Download medidas de dispersión, asimetría y apuntamiento

ESCUELA DE OFICIALES PNP
MEDIDAS DE DISPERSIÓN, ASIMETRÍA Y APUNTAMIENTO
1.- MEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIABIIDAD.- Las medidas de dispersión dan idea de a
separación de los datos numéricos alrededor de un valor medio (estrategias de posición), o mide
el grado de concentración o dispersión de los valores.
Clases de medidas de dispersión que estudiaremos:
A) DISPERSIÓN ABSOLUTA
a) Rango
b) Desviación Media
c) Varianza
d) Desviación estándar
B) DISPERSIÓN RELATIVA
a) Coeficiente de variación
b) Variable estandarizada
2.- RANGO (R).- El rango es el recorrido en la diferencia entre los valores extremos, máximo y
mínimo.
R = X max – X min
Ejemplo: Hallar el rango de la siguiente serie de números: 3, 5, 8, 9, 10, 10, 13, 17
R = 17 – 3
R = 14
3.- DESVIACIÓN MEDIA (DM).- La desviación media es una buena medida de dispersión.
Desviación media simple.-
∑𝑛𝑖=1/𝑋𝑖 − 𝑋/
𝐷𝑀 =
𝑛
Xi = Elementos o la observación
x = media
n = número de elementos
Ejemplo: Hallar la desviación media de las tallas 1,43; 1,55; 1,69; 1,68; 1,50 metros
Hallamos:
𝑋=
1,43 + 1,55 + 1,69 + 1,68 + 1,50
5
X = 1,57
𝐷𝑀 =
/1,43 – 1,57/ + /1,55– 1,57/ + /1,69 – 1,57/ + /1,68 – 1,57/ + /1,50 – 1,57/
5
𝐷𝑀 =
/−0,14/+/0,02/+/0,12/+/0,11/+/−0,07/
5
𝐷𝑀 =
0,14 + 0,02 + 0,12 + 0,11 + 0,07 0,46
=
= 0,092 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
5
5
Desviación media ponderada
𝐷𝑀 =
Ejemplo:
Xi = peso Kg
∑𝑛𝑖=1/𝑋𝑖 − 𝑋/𝑓𝑖
𝑛
fi
xifi
/xi – x/
/xi - x/fi
40
4
160
5,88
23,52
43
5
215
2,88
14,40
46
8
368
0,12
0,96
49
6
294
3,12
18,72
52
3
156
6,12
18,36
Total
26
11,93
75,96
Hallamos
1°
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑓𝑖
𝑛
1193
𝑥=
= 45,88 𝑘𝑔
26
𝑥=
2°
∑𝑛𝑖=1/𝑋𝑖 − 𝑋/𝑓𝑖
𝑛
75,96
𝐷𝑀 =
= 2,92 𝑘𝑔
26
𝐷𝑀 =
4.- VARIANZA.- La varianza es la medida del cuadrado dela distancia promedio
entre las media y cada elemento de población.
VARIANZA SIMPLE
a) Varianza de una población
2
∑𝑁
𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝜇)
𝜎 =
𝑁
2
b) Varianza de una muestra
𝑆2 =
2
∑𝑁
𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥)
𝑛
Ejemplo: Calcular la varianza de 4, 5, 6 y 7
∑ 𝑥𝑖
𝑛
4 + +5 + 6 + 7
𝑥=
= 5,5
4
𝑥=
2
∑𝑁
𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥)
𝑆 =
𝑛
2
𝑆2 =
(4 − 5,5)2 + (5 − 5,5)2 + (6 − 5,5)2 + (7 − 5,5)2
4
2,25 + 0,25 + 0,25 + 2,25 5
𝑆2 =
=
4
3
𝑆 2 = 1,25
VARIANZA PONDERADA
a) Varianza d una población
2
∑𝑁
𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝜇) 𝑓𝑖
𝜎 =
𝑁
2
b) Varianza de una muestra
2
∑𝑁
𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥) 𝑓𝑖
𝑆 =
𝑛
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 30
2
∑𝑁
𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥) 𝑓𝑖
𝑛−1
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 < 30
2
𝑆2 =
Ejemplo:
Talla (mts)
fi
xifi
Xi – x
(xi – x)2
(xi – x)2 fi
xi
1,52
3
4,56
– 0,08
0,0064
0,0192
1,56
5
7,80
– 0,04
0,0016
0,0080
1,60
9
14,40
0
0
0
1,64
6
9,84
0,04
0,0016
0,0096
1,68
4
6,72
0,08
0,0064
0,0256
Total
27
43,32
𝑥=
∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑓𝑖 43,32
=
= 1,60
𝑛
27
0,0624
∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥)2 𝑓𝑖
𝑆 =
𝑛−1
2
𝑠2 =
𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 𝑛 < 30
0,0624 0,0624
=
27 − 1
26
𝑠 2 = 0,0024 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
5.- DESVIACIÓN ESTÁNDAR.- Es la raíz cuadrada positiva de la varianza;
una medida de la dispersión, expresada en las mismas unidades que los datos
originales y no en las unidades cuadradas de la varianza.
En general, la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza
𝜎 = √𝜎 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑆 = √𝑆 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
Ejemplo: (De los ejemplos de la varianza)
𝑆 = √𝑆 2
𝑆 = √1,25
𝑆 = 1,12
Ejemplo:
𝑆 = √1,25
𝑆 = √0,0024
𝑆 = 0,049 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.- Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en
el momento de andar por primera vez:…… Calcular la varianza
meses
9
10
11
12
13
14
15
Niños
1
4
9
16
11
8
1
2.- Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
xi
61
64
67
70
73
fi
5
18
42
27
8
Calcular: El rango, desviación media simple, varianza y desviación media ponderada
3.- La Empresa Salas, cría truchas pequeñas en estanques especiales y las vende cuando
adquieren cierto peo. Se aisló una muestra de 10 truchas en un estanque y se les alimentó con
una mezcla especial denominada RT - 10. Al final del período experimental los precios de las
truchas fueron (en gramos):
124
125
125
123 120
120
124
127
125
126
121
Calcular el rango, desviación media simple, desviación, media ponderada y la varianza
4.- Consideremos la distribución de probabilidad de las ventas semanales de unidades de alta
fidelidad de la marca A, en la que:
X = xi
0
1
2
3
4
5
f(x)
0.1
0.1
0.2
0.3
0.2
0.1
Encontrar la variancia y la desviación estándar.