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Liceo José Toribio Medina Departamento de Matemática Resumen Contenidos Primer Semestre 8° Básico Matemática Números Enteros: Adición de números enteros Si los números enteros tienen el mismo signo, se suman los valores y se conserva el signo común. Ejemplo: a) 3 + 5 = 8 b) (−3) + (−5) = −8 ⟶ En este ejemplo vale recordar que (−3) + (−5) = −3 − 5 Si los números enteros tienen distinto signo, se restan los valores y se conserva el signo del número mayor. Ejemplo: a) −3 + 5 = 2 b) 3 + (−5) = −2 ⟶ Recordemos que 3 + (−5) = 3 − 5 Multiplicación de números enteros Para multiplicar números enteros debemos considerar la regla de los signos. + 𝑝𝑜𝑟 + + − 𝑝𝑜𝑟 − + + 𝑝𝑜𝑟 − − − 𝑝𝑜𝑟 + − Recordemos que estas reglas también son válidas para la división de números enteros. Ejemplo: a) 2 ∙ 5 = 10 b) 10 ∶ 5 = 2 (−2) (−5) c) ∙ = 10 d) (−10): (−5) = 2 e) 2 ∙ (−5) = −10 f) 10: (−5) = −2 g) (−2) ∙ 5 = −10 h) (−10): 5 = −2 Orden de las operaciones Para poder operar o resolver un ejercicio que contenga varias operaciones, es necesario recordar el orden en que estas deben ser resueltas. 1. 2. 3. 4. Primero resolvemos lo que está al interior de un paréntesis. En segundo lugar, se deben resolver las potencias. En tercer lugar, debemos resolver la multiplicación y división, de izquierda a derecha. Finalmente, se debe resolver la adición y sustracción, de izquierda a derecha. Números Racionales Un número racional es todo aquel que puede ser representado como una fracción. Posee dos partes, una se denomina numerador y la otra denominador, donde el denominador es siempre distinto de cero. Recuerden, no es posible dividir por cero. 𝑎 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑦 𝑏 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑏 Liceo José Toribio Medina Departamento de Matemática Adición y sustracción de números racionales Con el mismo denominador Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador. 𝑎 𝑐 𝑎+𝑐 + = 𝑏 𝑏 𝑏 Ejemplo: a) 5 7 1 7 + = 5+1 7 = 6 7 𝑎 𝑐 𝑎−𝑐 − = 𝑏 𝑏 𝑏 Ejemplo: b) 5 7 1 −7= 5−1 7 4 =7 Con distinto denominador Existen varios métodos para poder resolver adición y sustracción con distinto denominador. En primer lugar, podemos ocupar el método de mínimo común múltiplo o podemos utilizar el método de multiplicación cruzada. 𝑎 𝑐 𝑎∙𝑑+𝑏∙𝑐 + = 𝑏 𝑑 𝑏∙𝑑 Ejemplo: a) 5 4 1 6 + = 5∙6+4∙1 4∙6 = 30+4 24 = 34 24 ⟶simplificando por 2 el resultado obtenemos 17 12 𝑎 𝑐 𝑎∙𝑑−𝑏∙𝑐 − = 𝑏 𝑑 𝑏∙𝑑 Ejemplo: b) 5 4 1 −6 = 5∙6−4∙1 4∙6 = 30−4 24 26 13 = 24 ⟶simplificando por 2 el resultado obtenemos 12 Multiplicación de números racionales Para poder multiplicar dos fracciones, debemos multiplicar numerador con numerador y denominador con denominador. 𝑎 𝑐 𝑎∙𝑐 ∙ = 𝑏 𝑑 𝑏∙𝑑 Ejemplo: a) 5 1 ∙ 4 6 5∙1 5 = 4∙6 = 24 Liceo José Toribio Medina Departamento de Matemática División de números racionales En este caso, debemos multiplicar el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda y el denominador de la primera con el numerador de la segunda. 𝑎 𝑐 𝑎∙𝑑 : = 𝑏 𝑑 𝑏∙𝑐 Ejemplo: b) 5 1 : 7 6 5∙6 = 7∙1 = 30 7 Operaciones con números racionales Para operar con números racionales se deben seguir las mismas reglas de los signos y el orden de las operaciones que en los números enteros. Números decimales Un número decimal se puede expresar mediante una fracción. Todo número decimal consta de dos partes: Parte entera: corresponde a las cifras que están a la izquierda de la coma. Parte decimal: corresponde a las cifras que están a la derecha de la coma. Ejemplo: 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎 ⟶ 3,25 ⟵ 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 Tipos de números decimales Decimal finito: Es aquel en que su parte decimal tiene fin. Ejemplo: a) 7,46 b) −12,768 Para convertir un número decimal finito a fracción, debemos escribir en el numerador el valor sin la coma y en el denominador un uno acompañado de tantos ceros como cifras decimales haya. Ejemplo: 125 a) 1,25 ⟶ 100 b) 47,365 ⟶ 47365 1000 Decimal periódico: Es aquel en que su parte decimal se repite infinitamente. La parte que se repite se suele representar con una barra sobre los números, esto se denomina parte periódica. Ejemplo: a) 4,7777777 … ⟶ 4, 7̅ ̅̅̅ b) 12,363636 … ⟶ 12, ̅36 Liceo José Toribio Medina Departamento de Matemática Para convertir este número a fracción, debemos anotar en el numerador el número sin coma menos la parte no periódica, y en el denominador tantos nueves como números periódicos haya. Ejemplo: 52−5 47 = 9 9 176−1 175 ⟶ 99 = 99 a) 5, 2̅ ⟶ ̅̅̅̅ b) 1, 76 Decimal semiperiódico: Es aquel que posee una parte decimal no periódica y otra periódica. Ejemplo: a) 6,71111111 … ⟶ 6,71̅ ̅̅̅̅ b) 14,456565656 … ⟶ 14,456 Para transformar este número a fracción, debemos escribir en el numerador el número sin coma y se le debe restar toda la parte no periódica. En el denominador se anotan tantos nueves como cifras periódicas haya, seguidas de tantos ceros como números decimales no periódicos se presenten. Ejemplo: 357−35 322 a) 3,57̅ ⟶ 90 = 90 1136−113 1023 b) 11,36̅ ⟶ = 90 90 Potencias de base entera Las potencias son multiplicaciones repetidas de un mismo número. Posee dos partes, la base, que es el número que se multiplicará, y el exponente, que es la cantidad de veces que se repite la multiplicación. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 56 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 5 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑦 6 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒. Propiedades de las potencias Multiplicación de potencias de igual base Debemos mantener la base y sumar los exponentes. 𝑎𝑏 ∙ 𝑎𝑐 = 𝑎𝑏+𝑐 Ejemplo: a) 43 ∙ 45 = 43+5 = 48 b) 52 ∙ 53 = 52+3 = 55 Propiedades I. II. Todo número elevado a cero siempre es uno. Cero elevado a cero no está definido. Todo número elevado a uno es siempre el mismo número. Liceo José Toribio Medina Departamento de Matemática Multiplicación de potencias de igual exponente Debemos mantener el exponente y multiplicar las bases. 𝑎𝑏 ∙ 𝑐 𝑏 = (𝑎 ∙ 𝑐)𝑏 Ejemplo: a) 23 ∙ 63 = (2 ∙ 6)3 = 123 b) 52 ∙ 42 = (5 ∙ 4)2 = 202 División de potencias de igual base Se debe mantener la base y restar los exponentes. 𝑎𝑏 : 𝑎𝑐 = 𝑎𝑏−𝑐 Ejemplo: a) 34 : 32 = 34−2 = 32 b) 76 : 73 = 76−3 = 73 División de potencias de igual exponente Se debe dividir las bases y mantener los exponentes. 𝑎𝑏 : 𝑐 𝑏 = (𝑎: 𝑐)𝑏 Ejemplo: a) 154 : 34 = (15: 3)4 = 54 b) 275 : 95 = (27: 9)5 = 35 Observaciones: En caso de tener igual base e igual exponente se debe escoger una de las dos propiedades, tanto de la multiplicación como de la división. Adición y sustracción de potencias Para poder sumar o restar potencias debemos calcular el valor de cada una de las potencias y luego operar con los resultados, ya sea sumando o restando. Ejemplo: a) 52 + 33 = 25 + 27 = 52 b) 25 − 42 = 32 − 16 = 16 Liceo José Toribio Medina Departamento de Matemática Raíces Cuadradas Exactas Concepto: la raíz cuadrada de un número puede interpretarse como el valor del lado de un cuadrado, tal que al multiplicar el valor del lado por sí mismo nos entrega el área de dicha figura. Área: 4 𝑐𝑚2 2 𝑐𝑚 2 𝑐𝑚 En este caso, podemos observar que el área de un cuadrado de lado 2 𝑐𝑚 es 4 𝑐𝑚2 . Recuerden que el área de un cuadrado es lado multiplicado por lado. La raíz cuadrada de un número se representa con el siguiente símbolo: √𝑎 y lo que hacemos es preguntarnos qué número multiplicado por sí mismo nos da el valor que está dentro de la raíz. En el caso del ejemplo del cuadrado anterior tenemos que la raíz de cuatro (√4) es igual a 2, pues 2 ∙ 2 es igual a 4. Las raíces cuadradas exactas corresponden a valores que se calculan a partir de lo que se denomina cuadrados perfectos. Los cuadrados perfectos son números que se obtienen a partir de la multiplicación de un mismo número, por ejemplo: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …, pues: 1=1∙1 4=2∙2 9=3∙3 16 = 4 ∙ 4 25 = 5 ∙ 5 Raíces cuadradas inexactas Las raíces cuadradas inexactas corresponden a raíces que no nos dan un valor entero, por ejemplo: √3 ≈ 1,73 Para poder calcular el valor de las raíces inexactas consideraremos el siguiente método. Calculemos √5 1. Primero debemos ubicar el número que está dentro de la raíz entre dos cuadrados perfectos. Si hacemos la lista de cuadrados perfectos observamos que: 1, 4, 9, 16 El número 5 se encuentra entre 4 y 9, por lo que diremos que: √4 < √5 < √9 2. Ahora, debemos calcular el valor de las raíces entre las que se encuentra la raíz de cinco. Recordemos que √4 = 2 y √9 = 3, entonces: 2 < √5 < 3 Liceo José Toribio Medina Departamento de Matemática 3. Ahora que ya sabemos entre que valores se encuentra la raíz de cinco debemos probar con números que se encuentran entre 2 y 3. Para esto, consideraremos un solo decimal y debemos observar que valor se acerca más. Por ejemplo, probemos con 2,3. Para verificar si este valor es cercano a 5, multiplicamos 2,3 por sí mismo: 2,3 ∙ 2,3 = 5,29 Este valor es bastante cercano, pero es mayor. Revisemos un número más pequeño, por ejemplo: 2,2 2,2 ∙ 2,2 = 4,84 En ambos casos los números son bastantes cercanos, para verificar cuál será el valor más adecuado restaremos cada uno de ellos con el 5. 5,29 − 5 = 0,29 𝑦 5 − 4,84 = 0,16 Para poder escoger uno de los dos valores, nos fijaremos en el que al restar nos da el valor más pequeño. Por lo que en este caso el valor será 2,2, es decir: √5 ≈ 2,2 Adición y sustracción de raíces Para poder sumar o restar raíces debemos calcular el valor de cada raíz y luego operar según corresponda. Ejemplo: a) √49 + √25 = 7 + 5 = 12 b) √64 − √16 = 8 − 4 = 4 c) √4 + √100 − √9 = 2 + 10 − 3 = 12 − 3 = 9 Porcentajes Los porcentajes corresponden a una fracción de una cantidad total. El porcentaje se suele representar mediante el símbolo %. Todo porcentaje se puede expresar mediante una fracción, donde el numerador corresponde a la cifra del porcentaje y el denominador será el número 100. 𝑎 𝑎% = 100 Ejemplos: 5 1 a) 5% = 100 ⟶ 𝑆𝑖 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 5 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 20 76 19 b) 76% = 100 ⟶ 𝑆𝑖 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 4 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 25 Porcentaje de una cantidad Para poder calcular el porcentaje de una cantidad lo que hacemos es multiplicar la cantidad por la fracción equivalente a dicho porcentaje o multiplicamos la cantidad por el porcentaje y luego dividimos en 100. Ejemplo: a) El 15% de 1000 ⟶ 1000 ∙ 20 15 100 b) El 20% de 800 ⟶ 800 ∙ 100 = 1000∙15 15000 = = 150 100 100 800∙20 16000 = 100 = 160 100 = Liceo José Toribio Medina Departamento de Matemática Obtener una cantidad a partir de un porcentaje Si conocemos un porcentaje y a lo que equivale este de una cantidad, podemos conocer el valor original. Para esto, multiplicamos el valor dado por cien y lo dividimos en el valor del porcentaje. Ejemplo: a) Si el 80% de una cantidad es 1000, ¿cuál es la cantidad original? 1000 ∙ 100 100000 = = 1250 80 80 Por lo tanto, la cantidad original o el cien por ciento equivale a 1250. b) Un objeto se vende a 1500, lo que equivale al 25% del valor total, ¿cuál era el valor inicial del objeto? 1500 ∙ 100 150000 = = 6000 25 25 Variaciones Porcentuales Las variaciones porcentuales corresponden a cuando un producto aumenta o disminuye su valor según un porcentaje dado. Ejemplo: a) A un artículo cuyo valor es de $2000 se le hace un descuento del 10%. ¿Cuál es el valor final? Primero calculamos a cuanto equivale el 10% de 2000, por lo que nos queda: 2000 ∙ 10 20000 = = 200 100 100 Como es un descuento, significa que a los 2000 original se le debe restar el valor obtenido, por lo tanto: 2000 − 200 = 1800 Finalmente, el valor del artículo queda en 1800. b) En un banco se deposita $50000 y luego de un tiempo este dinero se incrementa en 15%. ¿Cuánto dinero tenemos finalmente? Calculamos el 15% de 50000, entonces: 50000 ∙ 15 750000 = = 7500 100 100 Por lo tanto, como el dinero se incrementa entonces tenemos que sumar los valores. 50000 + 7500 = 57500 El valor final es de $57500. Liceo José Toribio Medina Departamento de Matemática Ejercicios de Preparación Prueba de Nivel 8° Básico Números Enteros 1) Ordenar, en sentido creciente, los siguientes números: a) 8, −6, −5, 3, −2 b) 4, −4, 0 , 7, −12 c) −4, 6, −2, 1, −5 d) 6, −5, −10, 12, −7 2) Resolver las siguientes operaciones: a) 3 ∙ 2 + 3 ∙ (−5) = b) (7 − 2 + 4) − (2 − 5) = c) 6 − 7 − (−8) + 4 − 2 = d) (−2) ∙ 12 + (−2) ∙ (−6) = e) 8 ∙ 5 + 8 = f) 6 + {4 − [(17 − (4 ∙ 4)] + 3} − 5 = g) (3 − 8) + [5 − (−2)] = h) 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 = i) (8 ∙ 7 + 5 ∙ (−8)): (−4) = j) 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2] = k) 8 − 8: 8 + (−8) = l) 6 − 3 ∙ 8 − 24: 3 = m) 16 − 21 + 18 − 8 = 3) Escribe el número que mejor representa la situación que se plantea: a) Bajamos al sótano 3 b) Nació en el año 234 antes de Cristo c) El avión vuela a 2455 metros de altura d) El termómetro marcaba 5°𝐶 bajo cero 4) Problemas de planteamiento a) Una persona nació en el año 17 antes de Cristo y se casó en el año 5 después de Cristo. ¿A qué edad se casó? b) Por la mañana un termómetro marcaba 9° bajo cero. La temperatura baja 12°C a lo largo de la mañana. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro? c) El ascensor de un edificio está en el sótano 1 y sube 5 pisos hasta que se para. ¿A qué planta ha llegado? Números racionales 5) Escribe el signo > 𝑜 < donde corresponda. a) b) c) 3 7 2 5 3 9 3 9 6 5 3 4 d) e) f) 2 3 5 7 4 3 3 5 6 8 5 4 Liceo José Toribio Medina Departamento de Matemática 6) Ordena de menos a mayor 5 2 5 7 , , , 12 15 4 5 7) Resuelve las siguientes operaciones: a) b) c) d) 2 9 1 4 7 6 7 3 5 + 18 = e) + 20 = f) − = g) − = h) 7 1 2 4 5 7 1 ∙ = 3 3 20 7 : = 3 2 1 11 ∙ = 2 9 7 3 : = 2 4 8) Resuelve las siguientes operaciones combinadas: 11 2 4 − ): = 8 3 9 1 7 − ( − (−2)) 2 3 a) ( b) c) d) 5 6 3 5 9 5 1 ∙ : = 7 2 2 4 2 3 (− ) : ( − ) 3 11 11 1 1 4 + (− ) + = 6 4 3 e) −3: ( − ) = = 9 3 6 : ( + (− 7)) = 4 5 8 11 − +1+ = 3 2 f) g) h) = 9) Escribe las siguientes fracciones como números decimales: a) b) c) 467 = 100 79 = 1000 14 = 9 10) Convierte cada número decimal a fracción: a) 28,709 = b) 0,32 = ̅̅̅̅ = c) 7, 53 d) e) f) 237 = 99 328 = 90 1114 = 900 d) 72, 1̅ = ̅̅̅̅ = e) 1,025 f) 4,63̅ = Potencias de base entera 11) Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las propiedades de las potencias: 28 e) 67 : 66 = a) 27 = f) 27 : 27 = b) 79 ∙ 29 = g) 54 ∙ 53 = c) 95 ∙ 97 = 54 h) 53 = d) 33 ∙ 23 = 12) Escribe en forma de una sola potencia: a) 33 ∙ 34 ∙ 3 = b) 57 : 53 = c) 54 ∙ 24 ∙ 34 = d) 25 ∙ 24 ∙ 2 = e) 27 : 26 = f) 40 = 13) Resuelve los ejercicios combinados: a) 62 − 43 + 52 = b) 73 : 7 + 28 : 25 − 42 ∙ 4 = c) 25 − 32 + 70 − 23 = d) 25 + 44 : 24 − 33 = Liceo José Toribio Medina Departamento de Matemática Raíces cuadradas 14) Calcule las siguientes raíces exactas: a) √9 = b) √16 = c) √1 = d) √64 = e) √144 = f) √81 = 15) Calcule utilizando un decimal las siguientes raíces: a) √15 = b) √7 = c) √11 = d) √21 = e) √17 = f) √6 = Porcentajes y Variaciones porcentuales 16) Calcule el porcentaje pedido. a) 44% de 3375 b) 27% de 2700 c) 18% de 3850 d) 59% de 3500 e) 6% de 1500 f) g) h) i) j) 17) Calcula la cantidad original a) ¿56 es el 32% de qué cantidad? b) ¿9021 es el 93% de qué cantidad? c) ¿5963 es el 67% de qué cantidad? d) ¿1241 es el 17% de qué cantidad? e) ¿7449 es el 78% de qué cantidad? f) ¿2964 es el 52% de qué cantidad? 30% de 5610 47% de 8900 93% de 1800 27% de 1300 93% 𝑑𝑒 1800 18) Resuelve los siguientes ejercicios de planteo a) El prensado de 1500 kg de aceituna produjo 36% de su peso en aceite. Calcula la cantidad de aceite. b) Si hoy han faltado a clases por enfermedad el 20% de los 30 estudiantes, ¿cuántos estudiantes han asistido? ¿cuántos han faltado? c) En una población de 7000 habitantes, el 80% tiene más de 18 años. Averigua el número de personas mayores de esa edad. d) Una máquina que fabrica tornillos produce un 3% de piezas defectuosas. Si hoy se han apartado 51 tornillos defectuosos, ¿cuántas piezas ha fabricado la máquina? e) ¿Cuánto me costará un abrigo de $50000 si tiene una rebaja del 20%? f) A un trabajador que ganaba $300.000 mensuales le van a aumentar el sueldo en 5%. ¿Cuál será su nuevo sueldo? g) El precio de un kilo de pan ha subido 10%. Si un kilo costaba $1000, ¿cuál es el nuevo valor? h) En una tienda todo está rebajado 15% y he comprado un pantalón en $20.000. ¿Cuál era el precio original?