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Luz Polarizada
A. Patiño
luz Polarizada
Alberto Patiño Vanegas
Grupo de Óptica Moderna
Universidad de Pamplona
2007
Luz Polarizada
Contenido
1. Representación de estados de
polarización.
2. Polarizadores.
3. Representación de dispositivos
polarizadores.
A. Patiño
Luz Polarizada
A. Patiño
1.Representación de estados de
polarización
Concepto de Polarización
Polarización de
cualquier tipo de onda
Comportamiento en el tiempo de
cualquiera de los vectores de campo
asociado a esa onda observado en un
punto fijo del espacio.
Para las ondas de luz
E, D, H, B
Vector de campo
eléctrico E
Describen completamente su naturaleza
electromagnética
Se escoge para definir el estado de
polarización de las ondas de luz .
Cuando la luz interactúa con la materia, la fuerza sobre los electrones por el
campo eléctrico es mucho más grande que la ejercida por el campo
magnético.
Luz Polarizada
A. Patiño
Polarización de una onda luminosa
monocromática plana
Consideremos una onda plana propagándose en la dirección del eje z
de un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal y a mano derecha
xyz. El campo eléctrico se puede considerar separadamente como la
suma de dos campos perpendiculares que se propagan en la dirección
normal al plano xy que los contiene:
r
E ( z , t ) = E x ( z , t )eˆx + E y ( z , t )eˆ y
E x = Ax cos( wt − kz − ϕ x )
E y = Ay cos( wt − kz − ϕ y )
Cambiando el origen del tiempo se introduce un retardo de fase ϕ de
Ey respecto a Ex :
E x = Ax cos( wt − kz )
ϕ = ϕ y −ϕx
E y = Ay cos( wt − kz − ϕ )
Luz Polarizada
A. Patiño
...Elipse de polarización
Escogiendo un punto cualquiera del espacio, tenemos:
E x (t ) = Ax cos wt
E y (t ) = Ay cos( wt − ϕ )
Que son las ecuaciones paramétricas de la elipse:
E y2
E
2 cos ϕ
+ 2 −
E x E y = sen 2ϕ
A
Ay
Ax Ay
2
x
2
x
Elipse de polarización
Luz Polarizada
A. Patiño
...Polarización elíptica
La punta del vector de campo eléctrico de la onda de luz en un punto
fijo del espacio, rota periódicamente en el plano xy trazando una
elipse.
La ecuación de la elipse muestra que la polarización elíptica es el
estado más general de polarización de cualquier campo óptico
estrictamente monocromático.
Completa especificación de la polarización elíptica
1.
La orientación, forma y sentido de rotación de la elipse.
2.
El tamaño de la elipse.
Luz Polarizada
A. Patiño
Parámetros geométricos que
describen la elipse de polarización
y
• El azimut ψ.
Y
a
b
X
ψ
Ay
η
1
1
− π ≤ψ ≤ π
2
2
• La elipticidad e.
e=
x
b
a
−1 ≤ e ≤ 1
Ax
• Polarización derecha . si rota en el sentido del reloj cuando se mira en
a
dirección contraria a la propagación.
e=−
b
• Polarización izquierda . si rota en el sentido contrario del reloj.
• La amplitud A .
1
2 2
A = (a 2 + b )
e=
a
b
Luz Polarizada
A. Patiño
Relación entre ( A x , A y , ϕ ) y ( a , b ,ψ )
xy
Rotación ψ
• Amplitud invariante ante la rotación
XY
I ≡ A2 = Ax2 + Ay2 = a 2 + b 2
(A)
E X2 E Y2
• Reemplazando en la ecuación canónica de la elipse
+ 2 =1
2
a
b
las ecuaciones de transformación
⎡ E X ⎤ ⎡cosψ senψ ⎤ ⎡ E x ⎤
⎢ E ⎥ = ⎢− senψ cosψ ⎥ ⎢ E ⎥
⎦⎣ y ⎦
⎣ Y⎦ ⎣
cos2 ψ sen2ψ 2
1 1
sen2ψ cos2 ψ 2
2
2
)
+
ϕ
(
+
)
E
+
2
E
E
sen
ϕ
cos
ψ
sen
ψ
(
− 2 ) = sen2ϕ
sen ϕ ( 2 +
E
sen
x
y
x y
2
2
2
2
a
b
a b
a
b
2
Comparando con la elipse de polarización:
1
1
cos ϕ
2
2
2
E
+
E
+
2
E
E
(
−
)
=
sen
ϕ
x
y
x
y
2
2
Ax
Ay
Ax A y
Luz Polarizada
A. Patiño
...Relación entre ( A x , A y , ϕ ) y ( a , b ,ψ )
cos 2 ψ sen 2ψ
1
)= 2
sen ϕ (
+
2
2
a
b
Ax
(B)
sen 2ψ cos 2 ψ
1
sen ϕ (
)
+
=
a2
b2
A y2
(C)
2
2
sen 2ϕ cos ψ sen ψ (
2 2
a
b
sen 2ϕ = 2 2
Ax Ay
(B) + (C)
Dividiendo (1) por
Donde
Como
tan γ =
Ay
1
1
cos ϕ
−
=
−
)
a2 b2
Ax A y
(D)
(1)
sen(2η ) = sen(2γ ) senϕ
I
2
tan η = ±
Ax
sen(2γ ) > 0
b
a
(3)
η
(
ángulo de elipticidad)
η da el sentido de recorrido de ϕ
(2)
Luz Polarizada
A. Patiño
...Relación entre ( Ax , Ay , ϕ ) y
(1) en (D)
Utilizando (A) y (3)
(5) en (4)
sen(2ψ ) =
2 Ax Ay cos ϕ
a −b
2
2
(a, b,ψ )
(4)
a 2 − b 2 = ( I 2 − 4 Ax2 Ay2 sen 2ϕ )1/ 2
sen(2ψ ) =
2 Ax Ay cos ϕ
( I 2 − 4 Ax2 Ay2 sen 2φ )1/ 2
Igualmente haciendo (B) - (C)
cos(2ψ ) =
Ax2 − Ay2
( I 2 − 4 Ax2 Ay2 sen 2φ )1/ 2
(5)
Luz Polarizada
A. Patiño
...Relación entre ( Ax , Ay , ϕ ) y
(a, b,ψ )
CONCUSIÓN:
a2 =
b2 =
I 2 + (I 2 − 4 Ax2 Ay2 sen2ϕ )1/ 2
2
− I 2 + (I 2 − 4 Ax2 Ay2 sen2ϕ )1/ 2
tan(2ψ ) =
2
2 Ax Ay cos ϕ
e = tan η = ±
Ax2 − Ay2
b
a
Ejes propios de la elipse de polarización conociendo las amplitudes de las componentes del campo eléctrico y el desfase relativo entre ellas.
Inclinación de la elipse de polarización conociendo las amplitudes de las componentes del campo eléctrico y el desfase relativo entre ellas.
Elipticidad conociendo los ejes propios de la elipse
Luz Polarizada
A. Patiño
...Casos particulares
POLARIZACIÓN LINEAL
Caso
Ax
Ay = 0
⎧0
ϕ =⎨
⎩π
⎧0
ϕ =⎨
⎩π
Ax = Ay
Ecuación
Ey = 0
Ex = ±
Ay
Amplitud
a = Ax
A = Ax
Ey A =
Ax
Ex = ± E y
Ejes
propios
b=0
A +A
2
x
A = 2 Ax
2
y
a = Ax
b=0
a=I
b=0
Elipticidad
e=0
Inclinación
⎧0
ψ =⎨
⎩π / 2
1
2
e=0
ψ = ± tan −1
e=0
ψ =±
La polarización lineal es un caso particular de la polarización elíptica
cuando la elipticidad es cero.
2 Ax Ay
Ax2 − Ay2
π
4
Luz Polarizada
A. Patiño
...Casos particulares
POLARIZACIÓN CIRCULAR
Caso
ϕ=
Ecuación
Amplitud
Ejes
propios
π
2
Ax = Ay = A
ϕ =−
E +E = A
2
x
2
y
2
E x2 + E y2 = A2
e =1
2A
a=b= A
Derecha
2A
a=b= A
e = −1
π
2
Ax = Ay = A
Elipticidad
Izquierda
Inclinación
indefinida
Indefinida
La polarización circular es un caso particular de la polarización elíptica
cuando la elipticidad es ± 1
Luz Polarizada
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Representación de estados de
polarización
A. ESFERA DE POINCARE
1892, H. Poincaré propuso la tripleta:
I
ψ
η
z
Intensidad de la onda
V
Angulo de inclinación de la elipse
Angulo de elipticidad
I=A +A
) )
ψ = (ex , e X )
2
x
2
y
b
tan η = ±
a
2η
Q
x
2ψ
U
y
Luz Polarizada
A. Patiño
...Esfera de poincaré
Cada punto (Q,U,V) sobre la esfera representa un estado de polarización
de una onda de intensidad I dada por:
I 2 = Q2 + U 2 + V 2
Donde las coordenadas cartesianas del punto (Q,U,V) sobre la esfera
de azimut 2ψ y latitud 2η son:
Q = I cos(2η ) cos(2ψ )
U = I cos(2η ) sen(2ψ )
V = Isen(2ψ )
donde,
sen(2η ) =
2 Ax Ay senϕ
I
Luz Polarizada
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...casos particulares
Se considera la intensidad normalizada:
Caso
Elipticidad
2η = 0
2η = ±
π
π
2
e = ±1
2
0 < 2η <
−
e=0
π
2
< 2η < 0
0 < e <1
−1 < e < 0
I2 =1
Vector de
Poincaré
⎡cos( 2ψ )⎤
⎢cos( 2ψ )⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎡0⎤
⎢0⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ ± 1⎥⎦
⎡cos(2η ) cos(2ψ )⎤
⎢ cos(2η ) sen(2ψ ) ⎥
⎥
⎢
⎥⎦
⎢⎣
sen(2ψ
Estado
Polarización lineal a
un ángulo
ψ
Polarización circular
(+) derecha
(-) izquierda
Polarización elíptica
(+) derecha
(-) izquierda
Luz Polarizada
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casos particulares (esfera Poincaré)
z
y
x
Puntos
diametralmente
opuestos representan
pares de
polarizaciones
ortogonales
Luz Polarizada
A. Patiño
B.Parámetros de Stokes
En 1852 G. G. Stokes introduce los parámetros ( I, Q, U, V ) para caracterizar
el estado de polarización de una onda.
Q = I cos(2η ) cos(2ψ ) = Ax2 − Ay2
U = I cos(2η ) sen(2ψ ) = 2 Ax Ay cos ϕ
V = Isen(2ψ ) = 2 Ax Ay senϕ
Determinación de
los parámetros de
Stokes.
Los parámetros se aplican igualmente a la luz polarizada, parcialmente
polarizada y no polarizada. Proporciona el método más sencillo de
superponer dos haces incoherentes.
⎡I ⎤
⎢Q ⎥
⎢ ⎥
⎢U ⎥
⎢ ⎥
⎣V ⎦
• para un haz completamente polarizado
I 2 = Q2 + U 2 + V 2
• Para un haz parcialmente polarizado
I 2 > Q2 + U 2 + V 2
(Q 2 + U 2 + V 2 )1/ 2
I
Grado de polarización
Luz Polarizada
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...Parámetros de Stokes(algunos casos)
⎡1 ⎤
⎢0 ⎥
⎢ ⎥
⎢0 ⎥
⎢ ⎥
⎣0 ⎦
⎡1 ⎤
⎢0 ⎥
⎢ ⎥
⎢1 ⎥
⎢ ⎥
⎣0 ⎦
⎡1 ⎤
⎢0 ⎥
⎢ ⎥
⎢0 ⎥
⎢ ⎥
⎣−1⎦
No polarizado
Polarización
lineal a 45º
⎡1 ⎤
⎢1 ⎥
⎢ ⎥ Polarización
⎢0⎥ lineal
⎢ ⎥ horizontal
⎣0 ⎦
⎡1⎤
⎢− 1⎥
⎢ ⎥
⎢0⎥
⎢ ⎥
⎣0⎦
⎡1⎤
⎢0⎥
⎢ ⎥
⎢− 1⎥
⎢ ⎥
⎣0⎦
⎡1 ⎤
⎢0 ⎥
⎢ ⎥
⎢0 ⎥
⎢ ⎥
⎣1 ⎦
Polarización
lineal a -45º
Polarización
lineal vertical
Polarización
circular
derecha
Los valores de Q, U, V comprendidos en [-1,1].
Polarización
circular
izquierda
Q preferencia por polarización horizontal.
U preferencia por polarización a +45º.
V preferencia por polarización circular.
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A. Patiño
...Parámetros de Stokes(aplicaciones)
Combinación de dos haces incoherentes
⎡1 ⎤ ⎡3 ⎤
⎡ 1 ⎤
⎢1 ⎥ ⎢0⎥
⎢1 / 4 ⎥
⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = 4⎢
⎥
⎢0 ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥
3
/
4
0
3
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣
⎦
lineal
horizontal
• Grado de polarización del 70%.
Resultado
Lineal
vertical
• V es cercano a +1, aproximación
polarización circular y derecha.
• U positivo, La elipse es más
horizontal que vertical.
circular
derecha
⎡1 ⎤
⎡1⎤ ⎡ 1 ⎤
⎢0 ⎥
⎢1⎥ ⎢− 1⎥
⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ = 2⎢ ⎥
⎢0 ⎥
⎢0 ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0
0
⎣0 ⎦
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Lineal
horizontal
• Intensidad 4.
• Haz no polarizado.
Resultado
• si fuesen coherentes con la
misma fase, resultaría un haz
polarizado lineal a 45º.
Los vectores de Stokes solo pueden sumarse
cuando los haces son incoherentes.
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c.Vectores de Jones
Podemos escribir las componentes perpendiculares del campo eléctrico
así:
E x = Re{Λ x exp( wt )}
Donde,
E x = Re{Λ y exp( wt )}
Λ x = Ax exp(iϕ x )
Λ y = Ay exp(iϕ y )
Envolventes
complejas
El estado de polarización de una onda se puede determinar a través
de las envolventes complejas:
⎡Λ x ⎤ ⎡ Ax ⎤
J = ⎢ ⎥ = ⎢ iϕ ⎥
⎣Λ y ⎦ ⎢⎣ Ay e ⎥⎦
donde
ϕ = ϕy −ϕx
Vector de Jones
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...Vectores de Jones
Dado el vector de Jones
⎡Λ x ⎤
J =⎢ ⎥
⎣Λ y ⎦
de un estado de polarización,
Se puede determinar de la onda:
2
I = Λx + Λy
• Intensidad total
2
• Estado de polarización
comparando las magnitudes de los elementos complejos del vector y
analizando el valor y signo de la fase del segundo elemento del vector.
• Ejes propios
• Orientación
tan(2ψ ) =
2 Re{Λ x Λ y }
2
Λx − Λy
2
[
I + I − 4Λ (imagΛ)
a =
2
2
2
2
[
2
x
]
2 1/ 2
− I 2 + I 2 − 4Λ2x (imagΛ)
2
b =
2
]
2 1/ 2
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A. Patiño
...casos particulares(vectores Jones)
Se considera la intensidad normalizada:
Vector de Jones
I2 =1
Estado
⎡cosψ ⎤
⎢ senψ ⎥
⎣
⎦
Polarización lineal a un ángulo
1 ⎤
1 ⎡
⎢ π⎥
2 ⎢e ± i 2 ⎥
⎣
⎦
Polarización circular
(+) derecha
(-) izquierda
ψ
Luz Polarizada
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Polarizaciones ortogonales
Sean
⎡ Λ1 x ⎤
J1 = ⎢ ⎥
⎣ Λ1 y ⎦
⎡Λ 2 x ⎤
J2 = ⎢
⎥
Λ
⎣ 2y ⎦
dos vectores de Jones que representan estados de polarización con
intensidad normalizada.
Estos estados de polarización son ortogonales si el producto interno entre
ellos es cero.
(J1 , J 2 ) = Λ1x Λ*2 x + Λ1 y Λ*2 y = 0
ejemplo:
1
J1 =
2
1
J2 =
2
⎡1 ⎤
⎢ π⎥
⎢e i 2 ⎥
⎣ ⎦
⎡ 1 ⎤
⎢ π⎥
⎢e −i 2 ⎥
⎣
⎦
Condición de
ortonormalidad
Son ortogonales
Luz Polarizada
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Expansión de una polarización
arbitraria en polarizaciones
ortogonales
J→
Polarización arbitraria
J1 , J 2 →
Polarizaciones ortogonales
J = α1J1 + α 2 J 2
Donde,
α1 = ( J , J1 )
y
Expansión de J
α2 = (J , J2 )
ejemplo:
1
1 ⎤
⎡ cos ψ ⎤
1 ⎡ ⎤
1 ⎡
iψ
− iψ
⎢ π⎥
⎢ π ⎥+e
⎢ sen ψ ⎥ = e
i
2 ⎢e 2 ⎥
2 ⎢e −i 2 ⎥
⎣
⎦
⎦
⎣
⎣ ⎦
Polarización lineal
como la suma de dos
polarizaciones
circulares
Luz Polarizada
A. Patiño
2. Polarizadores
Producción
Luz polarizada
Polarizador
1.
Producir luz polarizada ordinaria.
2.
Dividirla en dos componentes
polarizadas ortogonales.
3.
Eliminar una de las componente.
Artefacto que divide la luz no polarizada en dos
componentes y descarta una (divisor y selector)
•Absorción
•Reflexión
•Refracción
•Dispersión
• Estructural interna
• Oblicuidad
• Armadura
• Visión del haz incidente
Métodos para resolver
un haz en componentes
polarizadas
Asimetrías claves para el
proceso de polarización.
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A. Polarizadores dicroicos
(Asimetría de absorción)
• Polarizador de rejilla de alambre
Ex
Ey
Ey produce corriente es los alambres que
absorben su energía.
Ex
Ex no produce corrientes y atraviesa
libremente.
Dificultad:
Solución:
Diámetro y separación de
los alambres deben ser
pequeños comparados con
la longitud de onda de luz
G.R. Bird y M. Parrish (1963)
evaporaron metal en los canales
de una red de difracción
transparente de 50.000 líneas/pul
Luz Polarizada
A. Patiño
...Polarizadores dicroicos
• La lamina H (E. H. Land 1938)
Es una versión química de la rejilla de alambre. Moléculas polimerías
largas y delgadas que contienen muchos átomos de yodo se alinean
paralelamente una a otra y, debido a la conductividad de los átomos de
yodo, se absorbe fuertemente la componente de la vibración eléctrica
paralela a la la alineación. Y la perpendicular pasa a través de ella con
poca absorción.
Especificaciones:
Polaroid
Condición ideal
transmite el 50% de la luz incidente
HN-38
transmite alrededor del 38% de la luz incidente
HN-32
transmite alrededor del 32% de la luz incidente
HN-22
transmite alrededor del 22% de la luz incidente
Luz Polarizada
A. Patiño
...Polarizadores dicroicos
. . . La lamina H
Rendimiento: Se mide por la fracción de la componente deseada (k1) y
no deseada (k2) que se transmite. Estas fracciones depende de la
longitud de onda de la luz y difieren por casi seis ordenes de magnitud.
• La lamina J (E. H. Land 1928)
Primer polarizador de lamina en el mundo. Utiliza cristales reales
(millones). El cristal individual es dicroico, absorbe la luz en diferentes
grados dependiendo de la dirección de vibración. Land escogió lo
cristales de Herapatita por manifestar gran dicroísmo. Una larga hoja de
plástico que contiene millones de cristales de herapatita alineados
mecánicamente, actúa como un solo cristal de gran longitud y anchura y
de poco espesor (0.0005 pulgadas) y proporciona una buena relación
entre la gran absorción de la componente que no se desea y la alta
transmisión de la componente que se desea.
Defecto: cristales de diámetro mayor que una longitud de onda de luz,
disipaban la luz. Impedimento para cierta aplicaciones.
Luz Polarizada
A. Patiño
...Polarizadores dicroicos
• La lamina K (Land y H.G. Rogers 1939)
Esta hecha de alcohol polivinilico como la H. Pero, en lugar de añadir los
átomos a la hoja, se le quitan. Utilizando cloruro de hidrogeno como
catalizador y un horno a alta temperatura se le quitan 2N átomos de
hidrogeno y N átomos de oxigeno, dejando un tipo diferente de molécula
polímera llamada polivinileno. Para alinearlas se estira en una sola
dirección.
Es superior a la lámina H en que puede aguantar una alta temperatura sin
descomponerse.
• La lamina HR
Se hace combinando las técnicas utilizadas para hacer la lamina K y la H.
Es superior en cuanto permite gran absorción y resulta un buen
polarizador cerca del infrarrojo.
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B. Polarizadores de reflexión
(Asimetría de oblicuidad)
• Reflexión en la frontera plana entre dos dieléctricos (Malus 1808)
Se examina la reflexión y refracción de una onda monocromática plana
de polarización arbitraria incidiendo en la frontera plana entre dos
dieléctricos (lineales, homogéneos, isotópicos, no dispersivos y no
magnéticos) de índices de refracción n1 y n2.
k3
x
y
θ3
y
k2
y
θ1
x
x
k1
n1
n2
θ2
z
Luz Polarizada
A. Patiño
...Polarizadores de reflexión
•... Reflexión en la frontera plana entre dos dieléctricos
De las condiciones de frontera, las relaciones entre las magnitudes del
campo eléctrico y el magnético y las leyes de reflexión y de Snell, se
obtienen las relaciones entre las componentes del campo eléctrico de
las tres ondas (incidente, reflejada y transmitida).
Los cálculos algebraicos se pueden reducir observado que los modos
normales son ondas linealmente polarizadas a lo largo del eje x y del
eje y.
S
modo x-polarizado
Polarización TE
P
modo y-polarizado
Polarización TM
t x E1x = E2 x
rx E1x = E3 x
tx , t y
Reflectancia de amplitud
t y E1 y = E2 y
ry E1 y = E3 y
rx , ry
Transmitancía de amplitud
Luz Polarizada
A. Patiño
...Polarizadores de reflexión
•... Reflexión en la frontera plana entre dos dieléctricos
Aplicando las condiciones de frontera a las polarizaciones TE y TM
separadamente resulta:
n1 cosθ1 − n2 cosθ 2
rx =
n1 cosθ1 + n2 cosθ 2
t x = 1 + rx
n2 cosθ1 − n1 cosθ 2
ry =
n2 cosθ1 + n1 cosθ 2
t y = 1 − ry
Ecuaciones de Fresnel
(Polarización TE)
Ecuaciones de Fresnel
(Polarización TM)
Luz Polarizada
A. Patiño
...Polarizadores de reflexión
• Análisis de la polarización TM (ry)
El coeficiente de reflexión es real. Decrece desde un valor positivo a
una incidencia normal y desvanece hasta un ángulo θ1 = θ B
n2 − n1
θ1 = 0 ⇒ ry =
n2 + n1
n2
θ1 = θ B = tan
⇒ ry = 0
n1
−1
Angulo de Brewster
o de polarización
Positivo (incidencia normal)
La componente polarizada TM no se
refleja. La onda reflejada esta
polarizada a lo largo del eje x. La
onda transmitida también esta
polarizada pero en un grado menor
Los polarizadores de reflexión pueden usarse en cualquier intervalo del
espectro, pero no cumplen adecuadamente ya que los valores de k1 no son
suficientemente grandes y los de k2 no son suficientemente pequeños.
Luz Polarizada
A. Patiño
...Polarizadores de reflexión
• ejemplo
Un polarizador de reflexión puede ser una placa de vidrio montada
oblicuamente en forma adecuada en un haz de luz no polarizado. Cuando
se monta la placa perpendicular al haz no hay polarización; todas las
componentes de la luz se transmiten con igual eficiencia (cerca 92%) y el
haz transmitido esta no polarizado. Cerca del 8% se refleja y también
esta no polarizado.
Cuando la placa esta inclinada de modo que la asimetría del proceso de
reflexión queda destruida, el haz transmitido queda parcialmente
polarizado y el haz reflejado aun más. Las formas de polarización de los
dos haces son ortogonales.
Caso particular: Cuando un haz de luz incide a 56.3º de la normal en una
placa de vidrio cuyo índice de refracción es de 1.5, la placa divide el haz
en dos componentes una reflejada y la otra transmitida, vibrando,
respectivamente, perpendicular y paralela al plano determinado por los
tres haces. El haz reflejado tiene una polarización del 100%. El haz
transmitido también se polariza pero en un grado menor.
Luz Polarizada
A. Patiño
C. Polarizadores de doble refracción
(Asimetría de refracción)
La polarización se descubrió con aparatos que poseían asimetría de
refracción por Huygens (1690) con el estudio del cristal de calcita.
Principales hechos de la óptica de cristales:
• cuando se dirige un haz de luz a un cristal de doble refracción uniaxial, se
halla generalmente que en el interior del cristal hay dos haces que son
invariables en su carácter.
• Generalmente uno de los haces tiene una dirección de energía oblicua
que perpendicular a los frentes de onda.
• los dos haces tienen diferentes velocidades de propagación.
• Casi siempre diferentes direcciones de propagación.
• cada haz esta 100% polarizado.
• Las dos formas de polarización son ortogonales.
Luz Polarizada
A. Patiño
...Polarizadores de doble refracción
Las intensidades y las fases pueden variar pero las direcciones de vibración
son invariables. Los dos haces se reducen a uno cuando la luz atraviesa el
cristal en la dirección única llamada eje óptico.
La velocidad normal de un haz refractado depende solamente solamente de
la dirección de vibración del haz. No de la dirección perpendicular a la onda
ni de la dirección del rayo.
Uno de los haces refractados dentro de un cristal uniaxial siempre tiene la
misma velocidad (Haz ordinario) y al índice de refracción en esa dirección
se le llama indice ordinario no. La otra velocidad normal varia, pues
depende de la vibración perpendicular de vibración y al mayor valor del
índice de refracción en esa dirección se le llama índice extraordinario ne. A
estos índices se les llama índices principales mayor y menor. A la diferencia
se le llama birrefringencia:
∆n = ne − no
Luz Polarizada
A. Patiño
...Polarizador de Glan Foucault
Problema:
Cualquier superficie lisa de calcita es un polarizador. Dentro del cristal viajan en
direcciones ligeramente diferentes y emergen en lugares apenas distantes uno del
otro con direcciones de vibración mutuamente perpendiculares.
A menos que el haz incidente sea muy delgado o que el cristal sea muy grade, los
dos haces que emergen pueden superponerse bastante. En la región de
superposición no hay polarización ya que las dos formas ortogonales se suman sin
ninguna relación de fase sistemática.
Solución: Polarizador de Glan y Foulcault
Se utilizan dos piezas de calcita, cada una se divide en una sección triangular (forma
de prisma) con un ángulo ápice de aproximadamente 38.5º. Cada uno se ha cortado
de modo que el eje geométrico del prisma sea paralelo al eje óptico. Las dos piezas
se unen de modo que solo quede una delgadísima capa de aire entre las respectivas
hipotenusas. Cuando un haz delgado de luz incide normalmente a la cara del prisma,
uno de los dos haces transmitidos se refleja y se absorbe en una cara pintada de
negro. El otro continua para incidir en el otro prisma emergiendo paralelo a la
dirección inicial con grado de polarización prácticamente el 100%
Luz Polarizada
A. Patiño
...Polarizador de Glan-Thompson
Trabaja adecuadamente en una escala espectral muy amplia ya que la
calcita es transparente desde cerca de 2300A en el ultravioleta a cerca de 5
micrones en el infrarrojo. Pero, solo trabaja adecuadamente cuando el haz
incidente choca perpendicularmente con la cara de entrada y no tiene rayos
con ángulos mayores de 7º.
Polarizador de Glan – Thompson
Se consigue pegando los dos prismas del polarizador de Glan –
Foucault eliminando la pequeña capa de aire. Tiene una aceptancia que
excede los 7º, pero la pegadura que se utiliza es generalmente opaca a
la luz ultravioleta.
Luz Polarizada
A. Patiño
D. Retardadores
Son convertidores de forma de polarización.
Proceso: se divide el haz incidente en dos componentes, cambia la fase
del uno en relación con la del otro y los vuelve a combinar.
Retardador típico: haz incidente polarizado linealmente horizontal
sobre una placa de calcita con su eje óptico paralelo al plano de la
placa.
Retardancia: diferencia de fase relativa que sufren los dos haces al
atravesar la calcita.
La retardancia de una placa depende de su birrefringencia.
δ=
d∆n
λ
∆n
d
λ
birrefringencia
Espesor de la placa
Longitud de onda de la luz
Luz Polarizada
A. Patiño
3. Descripción de dispositivos de
polarización
Propósito: conocer dos cosas de la luz que emerge de uno o más
polarizadores o retardadores: la forma de polarización y la intensidad
relativa a la del haz incidente.
Características de un polarizador
• Trasmitancias principales: Relación entre la intensidad del haz
emergente respecto al incidente.
k1
Trasmitancia máxima al situar de cierta forma el polarizador en un
haz polarizado linealmente (eje de transmisión).
k2
Trasmitancia mínima al situar de cierta forma el polarizador en un
haz polarizado linealmente (eje de absorción).
Caso ideal
k1 = 1
k2 = 0
Los ejes de transmisión y absorción son ortogonales.
Las trasmitancias principales para un polarizador típico varían ligeramente
con la longitud de onda.
Luz Polarizada
A. Patiño
Dispositivos de polarización
• Orientación de un polarizador lineal se .indica por su acimut (ángulo θ)
de su eje de transmisión medido a partir de un eje de referencia escogido.
Ley de Malus (1908)
Relación para encontrar la trasmitancia de intensidad T de un polarizador
al colocarlo en un haz polarizado linealmente de amplitud Ai formando un
ángulo θ con su eje de transmisión.
k1
• Tramitancia de Amplitud
At = Ai k1 cosθ + Ai k 2 senθ
θ
k2
Polarizador
Haz incidente
Polarizado lineal
• Tramitancia de intensidad
T = At2 = Ai2 k1 cos 2 θ + Ai2 k 2 sen 2θ
Luz Polarizada
A. Patiño
Dispositivos de polarización
•
vectores característicos: son las formas de polarización del haz
incidente que no se alteran al insertar el polarizador en el haz con una
cierta orientación. Para cualquier polarizador pueden hallarse dos formas
de polarización con esta propiedad. El vector propio asociado a la
tramitancia característica mayor se le llama vector característico mayor y
al otro vector característico menor.
Luz Polarizada
A. Patiño
A. Esfera de poincarè de
dispositivos de polarización
• La
esfera de Poincaré es un natural para los retardadores.
Proporciona un método rápido para hallar el efecto de cualquier
retardador sobre cualquier haz monocromático de luz completamente
polarizada.
El efecto se halla marcando el punto P que indica la forma de
polarización del haz incidente y el punto R que designa el vector
característico rápido del retardador y trazando el arco apropiado. El eje
del arco es el radio vector que parte del centro de la esfera al punto R.
El punto inicial del arco es el punto P. La longitud del arco en grados es
la retardancia y la respuesta es el punto P´’.
Luz Polarizada
A. Patiño
Esfera de poincarè de dispositivos
de polarización
Ejemplo. Efecto de un retardador de media onda (90º)
Haz emergente
elíptico a izquierda
p’
retardancia
δ
P
45º
R
Haz incidente lineal
45º
Vector característico
principal lineal a
22.5º
Luz Polarizada
A. Patiño
B. Matrices de Jones de dispositivos
de polarización
Onda plana
polarización arbitraria
⎡ Λ1 x ⎤
⎢Λ ⎥
⎣ 1y ⎦
SISTEMA OPTICO
LINEAL
⎡T11T12 ⎤
⎢T T ⎥
⎣ 21 22 ⎦
⎡T11 T12 ⎤ ⎡Λ1x ⎤ ⎡Λ 2 x ⎤
⎢T T ⎥ ⎢Λ ⎥ = ⎢Λ ⎥
⎣ 21 22 ⎦ ⎣ 1 y ⎦ ⎣ 2 y ⎦
Onda plana
polarización alterada
⎡Λ 2 x ⎤
⎢Λ ⎥
⎣ 2y ⎦
Relación lineal que
todo dispositivo de
polarización óptica
debe cumplir
TJ 1 = J 2
Matriz de Jones que describe el sistema óptico. Determina el cambio en
la intensidad y en el estado de polarización de la onda incidente.
Luz Polarizada
A. Patiño
Matrices de Jones
• Polarizador lineal
⎡0 1 0 ⎤
⎢ 0 0 1⎥
⎣
⎦
ejemplos
⎡0
⎢0
⎣
0⎤
1⎥⎦
⎡Λ x ⎤
⎡Λx ⎤
⎢Λ ⎥ = ⎢ ⎥
⎣0 ⎦
⎣ y⎦
Polarizada a lo largo
del eje x
⎡1
⎢0
⎣
0⎤
0⎥⎦
⎡Λ x ⎤
⎡Λx ⎤
⎢Λ ⎥ = ⎢ ⎥
⎣0 ⎦
⎣ y⎦
Polarizada a lo largo
del eje y
Luz Polarizada
A. Patiño
...Matrices de Jones
• Retardador de onda
⎡1 0 ⎤
⎢ 0 iϕ ⎥
⎣ e ⎦
• retardador de cuarto de onda
⎡1
⎢0
⎣
0 ⎤
π⎥
−i
e 2 ⎥⎦
⎡1⎤
=
⎢1⎥
⎣⎦
⎡1 ⎤
⎢ π⎥
−i
⎢e 2 ⎥
⎣
⎦
• retardador media de onda
⎡1 0 ⎤ ⎡1⎤
⎢0 −1⎥ ⎢1⎥ =
⎦⎣ ⎦
⎣
⎡ 1 ⎤
⎢ − 1⎥
⎣ ⎦
ϕ =−
π
2
⎡1
⎢0
⎣
⎤⎡ 1
π ⎥⎢
π
−i
i
e 2 ⎥⎦ ⎢⎣ e 2
0
⎤
⎥
⎥
⎦
⎡1⎤
= ⎢⎥
⎣1⎦
ϕ = π
⎡1 0 ⎤ ⎡ 1 ⎤
⎢ π ⎥=
⎥
⎢0 −1 ⎢ i 2 ⎥
⎦ ⎣e ⎦
⎣
⎡ 1 ⎤
⎢ π⎥
−i
⎢e 2 ⎥
⎣
⎦
Luz Polarizada
A. Patiño
...Matrices de Jones
• Rotador de polarización
⎡cos θ − senθ ⎤
⎢ senθ cos θ ⎥
⎣
⎦
ejemplo
⎡cos(ψ + θ ) ⎤
⎡cos θ − senθ ⎤ ⎡cos ψ ⎤
=⎢
⎢ senθ cos θ ⎥ ⎢
⎥
⎥
sen
ψ
(
+
)
sen
ψ
θ
⎣
⎦⎣
⎦
⎣
⎦
Luz Polarizada
A. Patiño
...Matrices de Jones
• Dispositivos de polarización en cascada
T1 J 1 = J 2
T2 T1J 1 = J 2
Ejemplo
⎡1
⎢0
⎣
T2 J 2 = J 3
⎤ ⎡1 0 ⎤
π⎥
π⎥
−
i
−i
⎢
2⎥ 0
e 2 ⎥⎦
e ⎦⎣
0
Retardadores de ¼ de onda
con ejes rápidos paralelos
⎡1 0 ⎤
⎢0 −1⎥
⎦
⎣
Retardador de ½ onda
Luz Polarizada
A. Patiño
Transformación de coordenadas
y
y’
x’
θ
x
J, T ⇒
J′, T′ ⇒
⎡ cosθ senθ ⎤
R(θ ) = ⎢
⎥
sen
θ
cos
θ
−
⎣
⎦
En el sistema xy
En el sistema x’y’
Matriz de
Transformación
J ′ = R (θ ) J
J = R(−θ ) J ′
T ′ = R (θ )TR (−θ )
T = R(−θ )T ′R(θ )
Ecuaciones de
Transformación
Luz Polarizada
A. Patiño
...Transformación de coordenadas
Ejemplo:
Polarizador lineal con el eje de transmisión a un ángulo θ con el eje x.
y
θ
⎡1 0⎤
T′ = ⎢
⎥
0
0
⎣
⎦
⎡cosθ
T=⎢
⎣ senθ
x
Polarizador lineal en el eje x’
− senθ ⎤ ⎡1
cosθ ⎥⎦ ⎢⎣0
0⎤ ⎡ cosθ senθ ⎤
0⎥⎦ ⎢⎣− senθ cosθ ⎥⎦
senθ cosθ ⎤
⎡ cos 2 θ
T=⎢
⎥
2
sen
θ
cos
θ
θ
sen
⎦
⎣
Ecuación de
transformación
Polarizador lineal a un
ángulo θ
Luz Polarizada
A. Patiño
Modos normales
Los modos normales de un sistema de polarización son los estados de
polarización que no cambian cuando la onda es transmitida a través del
sistema. Estos estados tienen vectores de Jones que satisfacen:
TJ = µJ
Vectores propios(modos normales)
Valores propios
ƒ Cada sistema de polarización tiene solamente dos modos normales
independientes.
TJ = µ J
TJ = µ J
1
1 1
2
2
2
ƒ si T es Hermitica sus modos normales son ortogonales.
T12 = T21* ⇒ (J 1 , J 2 ) = 0
ƒ Los modos normales pueden ser usados como una base en una
expansión.
J =α J +α J
1 1
2
2
ƒ Si se conocen los valores propios de un dispositivo y la expansión del
estado de polarización de entrada, se puede hallar su respuesta
fácilmente:
TJ = T(α 1 J 1 + α 2 J 2 ) = α 1TJ 1 + α 2 TJ 2 = α 1µ 1 J 1 + α 2µ 2 J 2
Luz Polarizada
A. Patiño
...Modos normales
Ejemplo: Modos normales de un polarizador lineal.
TJ = µJ
Polarizador
lineal
Modos
normales
Valores
propios
• Calculo de los valores propios
( T − µI ) J = 0
det(T − µI ) = 0
µ1 = 0
µ2 = 1
• Calculo de los modos normales
Para
µ0 = 1
Con la condición
de normalización
⎡ Λx ⎤
J =⎢
⎥
Λ
tan
θ
⎣ x
⎦
TJ = 1
JJ * = 1
⎡cosθ ⎤
J1 = ⎢
⎥
sen
θ
⎣
⎦
Λ x = ± cosθ
⎡− cosθ ⎤
J2 = ⎢
⎥
sen
θ
−
⎣
⎦
Modos
normales de un
polarizador
lineal
Luz Polarizada
A. Patiño
C. Matrices de Muller de
dispositivos de polarización
• Calculo de Muller (1930-1940) .
Emplea los vectores de Stokes para representar el haz incidente y
matrices 4x4 para los polarizadores o retardadores.
⎡ ABDE ⎤
⎢ FGHI ⎥
⎢
⎥
⎢ JKLM ⎥
⎢
⎥
⎣ NOPQ ⎦
polarizador
⎡ I1 ⎤ ⎡ I 2 ⎤
⎢Q ⎥ ⎢Q ⎥
⎢ 1⎥ = ⎢ 2 ⎥
⎢U1 ⎥ ⎢U 2 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣V1 ⎦ ⎣V2 ⎦
Haz incidente
Haz emergente
Luz Polarizada
A. Patiño
...Matrices de Muller
ORIGEN DE LAS MATRICES.
Las matrices de Muller tienen una fundamentación fenomenológica, es
decir , provienen del experimento. Se basan en la relación lineal entre los
haces incidentes y emergentes. El experimento muestra que en todas las
circunstancias normales cada propiedad del haz emergente depende de
las primeras potencias de las propiedades del haz incidente. Entonces, se
puede escribir un conjunto de cuatro ecuaciones lineales que relacione las
propiedades de los haces. En cada ecuación intervienen cuatro
constantes. Debido a la relación lineal, se obtienen las mismas 16
constantes independientemente de la forma de polarización del haz
incidente.
Luz Polarizada
A. Patiño
...Matrices de Muller
• EJEMPLO. Efecto de un polarizador
⎡ 0 .5
⎢ 0
⎢
⎢ 0 .5
⎢
⎣ 0
0 − 0 .5 0 ⎤
0
0 0⎥
⎥
0 0 .5 0 ⎥
⎥
0
0 0⎦
Polarizador ideal con eje
de transmisión a –45º
⎡ 2 ⎤
⎡6 ⎤
⎢ 0 ⎥
⎢3 ⎥
⎥
⎢ ⎥ = ⎢
⎢− 2⎥
⎢2⎥
⎥
⎢
⎢ ⎥
1
0
⎦
⎣
⎣ ⎦
Haz incidente
parcialmente polarizado
elípticamente derecho
Haz emergente 100%
polarizado linealmente a
45º
Luz Polarizada
A. Patiño
...Matrices de Muller
• EJEMPLO. Efecto de un retardador
⎡1
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0
0
0
0
1
0
0 ⎤
0 − 1⎥
⎥
1 0 ⎥
⎥
0 0 ⎦
Placa lineal de cuarto de
onda (retardador de 90º)
con eje rápido a 45º
⎡ 6 ⎤
⎡6 ⎤
⎢ − 1⎥
⎢3 ⎥
⎥
⎢ ⎥ = ⎢
⎢ 2 ⎥
⎢2⎥
⎥
⎢
⎢ ⎥
1
3
⎦
⎣
⎣ ⎦
Efecto del retardador:
intercambiar posición y
cambiar signo.
Haz incidente
parcialmente polarizado
elípticamente derecho
Haz emergente
parcialmente polarizado
preferencia polarización
circular
Luz Polarizada
A. Patiño
Importancia de la luz polarizada
ƒLa polarización juega un papel importante en la interacción de la luz con la
materia:
ƒ la cantidad de luz reflejada en la frontera entre dos materiales depende
del estado de polarización de la onda incidente.
ƒ La cantidad de luz absorbida por ciertos materiales es dependiente de la
polarización.
ƒ Luz dispersada desde la materia es generalmente sensible a la
polarización.
ƒ El índice de refracción de materiales anisotrópicos depende de la
polarización.
ƒ El índice de refracción de materiales anisotrópicos depende de la
polarización. Ondas con diferentes polarizaciones atravesaran a diferentes
velocidades y experimentaran diferentes cambios de fase y la elipse de
polarización es modificada a medida que la onda avanza.
ƒ Los materiales ópticamente activos tienen la habilidad natural de rotar el
plano de la luz polarizada linealmente. Cuando se organizan en ciertas
configuraciones, cristales líquidos actúan como rotadores de polarización.
Fin