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LA CLASE VIRTUAL
LOS NUMEROS
COMBINATORIOS
NUMEROS COMBINATORIOS
 Se recuerda que el factorial del número
natural n es el producto de los números
naturales de 1 a n, esto es,
n!=12  3  …  n
y que por convenio
0!=1
NUMEROS COMBINATORIOS
 Se llama permutación de n elementos
a1, a2, a3, …, an
a cualquier ordenación de los mismos. Por
ejemplo: Las permutaciones de las 3 letras
pqr son pqr, qrp, rpq, qpr,rqp,prq.
 Teorema:El número de permutaciones de n
elementos vale n!
 En el ejemplo 3!=6
NUMEROS COMBINATORIOS
 En lugar de ordenaciones de los n elementos
podríamos pensar en ordenaciones de k
elementos extraídos de los n dados. Por
ejemplo: las permutaciones de las tres letras
pqr tomadas de dos en dos cada vez son
pq, pr, qr, qp, rp, rq
 Teorema: El número de permutaciones de n
elementos tomados de k en k cada vez vale
n!/(n-k)!.
NUMEROS COMBINATORIOS
 En nuestro ejemplo 3!/(3-2)!=6/1=6
 Nota: Si en las permutaciones de n
elementos tomados de k en k cada vez se
admitiera repeticiones el número de tales
permutaciones sería nk
 En nuestro ejemplo 32=9:
pp, pq, pr, qp, qq, qr, rp, rq, rr
NUMEROS COMBINATORIOS
 Se llama combinación a una permutación
en la que el orden no tiene relevancia y sólo
qué elementos la forman
 Por ejemplo: Sólo hay una combinación de
las tres letras pqr, precisamente pqr. Las
combinaciones de pqr tomadas de dos en
dos son pq, pr, qr y tomadas de uno en uno
p, q, r
NUMEROS COMBINATORIOS
 Teorema: El número de combinaciones de
n elementos tomados de k en k viene dado
por la expresión
 n
n!
  
 k  (n  k )! k!
 El primer miembro de la expresión es la
notación del número combinatorio n sobre
k definido por el segundo miembro.
NUMEROS COMBINATORIOS
 Nota: Si en las combinaciones de n
elementos tomados de k en k cada vez se
admiten repeticiones, el número de tales
combinaciones viene dado por
 n  k  1


 k 
NUMEROS COMBINATORIOS
 Ejemplo: El número de combinaciones de
las tres letras pqr tomadas de dos en dos
cada vez es
 3
3!
6
  

3
 2  (3  2)! 2! 1.2
y si se admite repeticiones de letras
 3  2  1  4 

     ...  6
 2   2
NUMEROS COMBINATORIOS
 El número combinatorio
 n
n!
  
 k  (n  k )! k!
se puede calcular también de la forma
 n  n(n  1)( n  2) (n  k  1)
  
1 2  3 k
k 
NUMEROS COMBINATORIOS
 Se justifica lo anterior mediante
 n
n!
  

 k  (n  k )! k!
n(n  1)( n  2)  (n  k  1) (n  k )( n  k  1) 3  2 1 
(n  k )( n  k  1) 3  2 1 (k 3  2 1)
n(n  1)( n  2)  (n  k  1)
k  3  2 1
NUMEROS COMBINATORIOS
 Se tienen las siguientes propiedades:
n
n
1)    1 2)    n
 0
1
 n  n
   
3) 
n - k k
 n  1  n   n 
     

4) 
 k   k   k  1
NUMEROS COMBINATORIOS
 La última propiedad permite obtener los
números combinatorios de forma recursiva,
dando origen al llamado triángulo de
Pascal o de Tartaglia:
n
0
1
1
1
2
1
3    1
4
5
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
NUMEROS COMBINATORIOS
 Los números combinatorios aparecen como
coeficientes del binomio de Newton:
 n  n  n  n 1  n  n  2 2
 n n
(a  b)   a   a b   a b  ...   b 
 0
1
 2
 n
n
 n  nk k
   a b
k 0  k 
n
NUMEROS COMBINATORIOS
 Utilizando la anterior expresión se puede
probar inmediatamente:
1)
n
n



2

k
k 0  
2)
n
(1)    0

k 0
k
n
n
k
Permutaciones sin repetición
Denominamos permutaciones ordinarias o sin
repetición de n elementos, a cada uno de los
distintos grupos que pueden formarse de
manera que:
-En cada grupo entran todos los n elementos.
- Un grupo se diferencia de otro únicamente en
el orden de colocación de los elementos.
Al número de permutaciones ordinarias de n elementos lo
representaremos por Pn y se calculará:
Pn=n.(n-1).(n-2)...3.2.1
a este número lo llamaremos factorial de n y lo representaremos
por n! , esto es:
n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1
Si n = 1, se define 1!=1
Si n = 0 se define 0!=1
EJEMPLOS
- ¿ De cuántas formas pueden sentarse 8
amigos en una fila de butacas de un cine?
Sol: P8 =
- ¿ De cuántas formas diferentes se pueden
fotografiar 5 amigos frontalmente en línea
recta?
Sol: P5 =
- Un técnico de sonido tiene que unir 6
terminales en 6 conexiones. Si lo hiciera al
azar, ¿ de cuántas formas diferentes podría
completar las conexiones?
Sol: P6 =
Permutaciones con repetición.
Denominamos permutaciones con repetición de n elementos en
los que uno de ellos se repite "a" veces, otro "b" veces y así hasta
el último que se repite k veces ( a+b+c+....k = n);
todas las ordenaciones posibles de estos n elementos.
Consideramos dos ordenaciones distintas si difieren en el orden de
colocación de algún elemento ( distinguible ).
Notaremos a este tipo de permutación como:
y se calcularán:
EJEMPLOS:
- ¿ De cuántas formas pueden ordenarse en
una estantería 5 libros de lomo blanco, 3
de lomo azul y 6 de lomo rojo?
Sol:
- ¿ Cuántas palabras de 6 letras con o sin
sentido se pueden formas con las letras de
AMASAS ?
Sol:
- En una carrera por equipos participan 4
españoles, 5 franceses y 3 marroquíes. Si
lo único reseñable de cada corredor es su
nacionalidad, ¿ de cuántas formas posibles
podrían terminar la carrera?
Sol:
Combinaciones
Denominamos combinaciones ordinarias o sin repetición de n
elementos tomados de m en m, (m<=n) a las distintas
agrupaciones de m elementos de manera que:
- En cada grupo entren m elementos distintos
- Dos grupos son distintos si difieren en algún elemento.
El número de combinaciones ordinarias de m elementos
tomados de m en m lo notaremos Cn,my se calcula: