 4403
88937 6439
78122 2294
φ [°]
59
65
61
66
64
E [kPa]
6906
6906
24728
24728
14203
GSI
Figura 6. Variación del ángulo de fricción interna, , para
fase 2. Considerando D=0.
7000
qu = 60, mi = 30 y D = 0
qu = 34, mi = 20 y D = 0
qu = 60, mi = 30 y D = 0.5
qu = 34, mi = 20 y D = 0.5
qu = 60, mi = 30 y D = 1
qu = 34, mi = 20 y D = 1
6000
Cohesion, c [kPa]
5000
4000
3000
2000
1000
0
75
80
85
90
95
100
105
GSI
Figura 7. Frontera superior e inferior para los valores de c.
68
Angulo de friccion,  [°]
66
qu = 60, mi = 30 y D = 0
qu = 34, mi = 20 y D = 0
qu = 60, mi = 30 y D = 0.5
qu = 34, mi = 20 y D = 0.5
qu = 60, mi = 30 y D = 1
qu = 34, mi = 20 y D = 1
64
62
60
58
75
80
85
90
95
100
105
GSI
Figure 8. Frontera superior e inferior para los valores de .
El modelo numérico está basado en el modelo geotécnico presentado en la figura 9, como se ve en ella
la cobertura del túnel es de 38 m, su diámetro interior es de 7.8 m con una sobre-excavación de 0.10
m. Así, el diámetro final de la excavación es 8.7 m,
considerando un espesor de dovelas de 0.35 m. El
modelo está compuesto por zonas tridimensionales,
como se muestra en la figura 10 a y b. Para eliminar
los efectos de frontera en los desplazamientos calculados, estos se miden a una distancia de 2.5 veces
el diámetro de la excavación, medidos a partir de la
pared frontal de la malla (Melis, M., 2007). En la simulación, las etapas de construcción están relacionadas con la técnica constructiva TBM empleando
frente abierto. El revestimiento primario es un anillo
compuesto por siete dovelas de concreto, de 0.35 y
1.5 m de espesor y longitud, respectivamente. Se
considera que el revestimiento está diseñado para
soportar las cargas con un apropiado factor de seguridad, en la mayoría de los casos esto se consigue
con base en diagramas de capacidad del sistema de
revestimiento (Masín, J., 2009, Connor, J. y Diederichs, M. S., 2013). Características como instalación
secuencial de los anillos, y el llenado del espacio inter-anular se incluyen en la simulación. Con base en
los parámetros de resistencia del macizo rocoso, se
asume que durante el proceso de excavación no es
necesario presurizar el frente, esta hipótesis se confirma después con los resultados obtenidos de la simulación. Las siete dovelas, que en conjunto componen un anillo, son instaladas después del paso del
escudo. Como usualmente sucede, durante el proceso constructivo, la inyección para rellenar el espacio inter-anular se realiza inmediatamente después
de colocado el anillo, para limitar los movimientos
del terreno y para garantizar la compatibilidad de deformaciones entre la roca y el revestimiento. Sin embargo, de manera conservadora se supone que el último anillo instalado (i.e. los primeros 1.5 m detrás
del escudo) no proveen soporte a la excavación
(Allahverdi y Nasri, 2013), mientras los anillos pre-
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Rivas, R. de J., et al.
viamente instalados dan un soporte completo a la
excavación. Por efecto de las juntas presentes en el
anillo su rigidez a la flexión se ve reducida entre un
20 y 30 % (Lee y Ge), en el presente documento se
considera que un factor de reducción de 0.7 es suficiente para considerar este efecto.
Las propiedades mecánicas de las dovelas se consignan en la Tabla 4. Las dovelas se simulan empleando elementos “shell”.
7
figura 15 se presenta la distribución densidad de
probabilidad del factor de seguridad del frente para
diferentes valores de D y c, en ella se puede apreciar que este último parámetro tiene una influencia
mínima en la forma de las distribuciones densidad
de probabilidad.
Sección de control, 22
m
section
Tabla 4. Propiedades mecánicas de las dovelas
Parámetro
Resistencia a los 28 días, f’c
Módulo de Young a
los 28 días, Ec
Relación de Poisson, υc
Valor
40
Unidades
MPa
28,000
MPa
0.20
-
El macizo rocoso (i.e. Formación dacítico-andesítica)
se considera regida por una relación esfuerzodeformación elastoplástica, con el criterio de falla de
Mohr-Coulomb. Los parámetros del módelo son determinados con el criterio de Hoek y Brown. Inicialmente, el estado de esfuerzos geo-estáticos es determinado.
Figura 10a. Modelo de diferencias finitas, vista 3D
Sección de control, 22
section
TÚNEL
Figura 9. Modelo geotécnico
4.1 Determinación del factor de seguridad
En las figuras 11 y 12 se presentan las distribuciones espaciales del factor de seguridad para las
combinaciones 5 y 10 (ver Tabla 3), que corresponden a los parámetros promedio del macizo rocoso.
En la Tabla 5 se presentan los factores de seguridad, FS, los índices de confiabilidad, , y la probabilidad de falla, pf, para D = 0 y D = 1; se considera
que la falla se presenta cuando FS es menor o igual
a uno.
En las figuras 13 y 14 se muestran las distribuciones
de probabilidad del factor de seguridad para el frente, corona y hastiales del túnel. Por su parte, en las
Figura 10b. Modelo de diferencias finitas, vista lateral
Tabla 5. Factor de seguridad, índice de confiabilidad y
probabilidad de falla
Frente
Corona
Hastiales
FS
2.49
2.89
2.76
D=0
β
pf [%]
4.38
0.0006
33.98
≈0
8.16
≈0
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
FS
2.28
2.79
2.56
D=1
Β
pf [%]
2.84
0.23
9.49
≈0
5.63
≈0
Evaluación probabilista de la estabilidad del frente de túneles construidos en roca
8
FLAC3D 3.00
2.5
Rotation:
X: 0.000
Y: 0.000
Z: 40.000
Mag.:
1
Ang.: 22.500
Distribucion de probabilidad, P (FS)
Center:
X: 1.100e+001
Y: 2.250e+001
Z: 3.250e+001
Dist: 2.022e+002
Job Title: Combinación 5, D=0
View Title:
Step 77834 Model Perspective
11:48:00 Tue Aug 05 2014
Zone Extra 1
Magfac = 0.000e+000
Gradient Calculation
2.5158e+000 to 2.6000e+000
2.6000e+000 to 2.7000e+000
2.7000e+000 to 2.8000e+000
2.8000e+000 to 2.9000e+000
2.9000e+000 to 3.0000e+000
3.0000e+000 to 3.1000e+000
3.1000e+000 to 3.1356e+000
Interval = 1.0e-001
Sketch
Magfac = 0.000e+000
Linestyle
2
Frente
Corona
Hastiales
1.5
1
0.5
0
Itasca Consulting Group, Inc.
Minneapolis, MN USA
0.5
Figura 11. Distribución espacial del factor de seguridad,
propiedades medias de la roca (combinación 5)
FLAC3D 3.00
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Factor de seguridad, FS
Figura 14. Distribución de probabilidad del FS para el
frente, corona y hastiales, considerando D = 1
Job Title: Combinación 15, D=1
1.2
View Title:
Step 75219 Model Perspective
14:02:16 Wed Aug 06 2014
Rotation:
X: 0.000
Y: 0.000
Z: 40.000
Mag.:
1
Ang.: 22.500
1
Distribucion de probabilidad, P (FS)
Center:
X: 1.100e+001
Y: 2.250e+001
Z: 3.250e+001
Dist: 2.022e+002
D=1
Zone Extra 1
Magfac = 0.000e+000
Gradient Calculation
2.2939e+000 to 2.3000e+000
2.3000e+000 to 2.4000e+000
2.4000e+000 to 2.5000e+000
2.5000e+000 to 2.6000e+000
2.6000e+000 to 2.7000e+000
2.7000e+000 to 2.8000e+000
2.8000e+000 to 2.9000e+000
2.9000e+000 to 3.0000e+000
3.0000e+000 to 3.1000e+000
3.1000e+000 to 3.1356e+000
Interval = 1.0e-001
Sketch
Magfac = 0.000e+000
Linestyle
Itasca Consulting Group, Inc.
Minneapolis, MN USA
D = 0 y c = 0
D = 1 y c = 0
D = 0 y c= 1
D = 1 y c = 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Figura 12. Distribución espacial del factor de seguridad,
propiedades medias de la roca (combinación 10)
0
1
2
3
4
5
Factor de seguridad del frente, FSf
Figura 15. Distribución de probabilidad del FS del frente,
considerando diferentes valores de D y de c.
2
En las figuras 16 y 17 se presentan los asentamientos en la superficie y al nivel de la corona del túnel
para D = 0, en ellas se presentan tres curvas que se
asocian a la mejor, la peor y la combinación promedio de propiedades, curvas similares se muestran en
la figuras 18 y 19 para D=1. Los asentamientos se
miden sobre la sección de control, que es paralela al
frente del modelo y se ubica a 22 m medidos a partir
de él. Comparando los asentamientos obtenidos para diferentes valores del factor de alteración se nota
que los valores asociados a D = 1 son sensiblemente mayores a los calculados con un valor de D = 0.
Distribucion de probabilidad, P (FS)
D=0
Frente
Corona
Hastiales
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
Factor de seguridad, FS
Figura 13. Distribución de probabilidad del FS para el
frente, corona y hastiales, considerando D = 0
En la Tabla 6 se presentan los valores del factor de
seguridad determinista (FSd) para el frente, corona y
hastiales, junto con el asentamiento vertical máximo
al nivel de la clave y superficiales, asociado a cada
condición.
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
Rivas, R. de J., et al.
-0.05
-0.022
D=1
Asentamiento al nivel de la corona [10 -3 m]
D=0
-0.024
Asentamiento en superficie [10 -3 m]
9
-0.026
-0.028
Peor
Promedio
Mejor
-0.03
-0.032
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
Peor
Promedio
Mejor
-0.3
-0.35
-0.034
-0.4
5
-0.036
0
5
10
15
20
25
Distancia medida desde el eje del tunel [m]
Figura 16. Movimientos del terreno al nivel de terreno
natural, para D=0
15
20
25
Figure 19. Movimientos del terreno al nivel de la corona
del túnel, para D=0.5
Tabla 6. Factor de seguridad, índice de confiabilidad y
probabilidad de falla
-0.015
D=0
Asentamientos al nivel de la corona [10 -3 m]
10
Distancia medida desde el eje del tunel [m]
P (FS ≤ FSd)
Δc
[%]
[10-3 m]
Frente 2.52
74.0
D = 0 Hastiales 2.90
99.8
-0.050
Corona 3.20
100.0
Frente 2.29
72.7
D = 1 Hastiales 2.62
59.7
-0.40
Corona 2.84
64.9
Δc: Máximo desplazamiento al nivel de la corona
Δs: Máximo desplazamiento en la superficie
Zona
-0.02
-0.025
-0.03
-0.035
FSd
Δs
[10-3 m]
-0.035
-0.27
Peor
Promedio
Mejor
-0.04
5 CONCLUSIONES
-0.045
-0.05
0
5
10
15
20
25
Distancia medida desde el eje del tunel [m]
Figura 17. Movimientos del terreno al nivel de la corona
del túnel, para D=0
-0.05
Este artículo presenta un enfoque orientado a la
práctica para hacer frente a las incertidumbre
asociadas a la caracterización de un macizo rocoso,
este procedimiento es una mejora de una
metodología propuesta por túneles construidos en
suelos de grano fino cementado, buscando unificar
la revisión de los estados límite de falla, ELF, y de
servicio, ELS.
Asentamiento en superficie [10 -3 m]
D=1
En otros trabajos (Rivas, 2014) se ha mostrado que
GSI y ρc, son inversamente proporcionales, en el
presente trabajo se estudia el efecto de este último
parámetro sobre los parámetros que definen las
funciones densidad de probabilidad del factor de
seguridad, ya que ellas tienen una forma muy
similar.
-0.1
-0.15
Peor
Promedio
Mejor
-0.2
-0.25
-0.3
0
5
10
15
20
25
Distancia medida desde el eje del tunel [m]
Figure 18. Movimientos del terreno al nivel de terreno
natural, para D=0.5
Del estudio paramétrico realizado durante el
procedimiento de optimización, se concluyó que, a
partir de la simple observación de las ecuaciones
propuestas por Hoek y Brown (2002) no resulta
evidente que los valores extremos de los parámetros
de resistencia se pueden obtener usando los valores
superiores de los variables de qu y mi para valores
del factor de perturbación, D, y cobertura, H, dados.
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
10
Evaluación probabilista de la estabilidad del frente de túneles construidos en roca
De los valores extremos podemos encontrar
conjuntos de propiedades de resistencia para ser
usados en el análisis de confiabilidad del macizo
rocoso. Como era de esperarse, la máxima
probabilidad de falla ocurre en el frente del túnel.
Los factores de seguridad disminuyen cuando el fa
ctor de alteración, D, aumenta. Para el valor mayor
de D (i.e. 1), los asentamientos que se generan son
del orden de 0.27 mm en la superficie para la peor
combinación de parámetros, y de 0.40 mm al nivel
de la corona del túnel. Esto significa un incremnto de
del orden de 8 veces respecto al asentamiento
calculado para D=0, con lo que se muestra la
influencia que tiene el factor de alteración, D, en el
comportamiento estático del túnel. Este enfoque
integral permite detectar fácilmente zonas de
debilidad e incluso prever posibles fallas locales.
6 AGRADECIMIENTOS
El autor agradece a la DGAPA de la Universidad
Nacional Autónoma de México, UNAM, por su apoyo
a esta investigación.
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