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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA
MÓDULO # 16: ÓPTICA FÍSICA -POLARIZACIÓNDiego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
1
Temas
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Introducción
Una simplificación
Polarización Elíptica: matemática
Forma 1 de polarizar linealmente la luz: Por dicroísmo
Forma 2 de polarizar linealmente la luz: Por reflexión
Forma 3 de polarizar linealmente la luz: Por esparcimiento
Forma 4 de polarizar linealmente la luz: Por birrefringencia
Forma de polarizar elípticamente la luz: Los retardadores
Aplicación 1: El polarímetro
Aplicación 2: La pantalla LCD
Aplicación 3: Las gafas 3D
Aplicación 4: Fotoelasticidad
Taller sobre polarización
Introducción
La polarización, la interferencia y la difracción son fenómenos de naturaleza ondulatoria. Para el caso de la
luz el estudio de éstos se denomina Óptica Física y éste será el tema a tratar en los módulos 16, 17 y 18. En
el presente módulo se estudiará la polarización de la luz.
La onda electromagnética (OEM) está compuesta por una onda eléctrica E y una onda magnética B vibrando
ortogonalmente entre ellas y ortogonales a su vez a la dirección de propagación Figura 1. La polarización de
la OEM está definida por el campo eléctrico. Si la punta del campo eléctrico en un punto fijo de la
dirección de propagación “dibuja” una elipse o un caso particular de ella (círculo o segmento de recta) se
dice que la OEM está polarizada. La polarización es, junto al color, una de las propiedades fundamentales
de la luz. Si bien algunos tipos de abejas y mariposas tienen los ojos “diseñados” para poder ver la
polarización de la luz, nosotros carecemos de esta capacidad, pero podemos distinguirla con el uso de los
denominados analizadores (polarizadores).
Figura 1: Luz polarizada en el plano XZ.
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondientes a la luz como una onda electromagnética. Para
acceder a ellas hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 2. En ésta hacer las variaciones
permitidas y observar detenidamente los resultados.
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics
2
Figura 2
Una simplificación
En la óptica la mayoría de los materiales que se emplean son de dieléctricos (vidrios, plásticos, agua,...).
Para estos sólo es de interés fundamental la componente eléctrica que en el caso de la Figura 1 se
representará por la ecuación (considerada la luz como una onda plana armónica monocromática),
E x = Eox sen  kz - wt + φox  i
1
Para "evadir" por el momento la naturaleza electromagnética de la luz, se representará la ecuación [1] en
términos de "elongaciones":
x = A x sen  kz - wt + φox  i
 2
Sin embargo se debe estar consciente que la supuesta "elongación", en este caso x, realmente representa
un campo eléctrico y Ax corresponderá a la amplitud de ese campo (es decir, su máximo valor). Bajo esta
representación, la ecuación [2] corresponde a una onda electromagnética (o luz si la frecuencia
corresponde a esta sección del espectro electromagnético) vibrando en el plano XZ y propagándose en
dirección +z: se dirá que la onda está polarizada linealmente en el plano XZ.
Polarización Elíptica: matemática
Con base en lo aclarado en el apartado anterior, una onda electromagnética plana polarizada linealmenteen
el plano XZ y propagándose en dirección +z se representa,
x = A x sen  kz - wt + φox  i
 2
y una onda electromagnética plana polarizada linealmente en el plano YZ y propagándose en dirección +z ,
Figura 3 se representa,
y = A y sen  kz - wt + φoy  j
3
Figura 3: Luz polarizada en el plano YZ
Una combinación lineal de las dos ondas anteriores dará una polarización elíptica (recordar la superposición
de dos M.A.S que vibran en direcciones perpendiculares con la misma frecuencia) dextrógira o levógira.
Esto significa que la punta del vector r = x i + yj (que en la simplificación señalada en la sección anterior,
correspondería a la punta del campo eléctrico) dibuja una elipse al girar con frecuencia angular w; esta
elipse en general posee sus ejes principales rotados con respecto a los ejes del plano cartesiano XY, Figura
4: imaginándose la onda avanzando hacia el ojo, el sentido de recorrido de la elipse puede ser dextrógiro
(sentido antihorario) o levógiro (sentido horario). Casos particulares de esta polarización son la
polarización lineal y la polarización circular, dependiendo esto de la diferencia de fase Δφ = φ ox - φ oy .
Un estado de polarización, es una elipse en particular. Recorridos en diferentes sentidos de la misma elipse
corresponden a estados de polarización diferentes. Sin embargo dos elipses nomotéticas no representan
diferentes estados de polarización. Además la forma de la elipse sólo depende de Δφ = φ ox - φ oy y no de
φ ox y de φ oy por separado. El estado de polarización lineal y el circular son casos particulares del elíptico.
Por ejemplo, si Δφ = φ ox - φ oy es igual a 0 o  la polarización es lineal y sí Δφ = φ ox - φ oy es igual a +/2 o /2 siendo además Ax=Ay, el estado de polarización es circular, con +2 polarización dextrógira y con -/2
levógira.
3
Imaginarse la onda electromagnética polarizada elípticamente avanzando hacia el ojo; la punta del campo
eléctrico describirá una hélice cuyo paso equivale a una longitud de onda,, de la radiación, Figura 5. En el
caso de la figura la polarización es elíptica levógira.
4
Figura 4
Figura 5
Ejemplo 1:
El campo eléctrico correspondiente a una onda electromagnética es el siguiente (en el sistema SI),
E = Eo sen  kz - wt

i + 3Eo sen  kz - wt
Describir el tipo de polarización.

j
Solución:
En la nomenclatura que se acordó en éste módulo la ecuación del campo eléctrico se escribirá,
r = x i + y j = A x sen  kz - wt + φox
en donde, Ax= Eo, Ay= 3Eo,

i + A y sen  kz - wt + φoy  j
φox = 0 , φ oy = 0 .
5
Se tiene que esta onda se compone de las siguientes dos ondas polarizadas linealmente en los planos XZ y
YZ respectivamente,
x = Ax sen  kz - wt 
(1)
y = Ay sen  kz - wt 
(2)
Eliminando el tiempo combinando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene,
A
y
= y
x
Ax
3E o
y
=
x
Eo
y = 3x
por lo tanto la polarización es lineal, formando el plano de polarización un ángulo  con el plano XZ,
β = tan -1  3 = 71,6o
Ver Figura 6.
Ejemplo 2:
El campo eléctrico correspondiente a una onda electromagnética es el siguiente (en el sistema SI),
E = Eo sen  kz - wt

i - 3Eo sen  kz - wt

j
Describir el tipo de polarización.
Solución:
En la nomenclatura que se acordó en éste módulo la ecuación del campo eléctrico se escribirá,
r = x i + y j = A x sen  kz - wt + φox

i + A y sen  kz - wt + φoy  j
6
Figura 6
en donde, Ax= Eo, Ay= 3Eo,
φox = 0 , φ oy = π
Se tiene que esta onda se compone de las siguientes dos ondas polarizadas linealmente en los planos XZ y
YZ respectivamente,
x = Ax sen  kz - wt 
(1)
y = - Ay sen  kz - wt 
(2)
Eliminando el tiempo combinando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene,
A
y
=- y
x
Ax
3E
y
=- o
x
Eo
y = -3x
por lo tanto la polarización es lineal, formando el plano de polarización un ángulo  con el plano XZ,
β = tan -1  -3 = - 71,6o
Ver Figura 7.
7
Figura 7
Ejemplo 3:
El campo eléctrico correspondiente a una onda electromagnética es el siguiente (en el sistema SI),
E = Eo sen  kz - wt

i - 3Eo cos  kz - wt

j
Describir el tipo de polarización.
Solución:
En la nomenclatura que se acordó en éste módulo la ecuación del campo eléctrico se escribirá,
r = x i + y j = A x sen  kz - wt + φox
en donde, Ax= Eo, Ay= 3Eo,

i + A y sen  kz - wt + φoy  j
φox = 0 , φ oy =
3π
2
Se tiene que esta onda se compone de las siguientes dos ondas polarizadas linealmente en los planos XZ y
YZ respectivamente,
x = Ax sen  kz - wt 
(1)
y = - Ay cos  kz - wt 
(2)
Eliminando el tiempo combinando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene,
x2
y2
+
=1
E o2
9E o2
por lo tanto la polarización es elíptica: en este caso la punta del campo eléctrico a medida que avanza la
onda dibuja una espiral elíptica. A continuación se debe consultar si la polarización elíptica es dextrógira o
levógira. Para averiguar esto se puede evaluar las componentes del campo eléctrico en dos situaciones:
z = 0, t = 0 y z =
λ
, t = 0 , para observar el sentido de rotación.
4
Situación 1: z = 0, t = 0 y se obtiene,
x = 0, y = -3E o
Situación 1: z =
λ
, t = 0 y se obtiene,
4
x = Eo , y = 0
Como puede observarse en la representación de la Figura 8, si se observa la OEM avanzando hacia el ojo, la
punta del campo eléctrico (punta del vector r = x i + y j ) describe una elipse haciendo giros alrededor del
eje z y en el sentido antihorario, es decir, la polarización es elíptica dextrógira.
Ver Figura 8.
Figura 8
8
Resumiendo la polarización:

La OEM polarizada linealmente en su propagación mantiene el campo eléctrico E constante en su
dirección pero no en su magnitud.

La OEM polarizada circularmente mantiene constante la magnitud del campo eléctrico E pero no su
dirección: E gira con velocidad angular igual a la frecuencia angular de la onda (w) y la punta del mismo
describe una espira circular de paso igual a .

La OEM polarizada elípticamente no mantiene constante ni la magnitud del campo eléctrico E ni su
dirección: E gira con velocidad angular igual a la frecuencia angular de la onda (w) y la punta del mismo
describe una espira elíptica de paso igual a .
Luz NO polarizada:
Si la diferencia de fase Δφ = φ ox - φ oy varía aleatoriamente en el tiempo, se tendrá luz NO polarizada
como es el caso de la luz natural. En este caso la punta del campo eléctrico dibujará una línea errática. La
Figura 9 izquierda representa luz no polarizada y la Figura 9 derecha representa luz parcialmente
polarizada.
Figura 9
Forma 1 de polarizar linealmente la luz: Por dicroísmo
Hay esencialmente cuatro formas de polarizar la luz:



por absorción selectiva (dicroísmo),
por reflexión,
por esparcimiento y
9

por birrefringencia.
Se empezará analizando la polarización lineal por dicroísmo.
Por su conformación molecular, cierto tipo de materiales dejan pasar la luz cuya dirección de polarización
lineal corresponde a la dirección de un eje denominado eje de transmisión y absorbe aquella cuya dirección
de polarización lineal es ortogonal a este, denominado eje de extinción, Figura 10 izquierda (el eje vertical
es el eje de transmisión y el horizontal el de extinción). Como ejemplo están los polaroides, los cuales
consisten de una película de polivilino en la cual se introducen cristales microscópicos fuertemente
dicroicos (generalmente sales de yodo) que se orientan después estirando o laminando el soporte plástico.
En la Figura 10 derecha se ilustra dos láminas polaroides que se están superponiendo: al rotarlos, sus ejes
de transmisión van cambiando el ángulo que forman y por ende la intensidad de la luz que los atraviesa
también cambia; cuando quedan cruzados ortogonalmente estos ejes no deberá pasar luz.
Figura 10
Ley de Malus Cuando sobre un polarizador lineal incide luz linealmente polarizada en una dirección que
forma un ángulo  con el eje de transmisión, Figura 11, al atravesarlo cambiará su dirección de polarización
a la dirección del eje de transmisión y quedará debilitada en intensidad siendo afectada por un factor
proporcional al cos2,
I = Ii cos 2β
[4]
en donde Ii corresponde al promedio de la intensidad de la luz incidente e I la intensidad de la luz que logra
atravesar el polarizador. Esta expresión se conoce con el nombre de ley de Malus, en honor al físico e
ingeniero militar francés del ejército de Napoleón, Étienne Louis Malus (París, 1775-1812), quien fue el que
la formuló.
10
11
Figura 11
Se debe anotar que si la luz que incide en el polarizador no está polarizada, el valor de  variará
aleatoriamente, por lo que se tomará para realizar el cálculo el promedio en un periodo de cos2 cuyo valor
es ½ y por tanto, la luz una vez atraviese el polarizador seguirá polarizada linealmente con la dirección de
vibración igual a la del eje de transmisión pero con una intensidad igual a,
I=
1
Ii
2
[5]
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondientes a la ley de Malus. Para acceder a ella hacer clic
con el mouse en el ítem señalado en la Figuras 12. En esta simulación hacer las variaciones permitidas y
observar detenidamente los resultados.
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics
Figura 12
Ejemplo 4:
Tres placas polarizadoras están alineadas. La primera y la tercera están cruzadas; la que está en el medio
tiene su eje a 45o respecto a los ejes de las otras dos. ¿Qué fracción de la intensidad de un haz incidente
no polarizado se transmite por la pila?
Solución:
12
En la Figura 13 se ilustra la escena física.
Figura 13
La luz emitida por la bombilla tiene una intensidad Io y no está polarizada. Al atravesar el primer
polarizador, según la ley de Malus, pierde la mitad de su intensidad y continúa polarizada en la dirección Y,
I1 =
1
Io
2
Al atravesar el segundo polarizador cambia su dirección de polarización a la del eje de transmisión de éste
y continúa, según la ley de Malus, con una intensidad igual a,
I 2 = I1cos 2 45o =
1
1
1
Io × = Io
2
2
4
Al atravesar el tercer polarizador cambia su dirección de polarización a la del eje X y continúa, según la ley
de Malus, con una intensidad igual a,
I3 = I 2 cos 2 45o = I 2 ×
1
1
= Io
2
8
Por lo tanto al atravesar el conjunto de polarizadores la luz tiene la octava parte de la intensidad de la luz
incidente.
13
Ejemplo 5:
Suponer que un polarizador se gira a una velocidad angular w entre un par similar de polarizadores cruzados
quietos. Demostrar que la intensidad emergente está modulada a cuatro veces la frecuencia de rotación. En
otras palabras, demostrar que
I=
I1
1 - cos 4wt 
8
donde I1 es la intensidad de la luz que emerge del primer polarizador e I la intensidad final.
Solución:
En la Figura 14 se ilustra la escena física.
Figura 14
La luz emitida por la bombilla tiene una intensidad Io y no está polarizada. Al atravesar el primer
polarizador, según la ley de Malus, pierde la mitad de su intensidad y continúa polarizada en la dirección Y,
I1 =
1
Io
2
Al atravesar el segundo polarizador cambia su dirección de polarización a la del eje de transmisión de éste
y continúa, según la ley de Malus, con una intensidad igual a,
I 2 = I1cos 2θ
14
Al atravesar el tercer polarizador cambia su dirección de polarización a la del eje X y continúa, según la ley
de Malus, con una intensidad igual a,
π

I = I 2 cos 2  - θ   I 2 sen 2θ = I1 cos 2θ sen 2θ
2

2
I
 sen 2θ 
I = I1 
 1 sen 2 2θ

4
 2 
I=
I1
1 - cos 4θ 
8
Como el polarizador 2 gira con velocidad angular constante (Movimiento Circular Uniforme),
θ = wt
y por lo tanto,
I=
I1
1 - cos 4wt 
8
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondientes a la ley de Malus. Para acceder a ellas hacer clic
con el mouse en el ítem señalado en la Figuras 15. En esta simulación hacer las variaciones permitidas y
observar detenidamente los resultados.
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics
15
Figura 15
Forma 2 de polarizar linealmente la luz: Por reflexión
Cuando la luz incide en un material dieléctrico parte de ella se refleja y parte se refracta. El físico
Británico sir David BREWSTER (1781 – 1868) muestra que la luz reflejada está parcialmente polarizada, y
que específicamente cuando el rayo refractado y el rayo reflejado son ortogonales, la luz reflejada está
totalmente polarizada de tal forma que su campo eléctrico vibra ortogonalmente al plano de incidencia,
Figura 16. Al ángulo de incidencia en esta situación se le denomina ángulo de Brewster y el cual cumple,
aplicando la ley de Snell,
Figura 16
sen φ b
n
= 2
sen φ t
n1
sen φ b
n
= 2
n1
π

sen  - φ b 
2

sen φ b
n
= 2
cos φ b
n1
16
n
tan φ b = 2
n1
[6]
siendo n1 el índice de refracción del medio de donde incide la luz y n2 el índice de refracción del medio
hacia donde se refracta.
Se fabrican gafas que están provistas en sus lentes de polarizadores con sus ejes de transmisión
orientados en dirección vertical, por lo que minimizan los efectos de brillo de los haces de luz reflejados en
diferentes superficies (que causan tanto fastidio en determinadas ocasiones), debido a que su polarización
tienden a ser perpendicular a dichos ejes, Figura 17. En dicha Figura se observa cómo se absorbe las
componentes del campo eléctrico que oscila en dirección horizontal.
Figura 17
Se recomienda ver la simulación del siguiente sitio Web,
http://www.colorado.edu/physics/2000/polarization/polarizationI.html
Ejemplo 6:
¿A qué ángulo de incidencia estará completamente polarizada la luz que se refleja en el agua (n=1,33)?
Solución:
La luz incide desde el aire hacia el agua. Según la ecuación [6],
tan φ b =
n2
n1
Reemplazando n1 = 1,00 y n2 = 1,33 se obtiene,
φb = tan -1 1,33
φ b = 53,1o
Ejemplo 7:
Cuando luz roja en el vacío incide con el ángulo de Brewster sobre una placa de vidrio, el ángulo de
refracción es de 31,8°. ¿Cuáles son (a) el índice de refracción del vidrio y (b) el ángulo de Brewster?
Solución:
La luz incide desde el vacío hacia el vidrio. Según la ecuación [6],
tan φ b =
n2
n1
n 2 = tanφb
Adicionalmente el ángulo de refracción y el ángulo de Bewster son complementarios y por lo tanto b=58,2o.
Reemplazando se obtiene,
n 2 = 1,61
Forma 3 de polarizar linealmente la luz: Por esparcimiento
El fenómeno de esparcimiento aparece en medios muy diluidos como por ejemplo la atmósfera. Sobre las
moléculas de oxígeno y nitrógeno, entre otras, inciden la luz visible que envía el sol, de diferente
frecuencia desde el violeta hasta el rojo. Rayleigh mostró cómo cuando la luz interactúa con moléculas del
orden de su longitud de onda, es absorbida y reemitida (esparcida) por éstas en todas las direcciones
acentuándose fuertemente este fenómeno, para las ondas de menor longitud de onda (violeta, azul): este
efecto según Rayleigh es inversamente proporcional a la cuarta potencia de la longitud de onda. Esta
es la razón del por qué el cielo es azul. Así mismo al amanecer y al atardecer se ve rojiza la línea del
horizonte. En este caso la capa atmosférica que ha de atravesar la luz del sol hasta nosotros es mucho
mayor que durante el mediodía dispersándose cada vez más las longitudes de onda cortas (azul, verde), y
sólo nos llega la luz más roja, Figura 18.
17
18
Figura 18
La luz solar no es luz polarizada (luz natural). La onda esparcida se mantiene despolarizada en la dirección
de incidencia de la luz, pero para otras direcciones aparece parcialmente polarizada, y en cualquier
dirección contenida en el plano perpendicular a la de incidencia la onda esparcida está polarizada
linealmente, Figura 19. Esto se debe a que una molécula al ser excitada por la luz solar (la cual puede ser
entendida como la superposición de dos estados de polarización ortogonales no coherentes), se convierte
en un dipolo radiante, y por tanto radia en todas las direcciones excepto en la dirección de vibración, dando
lugar a superposiciones de ondas reemitidas: como resultado en el plano ortogonal a la dirección de
propagación la luz esparcida está completamente polarizada.
Figura 19
Forma 4 de polarizar linealmente la luz: Por birrefringencia
La birrefringencia, o doble refracción, es un fenómeno complicado que se presenta en la calcita, Figura 20,
en otros cristales no cúbicos y en algunos plásticos sometidos a tensión como el celofán. En la mayoría de
los materiales la velocidad de la luz es la misma en todas las direcciones. Estos materiales son isotrópicos.
Debido a su estructura atómica, los materiales birrefringentes son anisotrópicos. La velocidad de la luz
depende de su dirección de propagación a través del material, por lo que tendrán diferentes índices de
refracción para diferentes direcciones. Cuando un rayo de luz está incidiendo sobre estos materiales se
separa en dos rayos denominados rayo ordinario (rayo o) y rayo extraordinario (rayo e), Figura 20. Estos
rayos están polarizados en direcciones mutuamente perpendiculares (los campos eléctricos
correspondientes a esas dos ondas -onda o y onda e- vibran ortogonalmente a la dirección de propagación, y
a su vez vibran ortogonalmente entre ellos), y se propagan con diferentes velocidades. Dependiendo de la
orientación relativa del material y de la luz incidente, los rayos pueden propagarse también en direcciones
diferentes. Existe una dirección particular en un material birrefringente en que ambos rayos se propagan
con la misma velocidad. Esta dirección se denomina eje óptico del material. Cuando la luz se propaga a lo
largo del eje óptico no ocurre nada inusual. Sin embargo, cuando la luz está incidiendo en ángulo con
respecto a dicho eje óptico, los rayos se propagan en distintas direcciones y emergen separados en el
espacio. Si se hace girar el material, el rayo extraordinario gira en el espacio.
Figura 20
Video:
Observar el video que ilustra la birrefringencia de la calcita:
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/recursos/videos/videos_experimentos_fisica/optica_ondulatoria/calcita.
html
19
Forma de polarizar elípticamente la luz: Los retardadores
Láminas retardadoras Si la luz está incidiendo sobre una placa birrefringente de modo que sea
perpendicular a su cara cristalina y perpendicular el eje óptico, Figura 21, los dos rayos se propagan en la
misma dirección pero con velocidades diferentes. El número de longitudes de onda de los dos rayos
contenidas en la placa es diferente porque las longitudes de onda de ambos difieren entre sí. Los rayos
emergen con una diferencia de fase que depende del espesor de la placa y de la longitud de la luz incidente.
20
Figura 21
A continuación se procederá a calcular esta diferencia de fase. Para ello supóngase que a la entrada del
cristal el campo eléctrico de la luz (monocromática) está vibrando en la dirección ilustrada en la 21. Es
decir las componentes de este campo que originan la onda ordinaria y extraordinaria dentro del cristal
están representadas como sigue,
x = Axsen  k ex z - wt + φo 
y = Aysen  k or z - wt + φo 
siendo kex el número de onda extraordinario y kor el número de onda ordinario. Sus fases respectivas son,
φex  z,t  = k ex z - wt + φo
φor  z,t  = k or z - wt + φo
El cambio de fase que presenta la onda extraordinaria cuando recorre el cristal de espesor d es,
φex = φex  d,0 - φex  0,0  k ex d
Teniendo en cuenta que,
k ex =
2π
λ ex
y que,
n ex =
λo
λ ex
21
se obtiene.
Δφ ex =
2π
n ex d
λo
(1)
Análogamente se obtiene para el rayo ordinario,
Δφ or =
2π
n or d
λo
(2)
En esas expresiones (1) y (2), o corresponde a la longitud de onda de la luz en el vacío, nor y nex
corresponden a los índices de refracción ordinario y extraordinario del cristal. La diferencia de fase entre
 las estas dos ondas después de atravesar el cristal es,
δ=
2π
 n ex - n or  d
λo
[7]
Este resultado permite que estos materiales puedan ser usados para construir las denominadas láminas
retardadoras, cuyos usos entre otros, es el de ayudar "construir" luz elíptica polarizada. A continuación se
analizará esto.
Polarizar la luz elípticamente usando retardadores
En la figura 21 la lámina de cristal de espesor d al introducir la diferencia de fase , transforma una onda
luminosa que entra polarizada linealmente al cristal, en una onda elípticamente polarizada al salir del
cristal. En efecto, los campos ópticos de las onda ordinaria y extraordinaria una vez hayan atravesado el
cristal se pueden expresar así,
x = Axsen  k ex z - wt + δ 
y = Aysen  k or z - wt 
2π
. Por lo tanto al superponerse (superposición ortogonal de oscilaciones de igual
λo
π
frecuencia) se obtiene luz polarizada elípticamente. Si la lámina es tal que δ =
y a la entrada la luz está
2
en donde k =
polarizada linealmente de tal forma que Ax=Ay, la polarización que se obtiene a la salida es circular
dextrógira
y si δ = -
π
la polarización que se obtiene a la salida es circular levógira. Se puede demostrar
2
que cuando la luz polarizada circularmente pasa a través de la misma lámina, el resultado es luz linealmente
polarizada. A estas láminas se les denomina láminas de cuarto de onda.
Uso de la lámina de media onda Si un cristal es cortado de manera que tenga el doble de la placa de
cuarto de onda, se tiene una lámina de media onda. En este caso, si la luz entra polarizada linealmente
formando un ángulo  respecto al eje óptico, al salir de la lámina su polarización sigue siendo lineal pero en
un plano rotado un ángulo igual a 2 respecto al plano de polarización original: a veces una placa de media
onda se le llama de le llama rotador de polarización. Esta lámina también logra cambiar la polarización
circular dextrógira a levógira. Esta discusión de las placas de onda supone que el ancho del cristal es
correcto solo para la longitud de onda de la radiación incidente. En la práctica, existe un rango de
longitudes de onda en torno al valor correcto donde estos modificadores de polarización funcionan
bastante bien.
Simulación:
Analizar la simulación de SimulPhysics correspondientes a la luz polarizada elípticamente. Para acceder a
ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 22. En ésta hacer las variaciones permitidas y
observar detenidamente los resultados.
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/index.php/software-hardware/simulphysics
Figura 22
22
Ejemplo 8:
Un haz de luz cuya longitud de onda en el vacío es 589,3 nm incide normalmente en una placa de cuarzo
cuyo eje óptico es perpendicular al haz. Calcule las longitudes de onda de las ondas ordinaria y
extraordinaria. ¿Cuáles son sus frecuencias? Ayuda: Los índices de refracción ordinario y extraordinario
para el cuarzo medidos con luz de longitud de onda en el vacío igual a 589,3 nm son respectivamente 1,5443
y 1,5534.
23
Solución:
Los índices de refracción ordinario y extraordinario del material birrefringente son,
n or =
λo
λ or
n ex =
λo
λ ex
Reemplazando nor= 1,5443, nex=1,5534, o=589,3 nm se obtiene,
λor = 381,6 nm
λ ex = 379,4 nm
La frecuencia no cambia,
λo fo = c
Reemplazando o=589,3x10-9 m, c=3x108 m/s se obtiene,
f o = 509 THz
Ejemplo 9:
Un espécimen biológico contiene espículas birrefringentes de espesor 5,00 µm. Una luz de longitud de onda
690 nm en el vacío se divide en dos haces que atraviesan las espículas con velocidades de 2,257x108 m/s y
2,262x108 m/s. ¿Qué diferencia de fase se introduce entre los dos haces al atravesar las espículas?
Solución:
La espícula se comporta como un medio birrefringente, Figura 23. Los índices de refracción de la espícula
para los dos rayos que la atraviesan son,
n1 =
c
V1
n2 =
c
V2
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Figura 23
Reemplazando V1 = 2,257x108, V2 = 2,262x108 m/s, c = 3x108 m/s se obtiene,
n1 = 1,329
n1 = 1,326
Para calcular la diferencia de fase se puede emplear [7],
δ=
2π
 n1 - n 2  d
λo
Reemplazando
λ o = 690 nm , n1 = 1,329 , n 2 = 1,326 , d=5x10-6 m, se obtiene,
δ = 0,137 rad
Aplicaciones
Aplicación 1: El polarímetro
Actividad Óptica Se llama así a un fenómeno relacionado con el carácter transversal de la luz como es la
rotación del plano de polarización. Si un haz de luz polarizada pasa a través de una sustancia ópticamente
activa, la onda transmitida quedará polarizada linealmente, pero en un plano que forma un ángulo
determinado con el plano de incidencia, Figura 24. El valor de dicho ángulo, , es proporcional a la longitud
que el haz recorre en la sustancia y depende también de la naturaleza de la misma. Dichas sustancias
pueden ser dextrógiras o levógiras dependiendo de que roten la dirección el plano de polarización en el
sentido horario o antihorario.
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Figura 24: Polarímetro
Se define la rotación específica o poder rotatorio  como la rotación producida por una columna de líquido
de 10 cm que contiene 1,00 g de sustancia activa por cada cm3 de disolución.
Ley de Biot El poder rotatorio , de los cuerpos sólidos es directamente proporcional al espesor e de las
sustancias atravesadas por la luz polarizada y a su densidad 
α= α e ρ
en donde [] se denomina poder rotatorio específico, cuyo valor es constante para cada sustancia.
Para las disoluciones es directamente proporcional al espesor de la capa liquida y a la concentración c. Con
base en esto se construye el polarímetro, Figura 24:
α= α L c
siendo L la longitud del tubo lleno de líquido (tubo del polarímetro) y atravesado por la luz polarizada. Este
instrumento permite medir concentraciones midiendo el poder rotatorio de las disoluciones.
Aplicación 2: La pantalla LCD
Aunque la tecnología de los cristales líquidos es relativamente reciente, parte de las curiosas propiedades
de los cristales líquidos fueron observadas en 1888 por el botánico austríaco Friedrich Reitnizer mientras
experimentaba con una sustancia similar al colesterol (benzotato de colesterol). Esta sustancia permanecía
turbia a temperatura ambiente y se aclaraba según se calentaba. Al irse enfriando se tornaba cada vez más
azulada hasta solidificarse y volverse opaca. Este efecto se mantuvo desapercibido hasta que fue
aprovechado para crear el primer prototipo de visualizador LCD. En la Figura 25 se ilustra una
microfotografía de la estructura y forma de las moléculas en un cristal líquido.
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Figura 25
El término cristal líquido es en sí extraño y contradictorio. Normalmente se entiende a los cristales como
algo sólido, y todo lo contrario para un líquido, aunque ambos puedan ser transparentes a la luz. Sin
embargo, por extraño que parezca, existen sustancias que tienen ambas características. En otras palabras,
un cristal líquido es un estado de la materia que se halla entre un sólido cristalino y un líquido amorfo. Un
material así tiene ciertas propiedades, como la ordenación de las moléculas, propia de los sólidos, pero
simultáneamente presentan cierta fluidez, característica de los líquidos.
La mayoría de los cristales líquidos están compuestos por moléculas orgánicas alargadas y se pueden
clasificar según el tipo de ordenación molecular en: nemáticos, colestéricos y esmécticos, Figura 26. En los
nemáticos las moléculas están orientadas según una dirección, pero existe un desorden en la posición de las
moléculas. En los esmécticos hay orden tanto en la orientación de las moléculas como en sus posiciones. Los
colestéricos poseen orden en orientación como los nemáticos, pero además las moléculas tienen gran
actividad óptica, lo que hace que presenten una estructura helicoidal espontánea con un gran poder
rotatorio de la luz, las moléculas se orientan en direcciones diferentes en cada capa.
Figura 26
En la Figura 27 se considera un ejemplo donde el cristal líquido usado es colestérico. Cuando una onda de
luz polarizada linealmente entra a la región del cristal esta va girando el plano de vibración del campo
eléctrico hasta que lograr un giro de 90o a la salida. En el ejemplo, el objetivo es desplegar información
numérica. Para esto las capas de cristal líquido están sanduchadas entre dos electrodos de cristal
configurados con siete electrodos negros que puedan ser sometidos por separado a diferentes diferencias
de potencial eléctrico. Al pasar la luz a través del polarizador 1 se polariza en dirección vertical, cuando no
se aplica ninguna corriente a los electrodos, la fase cristalina líquida logra rotar en 90± el plano de
polarización de la luz incidente y por tanto logra atravesar el polarizador 2, por lo que se logra visualizar
uno de los siete segmentos. Cuando la corriente se aplica a los electrodos, las capas de cristal líquido
pierde el patrón de espiral, por lo que no logra rotar el plano de polarización de la luz y por ende tampoco
ésta podrá atravesar el segundo polarizador. De esta forma generando diferencias de potencial
controladas en los diferentes segmentos de los electrodos se podrán visualizar los números de 0 al 9.
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Figura 27
Aplicación 3: Las gafas 3D
La polarización también se utiliza en las películas de cine 3D, Figura 28. Para esto se usan o gafas para
trabajar con luz polarizada linealmente o para trabajar con luz polarizada circularmente.
Figura 28
En el primer caso, un filtro de las gafas tiene su polarizador con su eje de transmisión a 45º y el otro a
135º (o sea -45º). A las gafas llegan dos imágenes “iguales” con diferente perspectiva y diferente estado
de polarización: una a 45º y otra a 135º. Con base en esto la primera entra por el polarizador cuyo eje está
a 45º y la otra por el otro polarizador. En definitiva una imagen entra por un ojo y la otra por el otro: el
cerebro interpreta estas dos imágenes como 3D.
En ambientes donde el espectador se mueve, como en simuladores y el mismo cine, es mejor utilizar la
polarización circular. Esto permite la separación de las imágenes sin que se vea afectada por la orientación
del observador. En este caso antes de los polarizadores lineales de las gafas se encuentra un retardador
de
λ
. Las imágenes que llegan a las gafas, una llega con polarización circular dextrógira y la otra con
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polarización circular levógira; al atravesar los retardadores la polarización se convierte en lineal a 45º para
una imagen y a 135º para la otra. Luego atraviesan los polarizadores que tienen sus ejes de transmisión a
45º y 135º: por el de 45º pasa la que queda polarizada a 45º y por la de 135º la otra. En definitiva una
imagen entra por un ojo y la otra por el otro: el cerebro interpreta estas dos imágenes como 3D.
Es importante aclarar que el efecto 3D sólo funciona proyectando la imagen sobre una pantalla metálica que
mantiene la polarización de los proyectores, mientras que la reflexión sobre una pantalla de proyección
normal anularía el efecto.
Aplicación 4: Fotoelasticidad
En los medios anisotrópicos como los cristales se presenta birrefringencia y según la ecuación [7]
δ=
A
2π
 n ex - n or  d
λo
[7]
Δn = n ex - n or se le denomina birrefringencia del cristal. Si incide luz blanca cada color (cada frecuencia)
que la compone se desfasará diferente, ya que los índices de refracción serán diferentes para cada uno de
ellos (dispersión cromática). Esto sucede en general con los medios transparentes que tienen alguna
anisotropía y que aprovechado este hecho y el fenómeno de interferencia de la luz (que será tratado en el
próximo capítulo) presentarán los denominados colores de interferencia al ser iluminados con luz blanca;
aplicaciones de esto, son las técnicas de fotoelasticidad y la microscopía de polarización. En el módulo #
17 sobre interferencia se profundizará en esto.
Video:
Observar el video que ilustra los colores de interferencia por polarización:
http://ludifisica.medellin.unal.edu.co/recursos/videos/videos_experimentos_fisica/optica_ondulatoria/polariz
acion_colores_interferencia.html
FIN.
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