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TALLER # 1 DE GEOMETRÍA: FUNDAMENTOS y CONGRUENCIA
1) Enuncie el recíproco y el contrarecíproco de cada una de las siguientes
proposiciones.
1) Si el ▲ABC es isósceles entonces   B̂ .
2) Si a y b son pares entonces (a+b) es par.
3) Si Juan es colombiano entonces Juan no es argentino.
4) Si el ▲ABC es rectángulo entonces tiene un ángulo recto.
5) Si b es impar entonces b 2 es impar.
2) Cuáles de las siguientes proposiciones son falsas y cuales verdaderas. Explique su
respuesta.
1)
2)
3)
4)
5)
Si p y q son verdad eras p  q es verdadera .
Si p  q es verdadera entonces q  p es verdadera . .
Si p  q es verdadera entonces q  p es verdadera .
Si p   p.
Si p  q  q  p .
3) Demostrar los siguientes teoremas de la teoría deductiva:









Si C y D son puntos de la recta AB entonces las rectas AB y CD son idénticas.
Cada segmento contiene infinitos puntos.
Si dos planos tienen dos puntos en común entonces su intersección es la recta
determinada por dichos puntos.
Si una recta intercepta un plano que no la contiene, entonces la intersección es
un punto.
Dados una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un solo plano que
contenga a los dos.
Si dos rectas se interceptan, su unión queda en exactamente un plano.
4) La recta I intercepta al plano II en el punto P, pero no esta en II. La recta m esta en
el plano II pero no contiene al punto P. ¿Será posible que la recta I intercepte a m?
Explique su respuesta.
5) “Si los ángulos de la base de un triángulo son iguales, entonces es isósceles.” ¿Cuál
es el contrarrecíproco de esta preposición?
1

6) sobre la siguiente recta AB :


¿Pertenece A al rayo AB ?

¿Pertenece A a AB ?

¿ x  AB ?
 ¿ A  BX ?
7) sean A, B y C puntos colineales. ¿Cuáles de los siguientes enunciados pueden ser
verdaderos? Justificando la respuesta.




C está entre A y B y B esta entre A y C.
B esta entre C y A y B esta entre A y C.
A esta entre B y C y C esta entre A y B.
¿Sí tres puntos son colineales, cuantos de ellos no están entre los otros dos?
8) Se sabe que tres puntos A, B y C están en un plano I y los mismos tres puntos A, B
y C están en un plano II. ¿Se podría concluir que son el mismo plano?
9) Sí A, B y C son puntos distintos, no colineales, ¡ cuantas rectas determinan?
Identifíquelas.
10) Sí C esta entre A y B y E esta entre C y B. ¿Cuantas semirrectas determinan?
Identifíquelas.
11) Dados A, B y C puntos distintos. Cuantos segmentos determinan, en los siguientes
casos:


Si son colineales.
Si no lo son.
12) Sean A y B puntos distintos. Indicar para cada una de las siguientes proposiciones si
son verdaderas o falsas, justificando su respuesta.

¿Es AB  BA ?

¿Es AB  BA ?

¿Es AB  BA ?




13) De la siguiente figura identifique:
2

BC

BD


CA
AD

BC

DB




14) Sobre una recta se marcan los puntos consecutivos O, A, B, y M de tal manera que:
3

 MA  MB 
AB.
.

2

OM  x.OA  y.OB
Hallar xy. R/ - 5/16.
15) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C de tal manera que BC >
AB. Se toman los puntos P medio de AB, Q medio de BC y M medio de AC.
Entonces la expresión OC – AP es igual a:
a) BM b) AD/2 c) 2BM d) MQ/2 e) PM/2 .
16) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D, F, tal que:
AC + BD + CE + DE = 26 y BE = 5/8AF. Calcular AF. R/ 16.
17) A, B, y C son puntos consecutivos de una recta. M es punto medio de AC y N es
punto medio de BC. Demostrar que MN = 1/2AB.


18) Si A, B, C y D son puntos distintos tales que AC contiene a B y BD contiene a C,
¿Cuáles de los siguientes enunciados son ciertos?

B esta entre A y C

BC contiene a A.

AC = BD

AC y BD se intersecan en B Y C solamente.

AD y BC no se intersecan.

AC es opuesto a DB









Los ejercicios 19-20 se responden de acuerdo a la figura de la derecha.
19) Dado
A  C
AB  BC
Pruébese CBE  ABD
3
BDA  BEC
20) Dado 
 BD  BE
Pruébese BDA  BEC
Los ejercicios 21-22 se responden de acuerdo a la figura de la derecha.
AC  BD
21) Dado A  D
ACE  DBF
Pruébese ACE  DBF
AC  BD
22) Dado AE  DF
A  D
Pruébese CAE  BDF
1  2
23) Dado 3  4
AC  BD
Pruébese AE  BF
1  2
24) Dado PQ  RQ
PV  TR
4
Pruébese QT  QV
25)
HF  BD
Dado HG  AC
HF  HG
Pruébese AG  DF
AB  CB
26) Dado ED  EF
1  2
3  4
Pruébese AD  CF
27) Dado
FE  FD
FEY  FDR
Pruébese EY  DR
28) Dado
O es el punto medio de BC
AOB Es isósceles con OA  OB
Pruébese AOC Es isósceles.
5
29) Dado: ABCE tiene AB  BC
BDF Es isósceles con BF  BD


BF bisecta a ABD y BD biseca a CBF
Pruébese ABF  CBD

30) Dado OB biseca a AOC

OC bisecta a BOD
Pruébese AOB  COD
31) Dado AEC  DFB
Pruébese ABE  DCF
B es el punto medio de AC
1  2
3  4
32) Dado
FB  GB
Pruébese
33) Dado
FD  GE
FGH y IHG son ángulos rectos
1  2
Pruébese IHG  FGH
6

34) Dado AB  OE , O es el punto medio de AB
DAO  CBO
1  2
Pruébese AOD  BOC
35) Dado
BAX  DAX
BCY  DCY
Pruébese BC  DC
36) Dado
AE  DE
BE  CE
Pruébese AB  CD

BC biseca a ABD
1  2
Pruébese ABC  DBC
37) Dado
7
38) Dado
m1  m2
m5  m6
Pruébese AD=AB
39) Dado AB = CD, BD = CE
Pruébese AC = CE
1  2
DA  AC
40) Dado
EB  AC
FC  AC
B es punto medio de AC
Pruébese
41) Dado
AD  CF
1  2
3  4
Pruébese XV  YW
42) Pruebe que la altura a la base de un triangulo isósceles también es la bisectriz del
ángulo del vértice.
43) En la siguiente figura SW y RV son medianas del RST , SL = 4, SW=6 y RV =
9. Encuentre RL
8
AB  BC
44) Dado
DG  AB
EF  BC
BD  BE
Pruébese AGD  CFE
45) Dado
1  2
AD  EC
Pruébese ABE  BCD
46) Dado ABC , es equilátero
AF  BD  CE
Pruébese I  II  III
47) Dado ABC , es equilátero, AF, BD y CE Son extensiones de los lados del
ABC
1  2  3
Pruébese I  II  III
9
48) Dado
AD = BC
AC = BD
AK = BN
AG = BH
Pruébese KG = NH.
49) Dado
Pruébese
m  n
AC  BC
50) Dado AC=BC,
DC=EC,
G es el punto medio de DC ,
H es el punto medio de EC ,
AEC  BCD .
Pruébese AG=BH.
51) Se da un triángulo isósceles ABC de base BC; se prolongan los lados BA y CA en
una misma longitud AE = AD (E sobre BA, D sobre CA).


Probar que los triángulos DBA y ECA son iguales.
Se lleva sobre AB y AC, AB’=AC’, ( B’ sobre AB y C’ sobre AC), se trazan CB’
y BC’ que se cortan en O. Demostrar que los triángulos BB’O y CC’O son
congruentes.
52) Dados los triángulos ABC y MNP tales que AC  MP, BC  NP y la mediana
AD es congruente con la mediana MQ entonces el ABC  MNP .
53) En un triangulo ABC , AB  AC . Se trazan las medianas BD y CE relativas a los
lados congruentes, los cuales se cortan en el punto I.

Pruébese que BIC y DIE son isósceles.
10

Comparar BIE y DIC
54) Demostrar que si dos rectas se cortan, las bisectrices de los cuatro ángulos forman
dos rectas perpendiculares.
55) En un triangulo ABC se traza la bisectriz AD del ángulo BAC , se toma en AD
los puntos E y F tales que AE  AB y AF  AC . Demostrar que BF  CE .
56) Para los triángulos ABC y A' B' C' se tiene que B  B' y BC  B' C ' y las
bisectrices BE  B ' E ' . Mostrar que ABC  A' B' C' .
57) Dados los puntos A, C, D y E están alineados con A-E-D y A-D-C. B es un punto

que no esta en AC , tal que AB = AC, EB= DB y AE = CD. Pruébese que
ABE  DBC .
58) En el triangulo ABC , A  B , El punto P bisecta AB, PM y PN están trazadas
de modo que BPM  APN .Demuéstrese que BM = AN
59) Demuestre cada uno de los siguientes casos:

La mediana de la base de un triangulo isósceles bisecta al ángulo del vértice.

Sí la bisectriz de un ángulo de un triangulo es también la altura del lado opuesto,
Entonces los otros dos lados del triangulo son congruentes.

Si una mediana de un lado de un triangulo es también la altura sobre ese lado,
Entonces el triangulo es isósceles.

En un triángulo isósceles, las bisectrices de los ángulos de la base son
congruentes.
CONSTRUCCIONES
60) Construir un triangulo isósceles conociendo:
 La base y la altura.
 La base y un ángulo adyacente.
 La base y un lado.
 La base y el ángulo opuesto.
 El perímetro y la base.
 El perímetro y la altura.
 La altura y uno de los lados iguales.
61) Construir un triangulo equilátero conociendo:
 El lado
11
 El perímetro
 La altura
62) construir un triangulo rectángulo, conociendo


La hipotenusa y un cateto.
La hipotenusa y un ángulo agudo.
12