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TALLER # 2 DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA:
MEDIDAS Y DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO, CUADRILATEROS.
PROFESOR: MANUEL JOSÉ SALAZAR JIMENEZ
1. En el ∆ABC , la bisectriz del ∠A intercepta a BC en D. La mediatriz de AD
intercepta a AC en G. Demostrar que GD // AB .
2. Pruébese que en un triángulo isósceles las alturas de los lados congruentes son
congruentes.
3. Se sabe que A, B y C están alineados y que G, H y K también están alineados. Los
puntos están distribuidos de manera que AB<GH y BC<HK. ¿Se deduce de esto que
AC<GK? ¿por que sí o por que no?
4. Por un punto A del ∠AOB , se traza una paralela a OB y en esta paralela, se toma
una distancia AD=AO; Probar que OD es bisectriz del ∠AOB .
5. Probar que las bisectrices de dos ángulos que tienen sus lados respectivamente
paralelos, son paralelas o perpendiculares.
6. Probar que las rectas que unen los puntos medios de los lados de un triángulo,
forman cuatro triángulos congruentes.
7. Probar que en todo triángulo, el segmento que une los puntos medios de los dos
lados y la mediana del tercer lado se dividen mutuamente por la mitad.
8. Pruébese que la mediana cualquiera de un triángulo, esta comprendida entre la semi-
suma y la semi-diferencia de los lados que parten del mismo vértice.
9. Probar que la distancia del punto medio D de un segmento AB, a un punto P,
tomado sobre la prolongación de este, esta dada por:
DP =
1
( AP + BP )
2
10. Pruébese que si se unen los tres vértices de un triángulo a un punto P cualquiera
tomado en el interior y se toman PA=m, PB=n, PC=r se tiene:
1
(a + b + c ) < m + n + r En donde a, b y c son los lados del triángulo
2
1
11. Probar que la altura de un triángulo es menor que la semi-suma de los dos lados que
parten del mismo vértice.
12. Probar que la suma de las tres medianas de un triángulo está comprendida entre el
perímetro y el semi-perímetro de este triángulo.
13. Dado BD = CD
Pruébese que ∠ABC > ∠DCB
14. Dado: M punto medio de los segmentos PS y RQ .
Pruébese: ∠RQT > ∠PRQ
15. AB y CD se intersecan en E, ∠DCA > ∠BAC y ∠BDC > ∠DBA , probar que
AB>CD.
↔
16. En un triángulo isósceles ∆KGH , KG = KH ; P es un punto cualquiera de GH que
no esta en GH . Probar que PK es siempre mayor que KG ó KH.
2
17. En un triángulo isósceles ∆PQR , S es un punto de la base, distinto del punto medio.
Demostrar que PS no biseca al ∠RPQ .
18. Se da ∆ABM con la mediana MK y ∠MKB > ∠MKA , Pruébese que AM<MB.
19. De la siguiente figura pruébese que ∠W > ∠U .
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20. Dado:
Pruébese:
21. Dado
Pruébese
FH=AQ y AH>FQ.
AB>FB
PT=TR=RQ.
PR>RQ
22. En la siguiente figura A, B y C están alineados, AP=AQ, BP=BQ, BX=BY y
CX=CY, Pruébese que PQ // XY .
AB y CD se bisecan en E.
Pruébese que AD // CB
23. Dado
4
24. Dado RT = RS
↔
↔
y PQ // RS
Pruébese que PQ=PT
→
25. Se da el triángulo ∆PMN , MX
→
↔
biseca al ∠M , NX biseca al ∠N y QR que
pasa por X, es paralela a MN . Pruébese que los triángulos ∆QMX
isósceles.
y ∆RXN son
y AD ≅ BC , ¿Es posible demostrar cada una de las proposiciones
siguientes? Si así es, pruébese, si no, dígase que información adicional se necesita.
26. Si DC // AB
•
•
•
•
•
∆ACD ≅ ∆BDC
∆ACB ≅ ∆BDA
∆AOB es isósceles.
∆DOC es isósceles.
∆AOD ≅ ∆BOC
27. Si CD ⊥ AB, AD = DE
•
•
•
•
y
AD <BD. Pruébese que:
AC = EC
∠A ≅ ∠CEA
m∠B < m∠CEA
m∠B < m∠A
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•
•
BC>AC
CB>CE
28. Si ED=EC, pruébese que AB + AD >BC
AB = DC
29. Dado
AB // DC
∠AED > ∠DEC
Pruébese que AD > DC
30. En la figura anterior AB // DC , AD // BC y BC>AB. Pruébese que ∠AED > ∠DEC
31. Dado
A, D, B y E son colineales;
BC ≅ EF ;
AD ≅ BE ;
AC ≅ DF
Pruébese que BC // EF
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32. Dado EF biseca a DC y a
AB ;
∠A ≅ ∠B
AD ≅ BC
Pruébese que DC // AB
↔
↔
AB// CD
33. Dado FG bi sec a a ∠BFE
EG bi sec a a ∠DEF
Pruébese que EG ⊥ GF
→
DB biseca a ∠ADC
BD // AE
Pruébese que ∆ADE es isósceles.
34. Dado
35. Se desea en la siguiente figura determinar la trayectoria mas corta desde el punto A
hasta la recta λ y a continuación hasta el punto B. demostrar que la línea mas corta
es la línea quebrada que se forma y la cual hace ∠α ≅ ∠β
Pruébese entonces que AR + BT < AT + RB .
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↔
↔
↔
36. Dado l // m; r // s
Pruébese que ∠x ≅ ∠y
→
37. Dado EF // BA
∠1 ≅ ∠2
→
Pruébese que BE es bisectriz del ∠B
38. El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo, con AP ≅ QC , pruébese que R es punto
medio de BD y PQ
39. Dado : AM es mediana del ∆ABC
∠x ≅ ∠y
Pruébese que: DBEC es un paralelogramo.
40. Pruébese que si se unen consecutivamente los puntos medios de los lados de un
cuadrilátero cualquiera, se obtiene un paralelogramo (sugerencia: trace las
diagonales del cuadrilátero y aplique la propiedad de la paralela media del triángulo)
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41. Pruébese que en todo cuadrilátero, las rectas que unen los puntos medios de los
lados opuestos se cortan en la mitad de la recta que une los puntos medios de las
diagonales.
42. Pruébese que las bisectrices interiores de un cuadrilátero, determinan otro
cuadrilátero cuyos ángulos opuestos son suplementarios.
43. En cada lado de un cuadrado se señala desde el vértice, y en el mismo sentido, igual
longitud; luego se unen consecutivamente los puntos obtenidos. Demostrar que la
figura resultante es un cuadrado.
44. Se dan
un paralelogramo y una de sus diagonales. Pruébese que si se trazan
segmentos desde los vértices opuestos, perpendiculares a la diagonal, entonces
dichos segmentos son paralelos y congruentes. (ver figura).
45. Pruébese que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.
diagonales AC y BD del paralelogramo ABCD se cortan en M. Pruébese que si los
puntos X, Y están en lados opuestos del paralelogramo, y XY contiene a M;
entonces M biseca a XY .
46. Dado:
Cuadrilátero
QRST es un paralelogramo
AQ ≅ SC
RB ≅ DT
Pruébese que: ABCD es un paralelogramo
47. Probar que en un paralelogramo, los dos segmentos determinados por un par de
vértices opuestos y los puntos medios de un par de lados opuestos trisecan a una
diagonal (ver figura). Se debe demostrar que AR=RS=SC
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48. Pruébese que la mediana de un trapecio biseca a ambas diagonales.
49. Pruébese que la longitud de la mediana de un trapecio, es la semi-suma de las
longitudes de las bases(Ver figura), esto es:
1
EF = ( AB + CD )
2
50. Pruébese que si un trapecio tiene dos lados no paralelos, cada uno congruente con
uno de los lados paralelos, entonces las diagonales bisecan a los ángulos en el otro
lado paralelo.
51. Pruébese que si cada diagonal de un cuadrilátero biseca a dos ángulos del
cuadrilátero, el cuadrilátero es un rombo.
52. Las diagonales del cuadrilátero ABCD son perpendiculares en M, y P, Q, R y S son
puntos medios de los lados. Demostrar que el doble de la suma MP + MQ + MR +
MS es igual al perímetro del cuadrilátero ABCD (ver figura).
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53. Indicar si serian suficientes las siguientes condiciones impuestas aun cuadrilátero
para demostrar que es un trapecio; un paralelogramo; un rombo; un cuadrado.
Considérese cada cuestión por separado.
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•
•
Los cuatro lados son congruentes.
Dos lados son paralelos.
Dos lados son congruentes.
Sus diagonales se bisecan.
Sus diagonales son congruentes y se bisecan.
Es equiángulo.
Sus diagonales son congruentes y perpendiculares.
Es equilátero y equiángulo.
Cada dos ángulos opuestos son congruentes.
Cada diagonal biseca a dos de sus ángulos.
54. Se da el paralelogramo ABCD, con AD>AB. La bisectriz del ∠A Interseca a BC
en G, y la bisectriz del ∠B interseca a AD en H. Pruébese que el cuadrilátero
ABGH es un rombo.
55. En la siguiente figura, PQRS es un cuadrado. Los puntos J, K, L, M dividen a los
lados en segmentos, de longitudes a y b.
56. Probar que las diagonales de un rombo bisecan a los ángulos del rombo.
57. Construir:
•
•
Un triangulo isósceles, conociendo:
1) La base y la altura.
2) La base y un ángulo adyacente.
3) La base y un lado.
4) El perímetro y la base.
5) El perímetro y la altura.
Construir un triángulo rectángulo, conociendo:
a) La hipotenusa y la altura correspondiente.
b) La hipotenusa y un cateto.
c) La hipotenusa y un ángulo agudo.
d) La hipotenusa y la diferencia de los ángulos agudos.
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Construir un triángulo, conociendo:
I)
Dos medianas y el lado comprendido.
II)
Dos medianas y el lado adyacente.
III)
Las tres medianas.
Un rombo, conociendo sus dos diagonales.
Un trapecio isósceles, conociendo sus dos bases y la altura.
Un paralelogramo, conociendo las dos diagonales y el ángulo que forman.
Un rectángulo, conociendo su diagonal y un lado.
Trapecio rectángulo conociendo la altura, la base mayor y el ángulo de esta base
con uno de los lados no paralelos.
58. Refute las siguientes proposiciones con un contraejemplo, puede ser mediante un
gráfico
Si dos triángulos no son congruentes, entonces sus lados homólogos no son
congruentes.
En todo triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa es
también mediana.
Si un cuadrilátero es equiángulo es un cuadrado.
Si un triángulo es isósceles
Los segmentos que unen los puntos medios de un cuadrilátero forman un
rombo.
Todo cuadrilátero equilátero es equiángulo.
Todo trapecio es un paralelogramo.
“La armonía es el alma del Universo”. Pitágoras.
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