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Profesor: Jorge Honores Moreno
MATEMÁTICA
Conceptos Generales
I.
Relaciones de igualdad.
Números iguales, son los que representan conjuntos coordinables.
Ejemplo:
Si en el Metropolitano, cada persona que viaja ocupa un asiento de
modo que no queda ningún asiento vacío ni ninguna persona de pie,
ambos conjuntos están coordinados, luego si a es el número que
representa al conjunto de personas y b el número que representa al
conjunto de asientos, tendremos que a y b son iguales ( o son el mismo
número), lo cual se expresa por la notación:
a=b
y se lee a igual a b.
La expresión a = b es una igualdad, en la cual a que está a la izquierda
del signo = es el primer miembro y b que está a la derecha del signo =
es el segundo miembro.
………….……………. = ……………………………
Primer Miembro
Segundo Miembro
II.
Operaciones básicas en relaciones de
igualdad.
Suma: Si un número está sumando en el primer miembro, pasa al
segundo miembro restando.
3+5=8
-
3=8–5
Resta:
Si un número está restando en el primer miembro, pasa al
segundo miembro sumando:
8–5=3
-
Multiplicación:
8=3+5
Si un número está multiplicando en el primer
miembro, pasa al segundo miembro dividiendo.
9 x 5 = 45
-
9=
45
5
División: Si un número está dividiendo en el primer miembro, pasa
al segundo miembro multiplicando.
56
7
=8
-
Potenciación:
56 = 8 x 7
Si un número está potenciando en el primer
miembro, pasa al segundo miembro radicando.
2 5 = 32
-
5
2 = √32
Radicación: Si un número está radicando en el primer miembro,
pasa al segundo miembro potenciando.
𝟑
√𝟑𝟒𝟑 = 7
-
343 = 7 3
III. Términos de las operaciones básicas.
Suma.
125 +
248
-----373
Sumandos
Suma total
Resta.
456 –
134
-----322
Minuendo
Sustraendo
Diferencia (Resto)
Se cumple que el Minuendo = Sustraendo + Diferencia
Multiplicación.
8x
4
--32
Multiplicando
Multiplicador
FACTORES
Producto
División.
Dividendo
57
55
---2
Residuo
Se cumple:
11
5
divisor
cociente
D=dxc+r
Potenciación.
Exponente
5
Base
3 = 243
Potencia
Radicación.
Índice de la raíz
Radicando
Se cumple: R = rn + re
Raíz
R = Radicando r = Raíz
n = Índice de la raíz
re= Residuo
IV. Operaciones combinadas.
Cuando se tienen operaciones combinadas de suma, resta,
multiplicación, división, potenciación y/o radicación se deben respetar el
siguiente orden:
- Primero se operan (desarrollan) las potencias y/o raíces.
- A continuación de operan las multiplicaciones y/o divisiones de
izquierda a derecha en el orden que aparezcan las operaciones.
- Al final se realizan las operaciones de suma y/o resta de izquierda a
derecha en el orden que aparezcan las operaciones o de lo contrario
se agrupan los números con signo positivo, luego los números con
signo negativo y ambos resultados se restan en valor absoluto y se
coloca el signo ( + o - ) de acuerdo a que valor (positivo o negativo)
tenga mayor valor absoluto.
Ejemplo:
a. -10 + 14 - 8 - 9 + 13 - 11 - 4 + 16 - 5 + 8
Resolución
-10 + 14 - 8 - 9 + 13 - 11 - 4 + 16 - 5 + 8
Se realizan las operaciones indicadas de izquierda a derecha en el orden
que aparezcan las operaciones.
+ 4 - 8 - 9 + 13 - 11 - 4 + 16 - 5 + 8
- 4 - 9 + 13 - 11 - 4 + 16 - 5 + 8
-13 + 13 - 11 - 4 + 16 - 5 + 8
0 - 11 - 4 + 16 - 5 + 8
-15 + 16 - 5 + 8
+1 - 5 + 8
-4 + 8
+4
Otra forma también válida es agrupar los números positivos y negativos:
+14 +13 +16 +8 = +51
-10 -8 -9 -11 -4 -5 = -47
Luego: +51 – 47 = +4
b. 24x10:6 + 12:3x2 + 3x4:6
Resolución:
24x10:6 + 120:3 x 2 + 3 x 4 : 6
240 : 6 + 40 x 2 + 12 : 6
40 +
80
+
2
120 +
2
122
V.
Signos de agrupación.
Cuando en operaciones combinadas aparecen signos de agrupación
como paréntesis, corchetes y/o llaves, las operaciones se realizan de
adentro hacia afuera: primero se desarrollan las operaciones indicadas
dentro de los paréntesis, luego los corchetes y por último las llaves.
Dentro de cada signo de agrupación se respetan las reglas
anteriormente expuestas en el punto IV. Operaciones Combinadas,
Ejemplos:
a. 12 . [5 + (6x7 - 6) : 3 ] - 150
Resolución
12 . [5 + ( 42 – 6) : 3 ] – 150
12 . [5 + 36 : 3 ] – 150
12 . [5 + 12 ] – 150
12 . [ 17 ] – 150
204 - 150
54
b. 140 : 10 : 3 + √(3𝑥4 − 2)2 − 26 – ( 52 . 3 – 43 )
Realizar los cálculos con 1 cifra decimal truncada.
Resolución
140 : 10 : 3 + √(3𝑥4 − 2)2 − 26 – ( 52 . 3 – 43 )
14 : 3 + √( 12 − 2)2 − 64 - ( 25 x 3 – 64 )
4,6 + √( 10 )2 − 64 - ( 75 – 64 )
4,6 + √ 100 − 64 - 11
4,6 + √ 36 - 11
4,6 + 6 - 11
10,6 – 11
-0,4
4,6 + -11,0 6,0
+10,6
--------------10,6
- 0,4
Ejercicios.
1. ¿Cuánto costo lo que al venderse en S/.12 517 deja una pérdida de S/.1318
Rpta. S/.13 835
2. ¿A cómo hay que vender lo que ha costado $9 309 para ganar $1 315?
Rpta. $10 624
3. Después de vender una casa perdiendo S/.3 184 presté S/2 006 y me
quedé con S/15 184. ¿Cuánto me ha costado la casa?
Rpta. S/.20 374
4. El menor de 4 hermanos tiene 21 años y cada uno le lleva 2 años al que
sigue. ¿Cuál es la suma de las edades?
Rpta. 96 años
5. Hallar la edad de un padre que tiene 15 años más que la suma de las
edades de 4 hijos que tienen, el 4º, 3 años; el 3º, 1 año más que el 4º; el 2º,
3 años más que el 3º, y el 1º tanto como los tres juntos.
Rpta. 43 años
6. Una casa de comercio ganó en el 2001, $32 184; en el 2002, $14 159 más
que el año anterior; en el 2003, tanto como en los dos años anteriores
juntos; en el 2004, tanto como en los tres años anteriores y en el 2005,
$12136 más que lo que ganó en el 2004 y 2002. ¿Cuánto ha ganado en los
cinco años?
Rpta. $529 641
7. Si ganara S/.560 menos la mes podría gastar S/.350 en alquiler, S/.400 en
manutención, S/.180 en colegio para mis hijos, S/.590 en otros gastos y
podría ahorrar S/.320 al mes. ¿Cuánto gano al mes?
Rpta. S/.2 400
8. Para trasladarse de una ciudad a otra una persona a recorrido: 38 km. En
auto; a caballo 34 km. Más que en auto; en ferrocarril 316 km. más que en
auto y a caballo; y en avión 312 km. 312 km. Si todavía le faltan 516 km.
para llegar a su destino, ¿Cuál es la distancia entre las dos ciudades?
Rpta. 1 364 km.
9. Un hombre nació en 1911, se casó a los 25 años; 3 años después nació su
primer hijo y murió cuando el hijo tenía 27 años. ¿En qué año murió?
Rpta. 1966
10. En reparar un auto se han gastado $86; en llantas $62; en pintura $19 y al
venderlo en $136 menos que el costo, se recibieron $854. ¿Cuánto ha
costado en total el auto?
Rpta. $1 157
11. 56 + n = 81, ¿Qué número es n?
Rpta. n = 25
12. a – 315 = 618. ¿Qué número es a?
Rpta. 933
13. a – x = 36 y a = 85, ¿Qué número es x?
Rpta. x = 49
14. a – b = 14 y a – 14 = 36, ¿Qué número es b?
Rpta. 36
15. a – 36 = 81, ¿Qué número es a?
Rpta. 117
16. Si el minuendo es 342 y el resto 156, ¿Cuál es el sustraendo?
Rpta. 186
17. Si el sustraendo 36 815 y el resto 9 815, ¿Cuál es el minuendo?
Rpta. 46 630
18. Tenía $918. Compré un traje y me quedaron $868. ¿Cuánto me costó el
traje?
Rpta. $50
19. Después de gastar S/.319 me quedaron S/.615. ¿Cuánto tenía al principio?
Rpta. S/.934
20. Si tuviera 35 caballos más de los que tengo tendría 216. ¿Cuántos caballos
tiene mi hermano, si el número de los míos excede al número de los suyos
en 89?
Rpta. 92
21. Si recibiera S/.145 podría comprarme una cocina de S/.560. ¿Cuánto
tengo?
Rpta. S/.415
22. La suma de dos números es 518 y el mayor es 312. Hallar el menor.
Rpta. 206
23. El duplo del menor de dos números es 618 y la suma de ambos 14 673.
Hallar el número mayor.
Rpta. 14 364
24. El triplo de la suma de dos números es 63 y el duplo del menor 20. Hallar el
mayor.
Rpta. 11
25. El mayor de dos números es 9 876 y la diferencia entre ambos es 3 456.
Hallar el menor.
Rpta. 6 420
26. La suma de dos números es 150 y la mitad del mayor es 46. Hallar el
menor.
Rpta. 58
27. La diferencia de dos números es 1 400 y el duplo del menor 1 200. Hallar el
mayor.
Rpta. 2 000
28. El menor de dos números es 36 y el doble del exceso del mayor sobre el
menor es 84. Hallar el mayor.
Rpta. 78
29. ¿En cuánto excede la suma de 756 y 8 134 a la diferencia entre 5 234 y
1514?
Rpta. En 5 170
30. Al vender una casa en $12 138 gano $1 815. ¿Cuánto me ha costado la
casa?
Rpta. $10 323
31. Un comerciante pide 3 000 kg. en mercaderías. Primero le mandan 854 kg.,
más tarde 123 kg. menos que la primera vez y después 156 kg. más que la
primera vez. ¿Cuánto falta por enviarle?
Rpta. 405 kg.
32. Si me pagan $2 500, tendría $5 634. Si mi hermano tiene $936 menos que
yo, y mi prima $893 menos que mi hermano y yo juntos, ¿Cuánto tenemos
entre los tres?.
Rpta. $9 771
33. ¿Qué alteración sufre una resta si el minuendo disminuye 40 unidades y el
sustraendo aumenta en 23?
Rpta. disminuye 63 unidades.
34. A S/.0,60 cada lápiz, ¿Cuánto costarán 7 docenas?
Rpta. S/.5,04
35. Se compran 216 docenas de lapiceros s S/.5 la docena. Si se venden a
razón de S/.1 cada 2 lapiceros. ¿Cuál es el beneficio obtenido?
Rpta. S/.216
36. Se compran 84 metros cuadrados de un terreno a $3 el metro cuadrado, y
se venden a $60 la docena de metros. ¿Cuánto se gana?
Rpta. $168
37. Dos autos salen de dos ciudades distantes entre sí 720 km. uno hacia el
otro. El primero anda 40 km. por hora y el segundo 30 km. por hora. Si
salen ambos a las 8:00 hrs. ¿A qué distancia se encontrarán a las 11:00
hrs.?
Rpta. 510 km.
38. Compré 115 acciones a $70 cada una; se me perdieron 15 y el resto lo
vendí a $80 cada una. ¿Gané o perdí y cuánto?
Rpta. Perdí $50
39. Se han vendido 14 barriles de harina a $18 cada uno con una pérdida de $2
por cada barril; 20 sacos de arroz a $4 cada uno con una ganancia de $1
por saco y 7 sacos de frijoles a $15 cada uno con una pérdida de $3 por
saco. ¿Cuál fue el costo de toda la mercancía que vendí?
Rpta. $466
40. Pedro tiene S/.65, Patricio el doble de lo que tiene Pedro menos S/.16 y
Juan tanto como los dos anteriores juntos más S/.18. Si entre todos gastan
S/.124, ¿Cuál es el capital común que queda?
Rpta. S/.252