Download Descubriendo números irracionales

Colegio Ingles Saint John
Depto de matemática y física
Pedro Godoy G
DESCUBRAMOS NÚMEROS IRRACIONALES
Para comprender los números irracionales primero debemos conocer cabalmente los números
racionales, sin necesidad de profundizar, recordemos algunos elementos fundamentales
a
b


Primero la definición de número racional Q   / a y b  Z , b  0 , esto nos recuerda la idea
que los racionales es un conjunto numérico donde cada termino es posible escribirlo como una
fracción (propia o impropia),
Como ubicamos racionales en la recta numérica
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Si bien existen procedimiento muy didácticos para ubicarlos, métodos que estoy seguro has visto
en la enseñanza básica, sin embargo, ahora es más práctico pensar que cada fracción es un
entero o un decimal, así por ejemplo :
3
= 0,75
4
12
7
2
= 0,4
5
= 1,7142857142857 ….
5
= 1,25
4
7
3
= 2,33333333333333333 … … ….
etc
Es posible ordenarlo de menor a mayor y además siempre podemos verificar que entre dos
racionales existen infinitos racionales.
En la recta numérica, se pretende representar todos los números, para esto es necesario asignar a
cada punto de la recta un número. Estos números indican la distancia desde el punto al cero. Si el
punto se encuentra a la derecha del cero, el número correspondiente a ese punto es positivo. Si
está a la izquierda , negativo. ¿Qué conjunto numérico podría representar todos los puntos de
una recta?
Volvamos a los decimales,
 finitos

 periodico

decimales 

inf initos semiperiod ico
noperiodic o



Los decimales finitos se pueden convertir a
fracción sin problema, lo mismo para los
decimales periódicos y semi-periódico.
Si no recuerdas como se hace busca tu
cuaderno del año anterior o simplemente
pregúntale a tu profesor
Sin embargo, decimales tales como
Analicemos ¿son finitos o infinitos?, ¿tienen algún tipo de periodo?
¿son números racionales?¿por qué? , ¿Reconoces a alguno de ellos?
Definición Los números irracionales son aquellos decimales infinitos no periódicos, y por ende no
convertibles a fracción.
Se sabe que  se ha representado por la fracción racional 22/7, sin embargo, esto es tan
solo una leve aproximación y NO corresponde al verdadero valor, por lo que  no es posible
escribirlo como fracción y por lo tanto NO ES RACIONAL. Todo decimal que no puede escrito como
fracción es un número irracional.
Toma a continuación tu calculadora científica y obtenga los valores, con todos los
decimales posibles de los siguientes términos
Log 3
2
Log 2
 5
3  log 5
3
7
2
2
1 5
2

2
3
3
5
2
Algunos irracionales destacados
Algunos números irracionales destacados
El número irracional más conocido es el número , que es la razón entre la longitud de una
circunferencia y su diámetro, es decir:

longitud de la circunfere ncia
diámetro
Muchas han sido las aproximaciones de  en el transcurso de los años, por ejemplo, en 1987 se
calculó con una precisións de más de 100 millones de cifras decimales, sin encontrar periodo
alguno.
Otro numero irracional es e = 2,71828……………… El numero e data del siglo XVI y aparece en
forma natural cada vez que se estudian fenomenos de crecimiento o decrecimiento poblacional
o se modelan las curvas.
El número  
1 5
= 1,61803398…., llamado número aureo o
2
numero de oro fue descubierto en la antigüedad al observar la
proporción que hay en algunas figuras
geométricas
(relación entre la diagonal y el lado del pentágono regular),
también en algunas proporciones de la anatomía humana ( por
ejemplo, entre la altura de una persona y altura a su ombligo,
o la relacion entre el diametro de la boca y el diametro de la
nariz) y en la naturaleza (como en la disposición de los pétalos
de las flores o en la distancia entre espiras de cualquier caracol)
En resumen:
Un número irracional es un número que no puede representarse como una fracción. Es un
número decimal infinito que no tiene periodo.
Algunos números irracionales destacados son el número , número e, y número de oro, .
Resuelve en tu cuaderno
1.- Indica si los siguientes valores numéricos es racional o irracional. Si es
racional convertir a fracción
a)
b)
c)
d)
-0,737
2,1732929….
154,154154…..
23,242526……
e)
f)
g)
h)
0,121231234….
14,1010010001…..
26,0625
12,466666…….
2.- determina si m e y son irracionales o no. Justifica tu decisión.
2
1 6  1 6 
 

a) m  
 2   2 

 

2
3
1 2  1 2 
 

b) y  
 

 3   3 
3
3.- Encuentre un número irracional que cumpla lo siguiente
a) sea mayor que √2 y menor que √3
15 y menor que 4
b) sea mayor que
c) sea mayor que 1 y menor que
2
24
23 y menor que
d) sea mayor que
4) Completa con los signos, <, > o = , según corresponda.
a)
2 _____ 1,4142
c)
3 ____ 1,73
e)
5 _____ 2,23
b)
2 _____ 1,41
d)
3 ____ 1,733
f)
5 ____ 2,236
Tipo PSU
5) ¿Cuál (es) de los siguientes números es (son) irracionales?
I. 2  3
3 3 3
II.
a) Solo I
b) solo II
6
24
III.
c) solo III
d) I y III
e) II y III
6
3

?
2 2 2 2
6)
a) 0
3
b)
c) 6  9 2
2 2
d)
69 2
2
e)
63 2
2
7) En los números enteros con la operación resta se cumple(n) la(s) propiedades :
I. asociativa
II. Conmutativa
a) solo I
b) solo II
8) El número
3
c) solo III
III. elemento neutro
d) I y III
e) n.a.
 64 es:
a) imaginario
b) irracional
c) entero
d) natural
e) todos los anteriores
9) Sea x e y  I, tal que x ≠ y, entonces siempre se cumple que:
I. x + y  I
a) solo I
II. x – y  I
b) III y IV
III. x : y  I
c) I y III
d) I y IV
e) ninguna
10) En el conjunto numerico más pequeño en que se encuentran definidas las 4 operaciones es:
a) R
11)
b) C
c) Z
d) N
e) Q
1
 Z , si:
a
a) a 
1
, bR
b
1
1
1
1
b) a  , b  Q c) a  , b  Z d) a  , b  N 0 e)a  , b  N
b
b
b
b
12) Sea a, b  X y
a
 X con a≠ b y b ≠ 0. Luego, x puede ser el conjuntos de los numeros:
b
I. Entero
II. Racionales
a) I y III
III. irracionales
b) II y IV
IV Reales
c) I, II y III
d)
II, III y IV
e) I, III y IV
13) Si a  2  2 , ¿Cuál de las siguientes expresiones representa(n) un número racional?

I. a 2
II. a 2  2
a) Solo I
b) I y III

2
III. a 4  4 2
c) II y III
d) todas
e) ninguna
14) 0, 9 pertenece a los números :
a) naturales
b) cardinales
c) enteros
d) racionales
e) todos los anteriores
15) En el conjunto de los números enetros, en la operación resta ¿Cuál de las siguientes
propiedades se cumplen?
I. clausura ( si a  b  Z  (a - b)  Z )
II. asociatividad: a – ( b – c) = (a – b ) – c
III. conmutatividad: a – b = b – a
a) Solo I
b) solo II
cI solo III
d) solo I y II
e) I , II y III
16) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?
I. N  N 0
a) solo I
NZ
II.
b) solo II
III. Z  N 0
c) solo III
d) solo I y II
e) solo I y III
17) Si x e y son números racionales tal que y ≠ 1, entonces, la expresión
x
es menor que
1 y
cero si:
I. x  0
II. x  0  (1 - y )  0
Es (son) verdadera(s):
a) Solo I
b) solo III
c) solo I y II
III. y  1 
d) solo II y III
x 0
e) I, II y III
18) Ordene de mayor a menor los siguientes irracionales
a
a) a < b < c
5
6
b) a > b > c
b
2
2
c) b > c > a
c
3
4
d) a > b > c
Tipo simce
Imagina que desea cortar una madera que sirva de
diagonal para un cuadrado de 1 mt de lado . ¿Qué
harías para medir esa madera, sin sobreponerla en
el cuadrado? Diseña una estrategia y compártela con
tus compañeros. No olvides que la medida debe ser
exacta.
e) c > a > b