Download INICIADORES DEL ÁLGEBRA

I.E “Santa María Reina”
Lic. HUGO TOMAS RIVERA PRIETO
QUINTO A.B.C.D
NÚMEROS REALES
Desde los tiempos más remotos de la humanidad, el hombre a
utilizado de muy variadas Formas, los números; al único en el proceso
de contar o medir, por medio de ciertos símbolos o señas los cuales
gradualmente a través de la historia han sido estructurados
científicamente, alcanzado a la fecha un desarrollo increíble
que hoy conocemos y que diario comprobamos. No te
olvides que la teoría de los números constituye el pilar
fundamental de la matemática y está su vez es
imprescindible para el desarrollo de las demás ciencias.
Actualmente, el estudiante está familiarizado con cuatro
conjuntos numéricos: Números naturales (N), Números enteros (Z) Números
racionales (Q) y números irracionales (II). Por lo tanto, a hora estas en
condiciones de conocer un nuevo conjunto numérico denominados número reales (|R). Por
razones didácticas, previamente es necesario hacer una revisión muy rápida de los conjuntos
numéricos ya mencionados.
Conjunto de Números Reales
1. Naturales (N): El conjunto de los números naturales tiene como elementos al número cero y a
todos los números que el hombre utiliza para contar.
Sí representamos el conjunto de los números naturales simbólicamente y por extensión
tenemos:
N: {0,1,2,3,4,5,...}
2. Enteros (/Z): El hombre para resolver los casos de imposibilidad de la sustracción en |N, creó
los números enteros.
Z={...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
Donde : Z+UZNota:


El cero es nulo, puesto que no es positivamente ni negativo
Con los Z, no hay restricción es la sustracción. Ejemplos:
a) 7 - 4 = 3
b) 10-2 = 8
c) 5 –5 = 0
d) 4-6 = -2
e) 2-9 = -7
f) 1-3 = -2
Problemas para la clase
1) – 43-72-115+223
Rpta:-7
9) –225-(48-22-15) + (-17+2)
Rpta: -251
2) –16+15-19-25-142
Rpta: -187
10) +8-3+(17-42)-(17-42)-(51-7-8)
Rpta: -31
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3) –117+185-242-315
Rpta: -489
11) –6 +(-5-(48-17-1)-6)
Rpta: -47
4) –6 –25-13+2-55
Rpta: -87
12) –2-(-3(+6+8+(-3-7-1))+2
Rpta: 2
5) –62+57-13+2-99+56
Rpta: -59
13) –10-(-5+(8-6-7+1))+(73-8)
Rpta: -82
6) –13 +2-19+29-58
Rpta: -59
14) –46 –(-1+(-17+(-6-9-1)))
Rpta: -12
7) –1+19-27+56-(7-2)
Rpta: +28
15) +5 +7-1+(-62-4+68)-(-17+1-6)
Rpta: +35
Práctica Domiciliaria
1) –15+(-61-55-(-17-(-29+1+3))-3
9) –42-55-(+8-5-(16-46-8-(-15-1)-6))
2) –62-(-17-6-(-1+6-9-11-1))
10) –69-17+(-19-6-(17+18-46)+(51-76))
3) –18+(-9-6-7-(+6-7-8-10)-1
11) –8+12-(-4-(-6+1-(-6+3-2)))
4) (-62-17-8+29-(63-75))
12) –16+15+(15-6-29)-(+17-46-1)
5) –16-(-16+16-(16+16-16)+16
13) +78-715-(-919+(617-815-1)-(-171+2))
6) –9-(9-9+9-9-(-9+9-9-9)-9
14) –16-(-48-(-57+(+15-16-17)-(69-48))-1)
7) –16-(+8-5-(16-46-8-(-15-1)-6))
15) –11-11+(-11-(-11+11+(-11-11)-11)-11)
8) –6-9+(+6-17-(+65-13-(-16+8)-1))
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3. RACIONALES (Q): Los conjuntos Q de los números racionales se crearon para poder resolver
los casos no posibles de división entre números enteros, es decir se crearon como ampliación
de /Z.
Q
Gráficamente:
N
Z
Un número racional puede ser expresado de
la forma
a, siendo a, b números enteros, b0
b
Ejemplo : 1 , 3 , -5,...
2 4 3
También : 2 =0,4 se expresa en decimales
5
Decimales exactos: Son los que la parte
decimal son exactos
Ejemplo:
1) 0,3
2) 3,4
3) 3,06
Decimales Periódicos: Son los que sus
cifras se representan constantemente
1) 0, 3
2) 3, 1
3) –25, 35
Decimales Periódico Mixto: Son los que en
su porte decimal tienen 2 tipos de cifras una
pura y otra exacta.
Ejemplo:
1) 0, 35
2) 1,48
3)  20,506
GENERATRIZ DE UN DECIMAL
Es el paso que consiste en convertir un decimal en una Fracción.
a) Exacto:
Ejem:
0,25=25,
100
2,5 = 25
100
b) Periódico Puro:
Ejem:
0, 3 
3
,
9
3, 5  3 
c) Periódico Mixto:
_
Ejem:
0,16 = 16-1= 15
90
90
_
2,153=2+153-15 =2+138 = 323
900
900
50
5 27  5 32


9
9
9
Problemas para la clase
I) Reducir las siguientes Fracciones:
a) 1+1+1
2 3 4
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b) 2 + 1 - 1
3 2 5
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c) 2+ 4 - 3
3 5 2
d) 1+4 - 3
5 7 2
e) 5 7 + 6 3
2
2
f) 3 + 0,25 – 0.25
2
_
_
_
h) 2 1 – 4 + 0,2
3 3
g) 3,5 + 2,5 – 20
3
II) Escribe la expresión más simple equivalente
a) 42
15
-35
10
e) 5 +1
3
3-2
3
b) –4 x 3 x 12
15 2 3
f) 2 x 10 + 1
5 3 2
1+ 1
6
c) 1 – 1
2 5
4
1
g) 2 – 3 x 5
3 2 3
d) 2 +1
3 2
3
6
h) Efectuar:
E = (0,0004)3
(0,02)5
i) Calcular: a + b, si:
se sabe que:
__
0,ab = 12
25
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a) 3
b) 9
c) 10 d) 11 e) 12
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TAREA DOMICILIARIA
Reducir los siguientes problemas a su expresión más simple
2) 2 + 3 – 1
3 2
4– 2
6
1) 1 . 1 + 1
4 2 3
1
24
5) 2 – 3 + 1
5 2
2.3–1
9
5
4) 5 + 1
3
1
5
3) Cual es el valor de b – a, si se cumple
que: __
0,ab = 7
15
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
6) Hallar a, si cumple que:
_
a,8a = 9 – 2
2 3
a) 1
b) 2
c) 3
7) 2 . –3 –3
9 40
1–3.5
4 4 5
8) 4 . 5 – 1 . 3
3 2 2 4
1+3
2 6
9) 1 – 4 + 5
3 5 2
7
30
10) 5 1 – 3 2
2
3
1+1
2
11) 3 + 2 4
2
3
5–4
2 3
12) Hallar d, si:
__
0,2c = d
11
d) 4
e) 5
4. IRRACIONALES: Toda Expresiones decimales no periódica se identifica con los números
irracionales ( II ) ( infinitas cifras decimales no periódicas)
Ejem:
a)
b)
3  1.44227...
d)   3,1415926
2 = 1,414213...
3  1,732050...
c)
3
RAÍZ CUADRADA
Es el resultado de multiplicación 2 números iguales, que me va a dar el número inicial.
Raíz Cuadrado; Exacta: Es cuando el resultado es un número entero.
Ejemplo:
4  2, 16  4, 81  9, 225  15
Raíz Cuadrada inexacta: Es cuando la parte decimal tiene infinitas cifras no periódicos
Ejemplo:
1.Extraer la Raíz cuadrada de 73450
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Problemas para la clase
1) Hallar la raíz cuadrada de los siguientes números
1.
251
2.
3421
3.
456
4.
1024
5.
3654
6.
2125
7.
43527
8.
10521
9.
6243
Tarea Domiciliaria
1. Hallar la Raíz cuadrada de los siguientes números
1) 753
2) 4315
3) 7629
5)
501
6)
9)
9515
10)
14)
13)
2305
4)
988
5703
7)
5629
8)
808
11)
754
12)
3861
4305
15)
8351
16)
5432
1813
“Recuerda los problemas no son una carga si no un desafío a tu inteligencia”
V. Estrada
OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
a) Adición y Sustracción: Son casi los mismos casos solo en la sustracción se suma con
número negativo.
Adición: M + S = D
Sustracción:
Ejemplos
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1)
Efectuar con aproximación al centésimo
_
S=  7 + 2 + 0,438
2)
Efectuar con aproximación al centésimo
_
S=  + 5 + 17
27
b) Multiplicación y División: Son también operaciones parecidas, sólo que en la división se
multiplica por el divisor no nulo.
Multiplicación: a x b = q
División: a x 1= q b0
b
Ejemplos:
1) Efectuar:
_
7,15 (7 + 3 ) con aproximación al centésimo
5
_
2) Dividir: 142 : 7 con aproximación al centésimo
3
Potenciación
Es un caso de la multiplicación
an= p Donde: n: indica la cantidad de veces que se repite la base real como factor a: la base,
p: potencia
Ejemplo
1.(-2,5 )3= (-2,5) (-2,5) (-2,5) = -15,625
2. (-2)2= ( -2 ) (-2 ) = 4
3
3 3
9
Problemas para la clase
1. Indica el símbolo que debe ir en cada caso: (>, < ó =)

a) (2 + 0,3 + )  (3 + 0,51 + 5 )
c) (- 0,6 + 1 + 3 )  (5 – 2 +1)
4 2
3 5
b) (-1 + 5 – 3)  (+ 4 – 2)
3 4
5
_ _
_
_
d) (4 - 3 + 5  (5 - 2 +2 )
3
2). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones
correctas?
matematicafutura
2
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I) 22 = ( 22 )2
3
2
5) Al efectuar:
2 3
II) 3 = ( 3 )
0,3333.... + 2, el resultado tiene un
7
periodo de:
4
III) 52 = 516
a) solo I
d) I y II
b) sollo II
e) I y III
c) solo III
a) 3 cifras
d) 6 cifras
b) 2 cifras
e) N.A.
c) 4 cifras
6) ¿A qué es igual 0,55555?
a) 0,5 b) 5
9
3) Al operar:
_
2 – 0,4142..., se obtiene
a) un real
d) 1
b) un racional
e) T.A
c) un real
4) Resolver con aproximación al centésimo
_
_
a) 23 – 3 ( 2 ) + 
__
__
b)  5 +  2
c) 5
10
d)
5
100000
e) N.A.
7) Si a  IN; b  II , entonces (a + b) es
número:
a) natural
d) racional
b) entero
e) N.A.
c) irracional
_
c) 1 + 0,256 +  5
_
d) (7,12) ( 3)
TAREA DOMICILIARIA
I.- Efectuar las siguientes operaciones de Adición y Sustracción en |R con
aproximación al centésimo.
__
__
(1)  3 + 1 + 1
2 9
(5)  5 + 0,925673 + 1
__
__ __
11
__
(2)  2 +  3 +  5 + 
___ __
(6)  7 + 0,8668 + 1
10
(3) 5 +  11 +  7 + 1
__
__ __
4
2
___
(7)  +  2 +  3 +  5
(4) 2 +  13 + 0,3682
5
II.- Efectuar las siguientes operaciones de Multiplicación y División en |R con aproximación al
centésimo.
__
__
(1) (3,75 + 2,148) (5,13 +  2)
(5) (2  2) ( + 3,8)
__
(2) (1,108 + 1,73) (5,17)
(6) (7,032) ( +  2)
__
__
__
(3) ( 2 + 1) ( 3 – 1)
(7) 8  3 : 4
__
5
(4) ( + 2) ( 2 – 1)
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III.- Responder:
a) ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso?
_
_
b) 1 +  3 + 0,5, da como resultado:
a) –72 es número entero
b) –0,0775 es número real
c) 3,7 es número racional
d) 51/2 es número racional
e) 2  es irracional
a) un natural
b) un entero
c) un racional
d) un irracional
e) todos son correctos
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES
1. Multiplicación de Potencias de Bases
Iguales.
3. Potencia de una Multiplicación
(a . b)n = an . bn
am
.
an =
am + n
__ 5
3
Ejemplo:
__ 7
__12
. 3 = 3
Ejemplos:
__ 3
1. 5
7
(1)
2. División de Potencias de Bases iguales
a m : an = a m – n
am = am – n
an
ó
__
2 x 1
3
(2)
Casos particulares:
1. Si m = n, entonces: am = a m – n
an
0
1=a
/a0
__
(2) - 5  7
3
5
__ 3
. ( 5 )
__
= 2
5
5
x
1
3
4. Potencia de una División
Toda potencia de base real distinta de cero
y exponente nulo es igual a 1.
Ejemplos:
___ 0
(1)  11 = 1
3
= 1
7
0
=1
a
b
n
= an
bn
Ejemplos:
__
(1)  2
3
5
/b0
__
= 2
35
5
2. Si m = 0, entonces a0 = a0 – n  1 = a –n
an
an
5. Potencia de Potencia
ó
a –n
/a0
=1
an
(am)n = amn
Ejemplos:
Ejemplos:
(1) 5– 7 = 1
57
(3)
3
5
–2
(2)
=
5
3
0,87
–3
= 1_
0,873
(1) 0,52  = (0,5)6
3
2
Ejercicios:
1. Efectuar :
matematicafutura
_
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E = ( -2 )3+ ( - 762 )0+ ( 5 )-1
7
_
F = (  ) 7 : (  )6 - 2,625 ) 20}7
7
7
2. Efectuar:
RADICACIÓN:
Es decir
n
Donde:
n: índice; n  /N ; n> 2
a : es el sub radical ó radicando
_
: operador
r: raíz, r  /R
a = r  rn =a
Ejemplo:
1. 5 = 5
Recordar
1
2
2.
3
2 2
4
am = am-n
an
4
3
Problemas para clase
Efectuar las siguientes operaciones de potencia y radicación.
3 _ 3 __
6) 1 + -8
___ 3 __
11) 100 + -27
_
2) 7 + ( 5 )-1 + ( 5 )-1
3
7
___
7) -16
__ 3 _
12) 16 + -1
_
3) ( 5 5 )2
10
___
8) -64
__
5 __
13) 17 0 + 32
_
__
4) ( 23 )2{38 74 ) 50}18
5 ___
9) -32
_
14) (1 )-1 – ( 2 )4
2
_ _
5) 37 .311
_ 3 _
10) -8 - 64
_
15) 2 . 8 - 730
1) (-1 + 7)0 + 105
2
matematicafutura
4
3
4
-1
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Tarea Domiciliaria
I) Efectuar las siguientes operaciones combinadas








 

 
  




   








 










  













0,5 –2
4)  7,25 x 15, 02
09) -8 + 35 

0
__11 17 5
10) 3 + 4 + 32 . 32  : 2
0
10
5) (32)0,252
6
5 __7
__
5
0
__ 2 2 6 __
15)  -8 + 64 + ( 1 )-1
2
___
2 0,5
11) (-2 ) – -27 + 50
3
3
12) (-7)0 -70
5 ___
13) (1 )–2 + -32 - 30
0
2
3 ___
2
14) (0,2)-2 – -64 + 2
Ejercicios de aplicación
Ejemplos
-1
2
-1
1) E = 100
a) 1
b) 10
2) Reducir
c) 100
d)100
M = 81 ½ + 9 ½ + 16 0,25
a) 10
3) Reducir:
b) 12
c) 14
d) 15
e) 16
4) Reducir:
13
2
-1
_____ 5 – (0,2)
3
2
 = 2 – (23 ) + 52,62 
82
a) 4.48
b) 64
5) Efectuar:
matematicafutura
c) 8
0
17
-2
-1
E= 52 + (-1 ) – ( 1 )
8
7
d)7
a) 89 b) 96 c) 82 d)57
6) Reducir:
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2
E=
a) 2
57
QUINTO A.B.C.D
02
1
2
b) 5
c) 48
1
4
d) 41
e) 116
a) 1
2
 5  32  3 0
0
b) 2
c) 3
8) 35   3 
7) 2 3  5  32   
0
b) –4 c) –16 d) 16 e) N.A.
a) 2
2
Q = 
0
a) 2
d) 4
e)-1
 5
0
c) –2 d) 5
b) 3
e) N.A.
Tarea Domiciliaria
1) Hallar la Raíz Cuadrada de
½
¼
0,5
2) Reducir:
 2   
3 2
¼
3
8

5
E = 25 + 36 + 16 +81
a) 1 b) 2 c) 4 d) 16 e) 256
a) 66 b) 64 c) 62 d) 60 e) N.A
3) Efectuar:
4) Efectuar
1
 
3
2
1
 
4
_
a) 11
2
0
-50
4
M = 5 16
_
b) 13
c) 5
d) 58
a) 2
5) Reducir:
1100
  7
0
a) 1
b) 2
7) Reducir :
1
e)125
c) 0
d) 13
e) 7
a) 3 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1
8) Reducir la siguiente expresión
0,5
a) –2
P=
b) 1
c)4
d) 6
e) –1
9) Reducir
a) 1
b) 2
811 2  9
c) 3
1
2
 16 0,5
d) 4
e) 6
10) Hallar el equivalente de:
1
a) 1
d) 16
3 10 -28
39 (-24) ( -23)
35 + 22 + (3 2 )
A=
c) 25
6) Reducir:
-7 0 + 3 57658
0
b) 5
1
1
1 1
     
2
3  4
b) 2
matematicafutura
7
1
c) 3
d) 4
55 x 6 0
 (5  7) 0

0
e) 5
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