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EXAMEN ORDINARIO
ÁLGEBRA - IQ
Lunes 29 de Septiembre de 2014 - 10:00 horas
RESPUESTAS
PREGUNTAS
1. Grafique el número 𝛼 = 3 − 4𝑖
2. Enuncie el teorema fundamental del Álgebra
Todo polinomio de grado n tiene n raíces
3. Enuncie el teorema del factor
Si r es una raíz del polinomio P(x), es decir, si P(r)=0, entonces (x-r) es un factor de ese
polinomio
4. ¿ Qué significado geométrico tienen las raíces reales de un polinomio
Las raíces reales del polinomio P(x) representan las intersecciones de la gráfica de P(x)
con el eje ‘x’
PROBLEMAS
1. Sean 𝛼 = 3 − 4𝑖 , 𝛽 = 5𝑖 𝑦 𝛾 = 4 + 3𝑖
a) Exprese 𝛼 , 𝛽 𝑦 𝛾 en forma polar
𝑟𝛼 = √(3)2 + (−4)2 = 5,
𝜃𝛼 = 360° − 𝑡𝑎𝑛−1 |
−4
| = 306.87°
3
𝛼 = 5[cos(306.87°) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(306.87°)]
𝑟𝛽 = √(0)2 + (5)2 = 5,
𝜃𝛽 = 90°
𝛽 = 5[cos(90°) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(90°)]
3
𝜃𝛾 = 𝑡𝑎𝑛−1 | | = 36.87°
4
𝛾 = 5[cos(36.87°) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(36.87°)]
𝑟𝛾 = √(4)2 + (3)2 = 5,
b)
Obtenga las tres raíces cúbicas de 𝛼
306.87°
306.87°
√5 [cos (
) + 𝑠𝑒𝑛 (
)] = 1.71[cos(102.29°) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(102.29°)]
3
3
3
√5 = 1.71[cos(102.29° + 120°) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(102.29° + 120°)] = 1.71[cos(222.29°) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(222.29°)]
3
3
√𝛼 =
3
{ √5 = 1.71[cos(222.29° + 120°) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(222.29° + 120°)] = 1.71[cos(342.29°) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(342.29°)]
c)
Realice 𝛾 4
d)
Divida
𝛾 4 = 54 [cos(4 ∗ 36.87°) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(4 ∗ 36.87°)] = 625[cos(147.48°) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(147.48°)]
𝛼
𝛾
𝛼 5
= [𝐶𝑂𝑆(306.87° − 36.87°) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(306.87° − 36.87°)] = cos(270°) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛(270°) = −𝑖
𝛾 5
2. Obtenga las raíces de 𝑃(𝑥) = 𝑥 4 + 3𝑥 2 − 4
De la regla de los signos de descartes
+ 1 1
C
2
Cotas
Cota superior
Cota inferior
Método 1
4 4
1+ √ =3
1
4 4
− (1 + √ ) = −3
1
Método 2
1
-1
Posibles raíces racionales
-4, -2, -1, 1, 2, 4
Descartamos a -4, -2, 2, 4, por inspección de las cotas, ahora probamos a 1 y -1
mediante división sintética y teorema del residuo
1 0 3 0 -4 | 1 .
1 1 4 4_|
1 1 4 4 0
1 es raíz, por lo tanto 𝑃(𝑥) = (𝑥 3 + 𝑥 2 + 4𝑥 + 4)(𝑥 − 1)
1 1 4 4 | -1 .
-1 0 -4 |
1 0 4 0
-1 es raíz, por lo tanto 𝑃(𝑥) = (𝑥 2 + 4)(𝑥+1)(x-1)
Del factor 𝑥 2 + 4 se tiene 𝑥 = ±2𝑖 , por lo cual las raíces son: −1, 1, -2i, 2i