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ESCUELA DE OFICIALES PNP MEDIDAS DE DISPERSIÓN, ASIMETRÍA Y APUNTAMIENTO 1.- MEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIABIIDAD.- Las medidas de dispersión dan idea de a separación de los datos numéricos alrededor de un valor medio (estrategias de posición), o mide el grado de concentración o dispersión de los valores. Clases de medidas de dispersión que estudiaremos: A) DISPERSIÓN ABSOLUTA a) Rango b) Desviación Media c) Varianza d) Desviación estándar B) DISPERSIÓN RELATIVA a) Coeficiente de variación b) Variable estandarizada 2.- RANGO (R).- El rango es el recorrido en la diferencia entre los valores extremos, máximo y mínimo. R = X max – X min Ejemplo: Hallar el rango de la siguiente serie de números: 3, 5, 8, 9, 10, 10, 13, 17 R = 17 – 3 R = 14 3.- DESVIACIÓN MEDIA (DM).- La desviación media es una buena medida de dispersión. Desviación media simple.- ∑𝑛𝑖=1/𝑋𝑖 − 𝑋/ 𝐷𝑀 = 𝑛 Xi = Elementos o la observación x = media n = número de elementos Ejemplo: Hallar la desviación media de las tallas 1,43; 1,55; 1,69; 1,68; 1,50 metros Hallamos: 𝑋= 1,43 + 1,55 + 1,69 + 1,68 + 1,50 5 X = 1,57 𝐷𝑀 = /1,43 – 1,57/ + /1,55– 1,57/ + /1,69 – 1,57/ + /1,68 – 1,57/ + /1,50 – 1,57/ 5 𝐷𝑀 = /−0,14/+/0,02/+/0,12/+/0,11/+/−0,07/ 5 𝐷𝑀 = 0,14 + 0,02 + 0,12 + 0,11 + 0,07 0,46 = = 0,092 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 5 5 Desviación media ponderada 𝐷𝑀 = Ejemplo: Xi = peso Kg ∑𝑛𝑖=1/𝑋𝑖 − 𝑋/𝑓𝑖 𝑛 fi xifi /xi – x/ /xi - x/fi 40 4 160 5,88 23,52 43 5 215 2,88 14,40 46 8 368 0,12 0,96 49 6 294 3,12 18,72 52 3 156 6,12 18,36 Total 26 11,93 75,96 Hallamos 1° ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑛 1193 𝑥= = 45,88 𝑘𝑔 26 𝑥= 2° ∑𝑛𝑖=1/𝑋𝑖 − 𝑋/𝑓𝑖 𝑛 75,96 𝐷𝑀 = = 2,92 𝑘𝑔 26 𝐷𝑀 = 4.- VARIANZA.- La varianza es la medida del cuadrado dela distancia promedio entre las media y cada elemento de población. VARIANZA SIMPLE a) Varianza de una población 2 ∑𝑁 𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝜇) 𝜎 = 𝑁 2 b) Varianza de una muestra 𝑆2 = 2 ∑𝑁 𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥) 𝑛 Ejemplo: Calcular la varianza de 4, 5, 6 y 7 ∑ 𝑥𝑖 𝑛 4 + +5 + 6 + 7 𝑥= = 5,5 4 𝑥= 2 ∑𝑁 𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥) 𝑆 = 𝑛 2 𝑆2 = (4 − 5,5)2 + (5 − 5,5)2 + (6 − 5,5)2 + (7 − 5,5)2 4 2,25 + 0,25 + 0,25 + 2,25 5 𝑆2 = = 4 3 𝑆 2 = 1,25 VARIANZA PONDERADA a) Varianza d una población 2 ∑𝑁 𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝜇) 𝑓𝑖 𝜎 = 𝑁 2 b) Varianza de una muestra 2 ∑𝑁 𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥) 𝑓𝑖 𝑆 = 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≥ 30 2 ∑𝑁 𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥) 𝑓𝑖 𝑛−1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 < 30 2 𝑆2 = Ejemplo: Talla (mts) fi xifi Xi – x (xi – x)2 (xi – x)2 fi xi 1,52 3 4,56 – 0,08 0,0064 0,0192 1,56 5 7,80 – 0,04 0,0016 0,0080 1,60 9 14,40 0 0 0 1,64 6 9,84 0,04 0,0016 0,0096 1,68 4 6,72 0,08 0,0064 0,0256 Total 27 43,32 𝑥= ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 𝑓𝑖 43,32 = = 1,60 𝑛 27 0,0624 ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥)2 𝑓𝑖 𝑆 = 𝑛−1 2 𝑠2 = 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑟 𝑛 < 30 0,0624 0,0624 = 27 − 1 26 𝑠 2 = 0,0024 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 5.- DESVIACIÓN ESTÁNDAR.- Es la raíz cuadrada positiva de la varianza; una medida de la dispersión, expresada en las mismas unidades que los datos originales y no en las unidades cuadradas de la varianza. En general, la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza 𝜎 = √𝜎 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑆 = √𝑆 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 Ejemplo: (De los ejemplos de la varianza) 𝑆 = √𝑆 2 𝑆 = √1,25 𝑆 = 1,12 Ejemplo: 𝑆 = √1,25 𝑆 = √0,0024 𝑆 = 0,049 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1.- Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:…… Calcular la varianza meses 9 10 11 12 13 14 15 Niños 1 4 9 16 11 8 1 2.- Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla: xi 61 64 67 70 73 fi 5 18 42 27 8 Calcular: El rango, desviación media simple, varianza y desviación media ponderada 3.- La Empresa Salas, cría truchas pequeñas en estanques especiales y las vende cuando adquieren cierto peo. Se aisló una muestra de 10 truchas en un estanque y se les alimentó con una mezcla especial denominada RT - 10. Al final del período experimental los precios de las truchas fueron (en gramos): 124 125 125 123 120 120 124 127 125 126 121 Calcular el rango, desviación media simple, desviación, media ponderada y la varianza 4.- Consideremos la distribución de probabilidad de las ventas semanales de unidades de alta fidelidad de la marca A, en la que: X = xi 0 1 2 3 4 5 f(x) 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 Encontrar la variancia y la desviación estándar.